8.4.1·平面【知识梳理+8个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.4.1·平面】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面的概念及其表示】 【练方法】 知识梳理 1平面的概念：平面是无限延展的无厚度无边界的抽象几何图形 2平面的表示方法： 用希腊字母表示 用平行四边形顶点字母表示如平面 用对角顶点字母表示如平面 3点线面的位置关系符号表示： 点在平面内： 点在平面外： 直线在平面内： 直线与平面相交： 解题方法 1平面的表示：按题目要求规范使用字母或顶点表示平面 2点线面位置关系符号：严格区分与点用线面用或 3平面的直观理解：用平行四边形表示平面时可适当延长边体现无限延展的特征 （25-26高一下·全国·课后作业）如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ）经典例题1例题 A．， B．， C．， D．， （25-26高一下·全国·课后作业）若直线在平面内，则符号表示正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，点______________平面；点______________平面；______________平面；______________平面；平面平面______________；平面______________平面______________．小试牛刀1 （25-26高二上·上海·月考）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：平面的基本性质及辨析】 【练方法】 知识梳理 1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线在此平面内 符号表示： 2公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面 3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示：且 4公理2的三个推论： 推论1：过一条直线和直线外一点有且只有一个平面 推论2：过两条相交直线有且只有一个平面 推论3：过两条平行直线有且只有一个平面 解题方法 1公理辨析：逐条核对公理的条件注意公理2中“不共线三点”的前提公理3中“不重合平面”的前提 2命题判断：利用公理及推论判断命题真假重点关注特殊情况（如三点共线时不能确定唯一平面） 3应用公理1证明直线在平面内应用公理3证明点在两平面交线上 （25-26高一下·河南郑州·期中）三脚架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（   ）经典例题1例题 A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．三条相交直线确定一个平面 （24-25高一下·广东汕头·期中）下列说法正确的是（　　）经典例题2例题 A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 （25-26高一下·广东·期中）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） 小试牛刀1 A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 （25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，平面平面______．小试牛刀2    （25-26高二上·北京·期中）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）．小试牛刀3 A．， B．， C．，，， D．，，， 【题型3：点（线）确定平面的数量问题】 【练方法】 知识梳理 1不共线三点：确定1个平面 2共线三点：可确定无数个平面 3两条平行直线：确定1个平面 4两条相交直线：确定1个平面 5异面直线：不能确定平面 6一条直线与直线外一点：确定1个平面 7多个点确定平面：先判断点是否共线再判断不同组合确定的平面数量 解题方法 1分类讨论：先判断点/线的位置关系（共线/不共线平行/相交/异面） 2计数方法： 不共线的点：每三个不共线的点确定一个平面用组合数计算再减去共线三点的情况 直线与点：若直线外的点不在直线确定的平面内则每个点与直线确定一个平面 3排除重复：注意不同点线组合可能确定同一个平面需剔除重复计数 （25-26高三·全国·一轮复习）经过一条直线上3个点的平面（　　）经典例题1例题 A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 （24-25高一下·浙江宁波·期末）经过不在一条直线上的三个点的平面（   ）经典例题2例题 A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 （24-25高二上·上海·月考）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ）小试牛刀1 ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （25-26高二·上海·暑假作业）下列命题错误的是（　　）小试牛刀2 A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 （24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法：小试牛刀3 ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 【题型4：空间中点（线）共面的问题】 【练方法】 知识梳理 1共面的定义：点或直线在同一个平面内 2证明点共面的方法： 先确定一个平面再证明其他点在这个平面内 证明这些点确定的平面重合 3证明线共面的方法： 先证明两条直线共面再证明其他直线在这个平面内 证明直线上有两个点在平面内则直线在平面内 解题方法 1点共面证明： 方法一：由不共线三点确定平面再证明其余点在该平面内（利用公理1） 方法二：证明各点到某条直线的距离相等或点在两条相交直线确定的平面内 2线共面证明： 方法一：先找两条相交或平行直线确定平面再证明其他直线上有两点在平面内 方法二：利用公理1证明直线上两点在平面内则直线在平面内 3反证法：假设点/线不共面推出矛盾证明原命题成立 （2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ）经典例题1例题 A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 （2026高三·全国·专题练习）在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ）经典例题2例题 A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 （25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，.小试牛刀1 证明：四点共面. （25-26高二上·上海杨浦·月考）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ）小试牛刀2 A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 （25-26高二上·上海·月考）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____，小试牛刀3 【题型5：空间中点共线问题】 【练方法】 知识梳理 1点共线的定义：多个点在同一条直线上 2证明点共线的核心依据：公理3两平面的公共点在它们的交线上 3常见模型：两个平面相交多个公共点都在交线上 解题方法 1证明点在两平面的交线上： 先证明这些点是两个平面的公共点 根据公理3两平面的公共点都在交线上故这些点共线 2证明三点共线： 方法一：证明点同时在两个平面内则点在两平面交线上三点都在交线上则共线 方法二：利用向量法证明三点对应的向量共线 3利用中点/重心性质：如三角形的重心在中线上多个重心在同一条中线上 （25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线．经典例题1例题 （24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ）经典例题2例题 A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B （23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．小试牛刀1    （24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证：小试牛刀2 (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． （2024高三·全国·专题练习）平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，证明三个交点共线．小试牛刀3 【题型6：空间中线共点问题】 【练方法】 知识梳理 1线共点的定义：多条直线相交于同一点 2证明线共点的核心依据：公理3若两个平面有一个公共点则它们的交线过该点 3常见模型：三条直线两两相交证明它们的交点重合 解题方法 1证明两条直线的交点在第三条直线上： 先证明两条直线相交于一点 证明点同时在第三条直线所在的两个平面内则在两平面的交线（第三条直线）上 2三线共点证明： 方法一：先找两条直线的交点再证明该交点在第三条直线上 方法二：利用公理3证明三条直线分别在两个平面内且它们的公共点都在两平面的交线上 3反证法：假设三条直线不共点推出矛盾证明原命题成立 （25-26高二上·上海·月考）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）经典例题1例题    （25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点．经典例题2例题 (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． （24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．小试牛刀1 (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． （24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．小试牛刀2    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. （24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .小试牛刀3    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【题型7：由平面的基本性质作截面图形】 【练方法】 知识梳理 1截面的定义：用一个平面去截几何体平面与几何体表面的交线围成的图形 2截面作图的核心依据：公理1公理3线面相交的性质 3常见几何体的截面：棱柱棱锥正方体的截面 解题方法 1截面作图步骤： 确定平面与几何体各面的交线 利用公理3找两个平面的公共点连接公共点得到交线 依次连接交线的端点得到截面图形 2关键技巧： 延长线法：延长几何体的棱或面找到截面平面与几何体表面的交点 平行线法：利用线面平行的性质画平行于棱的交线 3正方体截面： 三角形截面：平面与三个面相交截面为三角形 四边形截面：平面与四个面相交截面为平行四边形梯形矩形 五边形/六边形截面：平面与五个/六个面相交 （25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q．经典例题1例题 (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） （25-26高一下·全国·课堂例题）如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线．经典例题2例题 （25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ）小试牛刀1 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 （25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ）小试牛刀2 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 （25-26高二上·全国·期中）E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是______________.小试牛刀3    【题型8：与截面性质有关的计算】 【练方法】 知识梳理 1截面的形状：由平面与几何体相交的面数决定截面的边数等于相交面的个数 2截面的边长面积计算：截面为多边形可转化为平面几何问题计算 3截面的角度计算：截面与几何体棱的夹角截面与底面的二面角 解题方法 1截面形状判断：根据平面与几何体相交的面数确定截面的边数和形状 2截面边长计算：利用几何体的棱长结合线面关系计算截面多边形的边长 3截面面积计算： 方法一：将截面分割为三角形利用三角形面积公式计算 方法二：利用投影面积公式其中为截面与底面的夹角 4截面角度计算：利用线面角二面角的定义结合截面图形计算角度 （25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________.经典例题1例题 （25-26高二上·山东潍坊·月考）如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为____________．经典例题2例题 （23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ）小试牛刀1 A．2 B． C．1 D． （2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）小试牛刀2    A． B． C． D． （24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）小试牛刀3    A．10 B．15 C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二·上海·暑假作业）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 2．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆九龙坡·一模）已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·重庆·期中）以下四个命题正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 8．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）下列正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 三、填空题 9．（25-26高二上·上海·月考）空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是______条. 10．（2025·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为3，点 分别在棱 ， ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____ 四、解答题 11．（24-25高一下·河南郑州·期中）使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系．    (1)点P与直线 (2)点B与直线 (3)点P与直线 (4)点与平面 (5)直线与平面 (6)直线与平面 (7)平面与平面 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 13．（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 15．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 16．（24-25高二上·上海·月考）（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上． （2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点，平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 18．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【8.4.1·平面】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：平面的概念及其表示】 【练方法】 知识梳理 1平面的概念：平面是无限延展的无厚度无边界的抽象几何图形 2平面的表示方法： 用希腊字母表示 用平行四边形顶点字母表示如平面 用对角顶点字母表示如平面 3点线面的位置关系符号表示： 点在平面内： 点在平面外： 直线在平面内： 直线与平面相交： 解题方法 1平面的表示：按题目要求规范使用字母或顶点表示平面 2点线面位置关系符号：严格区分与点用线面用或 3平面的直观理解：用平行四边形表示平面时可适当延长边体现无限延展的特征 （25-26高一下·全国·课后作业）如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ）经典例题1例题 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用点、线、面的关系判断即得. 【详解】点是一个元素，直线和平面是一个集合，点在直线上可表示为：，AB错误； 而直线在平面内表示为，C错误，D正确． 故选：D （25-26高一下·全国·课后作业）若直线在平面内，则符号表示正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析选项，根据直线与平面不同位置关系的定义，判断每个选项对应的位置关系是否与题干“直线在平面内”一致 【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为，A正确； 对于B：表示直线与平面平行，不符合题意，B错误； 对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C错误； 对于D：表示直线与平面相交于点，不符合题意，D错误. （25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，点______________平面；点______________平面；______________平面；______________平面；平面平面______________；平面______________平面______________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据点线面的位置关系即可求解. 【详解】根据点线面的位置关系即可知答案为： ；；；；；；. （25-26高二上·上海·月考）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D （24-25高一下·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点与线、线与面、点与面的关系的集合表示，逐项判断. 【详解】由直线在平面内，得；由点在直线上，得；由点在平面内，得， 选项A正确，选项BCD都错. 故选：A 【题型2：平面的基本性质及辨析】 【练方法】 知识梳理 1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线在此平面内 符号表示： 2公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面 3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号表示：且 4公理2的三个推论： 推论1：过一条直线和直线外一点有且只有一个平面 推论2：过两条相交直线有且只有一个平面 推论3：过两条平行直线有且只有一个平面 解题方法 1公理辨析：逐条核对公理的条件注意公理2中“不共线三点”的前提公理3中“不重合平面”的前提 2命题判断：利用公理及推论判断命题真假重点关注特殊情况（如三点共线时不能确定唯一平面） 3应用公理1证明直线在平面内应用公理3证明点在两平面交线上 （25-26高一下·河南郑州·期中）三脚架的三脚着地就可以支撑照相机进行拍照，从中可以得到的道理是（   ）经典例题1例题 A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．三条相交直线确定一个平面 【答案】B 【详解】三脚架的三只脚不在同一直线上，根据基本事实1，可知选B． （24-25高一下·广东汕头·期中）下列说法正确的是（　　）经典例题2例题 A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 【答案】C 【分析】对于AC：根据平行的基本事实以及推论分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：不在同一条直线上三点确定一个平面，故A错误； 对于选项B：三条平行直线不一定能确定一个平面， 例如三棱柱的三条侧棱所在的直线，这三条直线就不共面，故B错误； 对于选项C：因为梯形有两边是平行的，且两条平行直线是共面直线， 所以梯形的四个顶点确定一个平面，故C正确； 对于选项D：两两相交的三条直线不一定能确定一个平面， 例如三棱锥的三条侧棱所在直线，这三条直线就不共面，故D错误. （25-26高一下·广东·期中）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） 小试牛刀1 A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. （25-26高二上·上海松江·月考）如图，在正方体中，平面平面______．小试牛刀2    【答案】 【分析】利用平面基本事实推理即得. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面； 同理平面，平面，所以平面平面. 所以平面平面 . 故答案为： （25-26高二上·北京·期中）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）．小试牛刀3 A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】对于A，举例，当与相交时，可能满足，即可判断；对于B，根据常识判断即可；根据基本事实2判断C；根据基本事实3判断D. 【详解】对于A，由，则或与相交， 当与相交时，可能满足，故A错误； 对于B，由，，易得，故B正确； 对于C，根据基本事实2可知，由，，，可得，故C正确； 对于D，根据基本事实3可知，由，，，，可得，故D正确. 故选：A 【题型3：点（线）确定平面的数量问题】 【练方法】 知识梳理 1不共线三点：确定1个平面 2共线三点：可确定无数个平面 3两条平行直线：确定1个平面 4两条相交直线：确定1个平面 5异面直线：不能确定平面 6一条直线与直线外一点：确定1个平面 7多个点确定平面：先判断点是否共线再判断不同组合确定的平面数量 解题方法 1分类讨论：先判断点/线的位置关系（共线/不共线平行/相交/异面） 2计数方法： 不共线的点：每三个不共线的点确定一个平面用组合数计算再减去共线三点的情况 直线与点：若直线外的点不在直线确定的平面内则每个点与直线确定一个平面 3排除重复：注意不同点线组合可能确定同一个平面需剔除重复计数 （25-26高三·全国·一轮复习）经过一条直线上3个点的平面（　　）经典例题1例题 A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 【答案】D 【分析】利用确定平面的条件判断即可. 【详解】经过不共线3个点的平面有且只有一个， 而经过同一直线上的3个点的平面有无数个． 故选：D. （24-25高一下·浙江宁波·期末）经过不在一条直线上的三个点的平面（   ）经典例题2例题 A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【答案】A 【分析】根据平面的性质即可求解. 【详解】由公理：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确. 故选：A. （24-25高二上·上海·月考）给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ）小试牛刀1 ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C （25-26高二·上海·暑假作业）下列命题错误的是（　　）小试牛刀2 A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面 【答案】D 【分析】根据基本事实二、三逐项判断即可. 【详解】由基本事实二知直线及直线外一点，确定一个平面，故A正确； 由基本事实三知两条平行直线，确定一个平面，故B正确； 由基本事实三知两条相交直线，确定一个平面，故C正确； 三条相交直线两两相交，确定一个或三个平面，故D错误． 故选：D． （24-25高二上·上海宝山·期中）有下列四个说法：小试牛刀3 ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是_____． 【答案】②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论分析各个说法即可. 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 【题型4：空间中点（线）共面的问题】 【练方法】 知识梳理 1共面的定义：点或直线在同一个平面内 2证明点共面的方法： 先确定一个平面再证明其他点在这个平面内 证明这些点确定的平面重合 3证明线共面的方法： 先证明两条直线共面再证明其他直线在这个平面内 证明直线上有两个点在平面内则直线在平面内 解题方法 1点共面证明： 方法一：由不共线三点确定平面再证明其余点在该平面内（利用公理1） 方法二：证明各点到某条直线的距离相等或点在两条相交直线确定的平面内 2线共面证明： 方法一：先找两条相交或平行直线确定平面再证明其他直线上有两点在平面内 方法二：利用公理1证明直线上两点在平面内则直线在平面内 3反证法：假设点/线不共面推出矛盾证明原命题成立 （2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ）经典例题1例题 A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． （2026高三·全国·专题练习）在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ）经典例题2例题 A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【分析】利用平面的基本性质，先由点在两条直线上推出点分别在两个平面内，再根据两个平面的交线确定点一定在这条交线上. 【详解】 如图所示，因为平面，平面，，所以平面，平面； 又因为平面平面，所以． 故选：B． （25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，.小试牛刀1 证明：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的方式，在平行六面体中，用基底的方式分解，根据长度关系，，最终证明，即可证明四点共面； 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. （25-26高二上·上海杨浦·月考）下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ）小试牛刀2 A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【答案】D 【分析】根据空间点线面面位置关系、基本事实一及推论判断即可. 【详解】设是空间中不重合的两条直线， 对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确； 对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确； 对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确； 对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误. 故选：D （25-26高二上·上海·月考）下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____，小试牛刀3 【答案】①②③ 【分析】根据线线平行得出四点共面分别判定①②③，根据异面直线判定④. 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 【题型5：空间中点共线问题】 【练方法】 知识梳理 1点共线的定义：多个点在同一条直线上 2证明点共线的核心依据：公理3两平面的公共点在它们的交线上 3常见模型：两个平面相交多个公共点都在交线上 解题方法 1证明点在两平面的交线上： 先证明这些点是两个平面的公共点 根据公理3两平面的公共点都在交线上故这些点共线 2证明三点共线： 方法一：证明点同时在两个平面内则点在两平面交线上三点都在交线上则共线 方法二：利用向量法证明三点对应的向量共线 3利用中点/重心性质：如三角形的重心在中线上多个重心在同一条中线上 （25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线．经典例题1例题 【答案】证明见解析 【分析】由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． （24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是（   ）经典例题2例题 A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【答案】D 【分析】由平面的基本性质可得出平面平面，即可得解. 【详解】因为DF与EG相交， 所以平面平面, 所以直线EB，GD交于点B，故D正确. 而由题意，可为上任意一点，故ABC错误. 故选：D （23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．小试牛刀1    【答案】共线 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      （24-25高二上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证：小试牛刀2 (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． （2024高三·全国·专题练习）平面中有和和三直线交于一点，若对应边所在的直线都相交，证明三个交点共线．小试牛刀3 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，分和不在同一平面内与在一个平面内讨论，结合三棱锥的结构特征，即可证明. 【详解】证明：如图1，先考虑和不在同一平面内，则由条件知， 它们可构成一个三棱锥，而是它的一个截面， 且和的对应边所在的直线都相交．    设与交于点，则平面平面， ∴点必落在平面与平面的交线上， 同理，与的交点，与的交点都落在平面与平面的交线上， ∴三对应边的交点共线．只要选取适当的投影方向， 便得到一个如图2所示的图形（投影图），从而原问题获证．    【题型6：空间中线共点问题】 【练方法】 知识梳理 1线共点的定义：多条直线相交于同一点 2证明线共点的核心依据：公理3若两个平面有一个公共点则它们的交线过该点 3常见模型：三条直线两两相交证明它们的交点重合 解题方法 1证明两条直线的交点在第三条直线上： 先证明两条直线相交于一点 证明点同时在第三条直线所在的两个平面内则在两平面的交线（第三条直线）上 2三线共点证明： 方法一：先找两条直线的交点再证明该交点在第三条直线上 方法二：利用公理3证明三条直线分别在两个平面内且它们的公共点都在两平面的交线上 3反证法：假设三条直线不共点推出矛盾证明原命题成立 （25-26高二上·上海·月考）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）经典例题1例题    【答案】 【分析】先证明直线与直线交于，再证明过点即可. 【详解】由题意与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面. ∵平面平面，，∴直线共点. 故答案为：. （25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点．经典例题2例题 (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交； （2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． （24-25高一下·吉林长春·期中）已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．小试牛刀1 (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由等体积法结合棱锥的体积公式计算可得；（2）先证明直线相交，设交于，同理可得直线相交于点，再由可得三线共点. 【详解】（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． （24-25高一下·河北邯郸·期中）如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且．小试牛刀2    (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明，进而可得四点共线； （2）延长，设它们交于一点，由已知可得，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 【详解】（1） 如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）    延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. （24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .小试牛刀3    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出可得； （2）利用基本事实3可证三线共点. 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面 且平面， 故平面平面， 所以三线共点. 【题型7：由平面的基本性质作截面图形】 【练方法】 知识梳理 1截面的定义：用一个平面去截几何体平面与几何体表面的交线围成的图形 2截面作图的核心依据：公理1公理3线面相交的性质 3常见几何体的截面：棱柱棱锥正方体的截面 解题方法 1截面作图步骤： 确定平面与几何体各面的交线 利用公理3找两个平面的公共点连接公共点得到交线 依次连接交线的端点得到截面图形 2关键技巧： 延长线法：延长几何体的棱或面找到截面平面与几何体表面的交点 平行线法：利用线面平行的性质画平行于棱的交线 3正方体截面： 三角形截面：平面与三个面相交截面为三角形 四边形截面：平面与四个面相交截面为平行四边形梯形矩形 五边形/六边形截面：平面与五个/六个面相交 （25-26高一下·河南许昌·期中）如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q．经典例题1例题 (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上即可； （2）连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，，得到四边形即为所求截面，再求面积即可． 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． （25-26高一下·全国·课堂例题）如图正方体中，，，分别是，，的中点．画出过，，的平面与平面的交线以及与平面的交线．经典例题2例题 【答案】作图见解析 【分析】连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，设，连接即得. 【详解】设，，三点确定的平面为，则与平面交于． 连接并延长交的延长线于一点，设为，连接，则为平面与平面的交线． 设，则是与平面的交线，如下图所示． （25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ）小试牛刀1 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. （25-26高二上·上海·月考）已知正方体中，点为的中点，点为的中点，则平面截正方体形成的截面图形为（    ）小试牛刀2 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】应用平面的基本性质画出截面图，即可得. 【详解】延长，交的延长线于， 连接，交于， 延长，交的延长线于， 连接，交于， 最后依次连接， 所得截面，即为所求. 故选：B （25-26高二上·全国·期中）E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是______________.小试牛刀3    【答案】五边形 【分析】由平面的基本性质作出截面图形即可判断. 【详解】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，    连接AP交BC于M，连接AQ交A1D1于N，连接NF、ME， 则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面； 故答案为：五边形. 【题型8：与截面性质有关的计算】 【练方法】 知识梳理 1截面的形状：由平面与几何体相交的面数决定截面的边数等于相交面的个数 2截面的边长面积计算：截面为多边形可转化为平面几何问题计算 3截面的角度计算：截面与几何体棱的夹角截面与底面的二面角 解题方法 1截面形状判断：根据平面与几何体相交的面数确定截面的边数和形状 2截面边长计算：利用几何体的棱长结合线面关系计算截面多边形的边长 3截面面积计算： 方法一：将截面分割为三角形利用三角形面积公式计算 方法二：利用投影面积公式其中为截面与底面的夹角 4截面角度计算：利用线面角二面角的定义结合截面图形计算角度 （25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱为一“堑堵”，是的中点，，则在过点且与平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为__________.经典例题1例题 【答案】/ 【分析】取、、分别为、、的中点，分析出四边形为等腰梯形，求其面积可得结果；然后将三棱柱补成正方体，计算出三棱柱的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】如图，取、、分别为、、的中点， 、分别为、的中点，则且， 在直三棱柱中，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，且， 且、分别为、的中点，则， 所以，四边形是等腰梯形， 当不是中点时，不平行平面， 则四边形不是等腰梯形，等腰梯形有且仅有一个， 取的中点，连接、， ，，且点为的中点， 则且， 所以，四边形为平行四边形，可得， 同理可得， 所以，、、均为等边三角形， . 故答案为：. （25-26高二上·山东潍坊·月考）如图所示正方体中棱长为1，是棱的中点，则由，，三点确定的平面与正方体相交所得截面图形的周长为____________．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据平面的性质与公理找出截面，进行求解即可. 【详解】延长相交于点，连接交于点，连接， 则四边形即为所求截面图形,如图， 因为为的中点，由相似比可知为的中点， 则，因为，分别为，中点， 所以， 所以，， 同理，， 所以周长为. 故答案为：. （23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ）小试牛刀1 A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C （2025·江西·一模）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则（   ）小试牛刀2    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】    在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：. （24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）小试牛刀3    A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A.    课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二·上海·暑假作业）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的符号语言可得结果. 【详解】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 2．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在直线上，直线在平面内，但不在平面内，下列符号表示点、线、面的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的表示方法进行判断即可. 【详解】因为点在直线上可表示为，故A错误； 直线在平面内，可表示为，故C正确； 因为，，所以，故B错误； 直线不在平面内，可表示为，故D错误. 故选：C 3．（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据基本事实，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由基本事实，直线上有两点在平面内，则这条直线在这个平面内，反之亦然. 所以“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的充要条件. 故选：C 4．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 6．（2026·重庆九龙坡·一模）已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，得到为菱形，故有过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形，根据题意求出的长度，取的中点，连接，根据勾股定理求出的长度，故菱形的面积为，代入数值得解. 【详解】取的中点，的中点，连接，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， 分别是，，，的中点，是正方形， 且，且， 且，为平行四边形，且， 而且，则，为平行四边形， ，四点共面，又，为菱形， 平面， 过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形， ，，则， 故菱形的面积为. 故选：A 二、多选题 7．（23-24高一下·重庆·期中）以下四个命题正确的是（    ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 【答案】AC 【分析】根据平面的性质判断A，根据空间中线线、面面的位置关系判断B，根据点、线、面的位置关系判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成部分，故A正确； 对于B：因为直线平面，直线平面，由与相交一定可以得到与相交， 但是由与相交，则与可以相交、平行或异面，故B错误； 对于C：因为，直线平面，则且， 又直线平面，所以， 又，所以，故C正确； 对于D：若空间中三个平面两两相交，则他们的交线可以互相垂直， 如图正方体中：平面平面， 平面平面，平面平面， 由正方体的性质可知、、两两互相垂直，故D错误. 故选：AC . 8．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）下列正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【答案】AC 【分析】由点线面的关系，结合平面的基本性质判断A、B的真假，根据正棱锥的定义判断C；根据圆锥的性质及三角形面积公式知：面积最大的截面为母线夹角最大，即知D的真假. 【详解】A：一个多面体至少有4个面，A选项正确； B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误； 对于C：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥，故C正确． D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面， 若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误； 故选：AC. 三、填空题 9．（25-26高二上·上海·月考）空间中有4个不同的平面两两相交，则它们交线的条数最多是______条. 【答案】6 【分析】分4个平面交于同一条直线，3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，任意3个平面都不交于同一条直线求解. 【详解】当4个平面交于同一条直线时，只有一条交线； 当3个平面交于同一条直线时，第4个平面与这3个平面相交，得到3条交线，一共得到4条交线； 当任意3个平面都不交于同一条直线时，共得到6条交线. 综上：它们交线的条数最多是6条. 故答案为：6 10．（2025·重庆·模拟预测）已知正方体的棱长为3，点 分别在棱 ， ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____ 【答案】 【分析】分别在棱上取点，且，结合正方体的特征证得，，，从而得出所要求的多边形为六边形，且其面积等于两个等腰梯形与的面积之和，从而得出答案． 【详解】如图所示： 分别在棱上取点，且， 易得，， 故， 同理可得， 故， 同理可求得，， 故过三点的平面截正方体所得的多边形为六边形，其面积等于两个等腰梯形与的面积之和， 由条件可得，，， 从而可得梯形的高为， 梯形的高为， 故梯形的面积为， 梯形的面积为， 六边形的面积为． 故答案为：． 四、解答题 11．（24-25高一下·河南郑州·期中）使用恰当的符号表示下列点、直线、平面之间的关系．    (1)点P与直线 (2)点B与直线 (3)点P与直线 (4)点与平面 (5)直线与平面 (6)直线与平面 (7)平面与平面 【答案】(1)直线 (2)直线 (3)直线 (4)平面 (5)直线平面 (6)直线平面 (7)平面平面 【分析】（1）（2）（3）判断点与直线位置并用符号表示出. （4）判断点与平面位置并用符号表示出. （5）（6）判断直线与平面位置并用符号表示出. （7）判断平面与平面位置并用符号表示出. 【详解】（1）点P在直线上，则直线. （2）点B不在直线上，则直线. （3）点P不在直线上，则直线. （4）点不在平面内，则平面. （5）直线在平面内，则直线平面. （6）直线与平面平行，则直线平面. （7）平面与平面平行，则平面平面. 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 13．（2024高一下·全国·专题练习）已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【分析】先证明平面与平面相交于,再根据线面关系证明在直线上,即可证明三点共线. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 14．（24-25高二上·上海·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 15．（22-23高一下·河南洛阳·月考）如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 16．（24-25高二上·上海·月考）（1）用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线AB，AC分别在平面α，β内，且点A在平面α与平面β的交线l上． （2）在正方体中，M，N，P分别是A1B1，AD，BB1的中点，平面α过M，N，P三点，则平面α截此正方体的截面为一个多边形， （ⅰ）仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形（保留作图痕迹，不需要写作图步骤）； （ⅱ）若正方体的棱长为6，直接写出此截面多边形的周长． 【答案】（1）答案见解析，作图见解析；（2）（ⅰ）作图见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意画图，并符号表示； （2）（ⅰ）利用三线共点，点一定在两个平面的交线上，画出图形，（ⅱ）根据图形的特征，利用勾股定理求解各边即可. 【详解】（1）用符号表示：， 如图： （2）（ⅰ）在正方体中画出此截面多边形如图所示： 作直线分别与延长线于， 连接交于，连接交于， 最后连接，即得截面. （ⅱ）由题设，易知，进而易得， 截面多边形的周长等于， ， ， 所以， ， 所以截面多边形的周长等于． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，E，F分别为，的中点，，，如图． (1)求证：D，B，E，F四点共面； (2)作出直线与平面的交点R的位置． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）说明，再由两条相交直线可以确定平面即可求证； （2）利用公理2说明三点在两个平面的交线上即可. 【详解】（1）由于和在同一个平面内且不平行，故必相交． 如图，设交点为O，因为F为的中点，所以且，即是的中位线，则． 同理直线与也相交，设交点为，则，故与O重合． 由此可证得，故D，B，F，E四点共面． （2）设平面为．由于， 所以，A，C，四点共面（设为）． 因为，，所以． 又，，所以， 所以． 同理可证得，从而有． 连接，交于点R，因为， 所以与平面的交点就是与的交点． 所以与的交点R就是所求的交点． 18．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解； （2）根据棱锥的体积公式求解； （3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可. 【详解】（1）由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. （2）, 因为三棱锥的高， 所以. （3）连接， 因为分别为的中点，所以 且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以 ，且，即四边形是平行四边形， 所以 ，所以 ， 所以四点共面. 1 学科网（北京）股份有限公司 $