8.1.2样本相关系数教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 8.1.2《样本相关系数》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“统计与概率”主题，学生应能够：了解样本相关系数的统计意义，掌握样本相关系数的计算公式，能够通过样本相关系数判断两个变量之间的线性相关程度，体会用样本估计总体的思想。 课标分析： 本节课是“成对数据的统计分析”的核心内容之一，承接上一节“变量的相关关系”，从定性分析走向定量刻画。课标强调“了解”与“掌握”两个层次：学生不仅要知道相关系数的定义，还要理解其推导逻辑（如中心化、向量夹角解释），并能熟练计算和分析。本节课通过构造数字特征——样本相关系数 ，实现了对相关性强弱的量化，为后续学习一元线性回归模型奠定了关键基础。教学中应注重从散点图的直观感知过渡到代数计算，帮助学生体会统计量在数据分析中的价值，培养数据分析素养和逻辑推理能力. 2、 教材分析 “样本相关系数”是人教A版选择性必修第三册第八章第1.2节内容，是变量相关关系研究的深化与量化。教材在上一节引入散点图和定性判断（正相关、负相关、线性相关等）的基础上，提出“如何定量度量相关程度”的问题，进而通过“中心化”技巧构造出样本相关系数 ，并给出其取值范围和性质。教材还通过向量夹角的几何解释，帮助学生理解相关系数的本质。本节内容不仅是统计描述的重要工具，也是后续学习回归分析、假设检验的基础，在知识体系中起着“从定性到定量”的桥梁作用。通过本节课的学习，学生能够掌握数据分析中常用的量化指标，提升数据处理和科学决策的能力. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了变量的相关关系、散点图的绘制与解读，能够直观判断正相关、负相关以及线性相关的强弱。同时，学生具备了一定的代数运算基础（如求和、平方、开方）和向量初步知识（数量积、夹角），为本节课理解相关系数的公式和几何意义提供了支撑。但是，样本相关系数的公式较为复杂，涉及多个求和项，学生在计算时容易出错；对“中心化”思想的理解、相关系数绝对值大小与相关程度对应关系的把握，以及通过样本相关系数推断总体相关性的思想，对学生来说仍有难度。此外，学生容易混淆相关系数与函数关系中的确定性关系。教师应通过具体实例、逐步推导和分层练习，帮助学生突破难点，强化统计思维. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从散点图的直观感知中抽象出度量相关程度的数字特征，理解样本相关系数的定义及其统计意义，提升从具体现象中提炼数学概念的能力。 1. 逻辑推理素养：理解样本相关系数的推导过程（如中心化、符号与相关方向的关系），推导相关系数的取值范围，并能解释 的几何与代数意义，培养严谨的推理能力。 1. 数据分析素养：能够根据成对样本数据计算样本相关系数，并依据 的值判断两个变量之间的相关类型（正/负）和相关程度（强/弱），体会用样本估计总体的思想。 1. 直观想象素养：通过散点图与相关系数数值的对比，建立“点分布越集中， 越接近1”的直观印象，借助向量夹角理解相关系数的几何意义，增强形数结合能力。 1. 数学建模素养：能够将实际问题中的成对数据转化为样本相关系数的计算模型，并根据计算结果做出合理的推断，体会统计量在现实决策中的应用价值. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：样本相关系数的定义、计算公式、取值范围及其性质；通过样本相关系数判断两个变量的线性相关程度。 1. 难点：样本相关系数公式的推导（中心化思想）；相关系数绝对值大小与相关程度强弱的对应关系；理解样本相关系数的随机性及用样本估计总体的思想. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题（PPT或黑板）： （1）已知两组数据 ；。请通过观察判断它们之间的相关关系类型，并猜测相关系数 可能的值。 答案：完全正相关，。 （2）对于成对样本数据 ，我们常进行“中心化”处理，即令 ，。这样做的目的是什么？ 答案：将数据的平移中心置于原点，便于观察正负相关的符号特征（同号为正相关，异号为负相关）。 （3）样本相关系数 的计算公式为 。请问 的取值范围是什么？ 答案：。 2. 请学生回答，教师点评并纠正错误，强调公式中各符号的含义. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 上节课我们学习了如何判断两个变量之间是否存在相关关系。请问，我们通过什么图形可以直观地观察成对数据的变化规律？ 学生回答：散点图。 教师追问：通过散点图可以判断哪些类型？ 学生回答：正相关、负相关、线性相关、非线性相关，还能大致看出相关性的强弱（点是否集中在一条直线附近）。 2. 教师展示一组散点图（如脂肪含量与年龄的散点图），引导学生观察： 问：这两个变量是正相关还是负相关？线性相关程度强还是弱？ 学生答：正相关，点大致在一条直线附近，相关性较强。 教师总结：散点图能给出直观但粗略的判断，有没有一个数字能够精准地告诉我们相关程度到底有多强？从而引入本节课——样本相关系数. 环节三：合作探究 1. 从定性到定量：构造度量相关程度的数字特征（5分钟） 教师提出问题：我们已经知道，正相关时，中心化后的点 大多分布在第一、三象限，即 与 同号居多；负相关时，大多分布在第二、四象限，即异号居多。 问：能否构造一个量，当同号多时这个量大，异号多时这个量小？ 引导学生思考：考虑 这个和。 如果大部分点同号，则乘积 ，总和为正且较大； 如果大部分点异号，则乘积为负，总和为负且绝对值较大； 如果无相关，则正负抵消，总和接近0。 教师总结：这个和 能够反映正负相关方向，但它的大小受数据尺度影响（比如单位不同），不能直接用于比较相关程度。 进一步引导：为了消除尺度影响，我们将其除以两个变量标准差的乘积，即构造： 这就是样本相关系数。 2. 样本相关系数的性质与几何解释（5分钟） 教师讲解： 表示正相关， 表示负相关。 越接近1，线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱。 当 时，所有点恰好落在一条直线上（完全线性相关）。 当 时，没有线性相关关系（但可能存在非线性相关）。 几何解释（向量夹角）： 将中心化后的数据看成两个 维向量 ，，则 其中 为两向量的夹角。 因此 ，且 表示两向量同向（完全正相关）， 表示反向（完全负相关）， 表示垂直（无线性相关）。 教师展示几组典型散点图及其相关系数（如 ），让学生直观感受 大小与点集中程度的关系。 3. 样本相关系数的随机性与样本估计总体（5分钟） 教师提问：我们计算的是样本相关系数，它能完全代表总体吗？ 学生讨论后回答：不能，因为样本有随机性，不同样本得到的 可能不同。 教师总结：在实际中，我们通常用样本相关系数去估计总体的相关系数。样本容量越大，估计效果越好。当样本量很小时（如 ），无论如何都会得到 ，这是不可靠的。因此，使用相关系数时要注意样本量。 举例：若只抽取两名学生的复习时长与成绩，即使总体无相关，样本点也必共线，，这显然是错误的推断。因此要避免小样本带来的误导. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：已知成对数据如下： 1 2 3 4 5 2 4 5 7 8 （1）画出散点图（可简述为点大致从左下到右上分布）； （2）计算样本相关系数 （保留三位小数）； （3）判断相关类型和强度。 解： 先计算 ，。 列表： 乘积 2 -2 -3.2 4 10.24 6.4 2 4 -1 -1.2 1 1.44 1.2 3 5 0 -0.2 0 0.04 0 4 7 1 1.8 1 3.24 1.8 5 8 2 2.8 4 7.84 5.6 求和：，，。 （或精确计算：） 结果：，为正相关，且相关程度极强（接近完全线性）。 例2：判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： （1）样本相关系数 表示两个变量之间有80%的线性关系。（ ） （2）若 ，则两个变量负相关，且相关程度很强。（ ） （3）样本容量越大，样本相关系数越稳定。（ ） （4）当所有样本点都落在一条直线上时， 或 。（ ） 答案：（1）×（相关系数不是百分比，是强度度量）；（2）√；（3）√；（4）√。 2. 综合练习（7分钟） 例3：某研究机构收集了6名学生的数学周测复习时长（小时）与周测成绩（分）如下： 复习时长 1 2 3 4 5 6 成绩 50 55 65 70 80 90 （1）计算样本相关系数 （保留三位小数）； （2）根据计算结果，推断复习时长与成绩的相关类型和强度； （3）若某学生复习时长为7小时，能否根据这个相关性准确预测其成绩？为什么？ 解： （1）计算 ，（取 ） 列表计算（为简化，可列表格）： 平方_x 平方_y 乘积 1 50 -2.5 -18.333 6.25 336.11 45.8325 2 55 -1.5 -13.333 2.25 177.78 20.0 3 65 -0.5 -3.333 0.25 11.11 1.6665 4 70 0.5 1.667 0.25 2.78 0.8335 5 80 1.5 11.667 2.25 136.11 17.5005 6 90 2.5 21.667 6.25 469.44 54.1675 和 17.5 1133.33 140.0 （注：平方和及乘积可保留分数精确计算避免误差，此处近似，但应得 接近1） 精确计算：，，计算后得 ， ？重新精确： 分别为 ，，，，，。 平方和：。 乘积和： = 。 所以 近似计算： ，开方≈140.83，。 （2）正相关，相关程度很强。 （3）不能准确预测，因为相关关系不是函数关系，存在随机误差，只能给出大致趋势。 例4（多选题）：下列关于样本相关系数 的说法中，正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 表示两个变量之间没有任何关系 C. 越接近1，线性相关程度越强 D. 样本相关系数 的大小与数据的单位无关 E. 若两个变量完全线性相关，则 答案：A、C、D、E（B错误， 只表示没有线性相关，可能有非线性相关）。 例5：已知两个变量的样本相关系数 ，样本量为100。能否说这两个变量没有关系？为什么？ 答案：不能。因为 接近0只说明没有线性相关关系，但可能存在强非线性关系（如抛物线关系），需要结合散点图进一步判断. 小试牛刀： 一、单选题 1．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 2．在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，则解释变量和响应变量之间的相关系数（　　） A． B． C．0 D．1 二、多选题 3．下列说法正确的是（   ） A．数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B相互独立 C．已知一组样本数据的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据的平均值为9，极差为14，中位数为11 D．若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1 三、填空题 4．某校为调查全校学生的睡眠时间，从全体学生中用随机数法抽取了一个容量为100的简单随机样本，他们的睡眠时间如下表(单位：h)： 睡眠 时间 合 计 人数 5 6 2 则这100名学生的平均睡眠时间并由此估计该校学生的日平均睡眠时间为____． 四、解答题 5．某厂的生产原料耗费（单位：百万元）与销售额（单位：百万元）之间有如下的对应关系： 与之间是否具有线性相关关系？若有，判断相关性的强弱. . . . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 样本相关系数 的定义和计算公式。 (2) 的正负决定正相关还是负相关。 (3) 的大小反映线性相关程度的强弱。 (4) 几何意义：中心化后向量夹角的余弦。 (5) 样本相关系数的随机性和用样本估计总体的思想。 1. 教师补充： (1) 相关系数是线性相关的度量，不能滥用。 (2) 计算时要细心，注意公式中的平方和与交叉积。 (3) 实际应用中，应结合散点图和样本量综合判断. 环节六：布置作业 1. 书面作业： 完成教材第103页练习第3、4题（计算样本相关系数并分析）。 配套课时达标检测《样本相关系数》基础题。 2. 拓展作业： 收集一组你感兴趣的成对数据（如身高与鞋码、学习时间与睡眠时间等），计算样本相关系数，并撰写简要分析报告（包括散点图、 值、结论）。 3. 预习引导： 思考：如果两个变量之间存在较强的线性相关关系，我们能否用一个直线方程来近似描述它们的关系？为下一节“一元线性回归模型”做准备. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课从定性分析自然过渡到定量刻画，通过“中心化”和向量夹角两个角度帮助学生理解样本相关系数的构造逻辑，避免了单纯的公式记忆。合作探究环节注重引导学生思考，课堂练习设计了从基础计算到辨析判断的多层次题目，学生在计算中强化了对公式的掌握。需要反思的是：部分学生在求和运算中容易出错，后续应加强分组练习和互批；另外，对于“ 不代表无关系”这一易错点，还需结合具体反例（如 的数据）进行巩固。整体上，本节课较好地达成了教学目标，学生的数据分析素养得到了提升. 学科网（北京）股份有限公司 $