8.1.2 样本相关系数教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.1.2 样本相关系数 课程：高中数学 教材：高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 章节：8.1.2 样本相关系数 教材分析 本节课通过分析成对样本数据的分布特征，引入样本相关系数的概念，利用数学工具推导其表达式，并通过几何解释说明其取值范围及意义。教学过程从直观的散点图出发，逐步引导学生理解如何量化两个变量之间的线性相关程度。本节内容与前面对变量集中趋势和离散程度的分析相衔接，为后续统计推断和回归分析的学习奠定基础。通过本节课的学习，学生能够掌握用数学方法刻画变量相关性的手段，提升数据分析和抽象思维能力，为理解统计模型和实际问题建模提供支持。 学情分析 针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已经掌握了单变量数据的数字特征如均值、方差的计算与意义，了解散点图在描述变量关系中的作用，并具备初步的函数与统计思想，能够通过图形直观判断变量间的相关性。高中阶段学生的抽象思维能力和逻辑推理能力已有一定发展，能够理解通过构造数学模型解决实际问题的方法。但样本相关系数的构造原理及其背后的向量解释对学生来说较为抽象，需要较强的数形结合与代数推导能力。本节课要求学生理解样本相关系数的定义、符号和绝对值大小的统计意义，掌握其计算公式，并能结合散点图和相关系数分析变量间的线性相关程度，为后续统计推断奠定基础。 教学目标 1. 理解样本相关系数的概念和构造过程，能够解释其数学含义，达到数学抽象核心素养水平二的要求。 2. 掌握样本相关系数的计算公式，能够进行相关计算，达到数学运算核心素养水平二的要求。 3. 能够通过散点图判断变量间的相关关系，并利用样本相关系数进行定量分析，达到数据分析核心素养水平三的要求。 4. 理解样本相关系数的取值范围及其统计意义，能够解释的绝对值大小与线性相关程度的关系，达到数学建模核心素养水平二的要求。 重点难点 教学重点：样本相关系数的定义及其统计意义，利用样本相关系数分析变量间的线性相关性。 教学难点：样本相关系数的构造原理及标准化处理，理解相关系数与向量夹角的关系及其几何意义。 课堂导入 同学们，生活中我们常能感觉到一些变量之间存在关联，比如身高与体重，学习时间与考试成绩等。之前我们通过散点图能大致判断变量间是否相关，是正相关还是负相关。但大家想一下，假如有两组数据，一组是身高与体重的，另一组是学习时间与考试成绩的，仅靠散点图，我们能确切说出哪组变量间的相关程度更强吗？是不是觉得有些困难。就像分析单个变量数据时我们引入均值、方差等数字特征，那对于成对样本数据，能否也引入一个“数字特征”，来定量分析它们的相关程度呢？今天，我们就一起来探究这个问题——样本相关系数。 样本相关系数 探究新知 （一）知识精讲 在分析两个变量之间的相关关系时，我们可以通过观察散点图来判断变量之间是否存在相关性，是正相关还是负相关，是线性相关还是非线性相关。然而，散点图只能提供直观的判断，无法对相关程度进行定量分析。因此，我们需要引入一个类似于均值、方差这样的“数字特征”，来对成对样本数据的相关程度进行定量描述。 对于变量 和变量 ，设成对样本数据为 ，其中 和 的均值分别为 和 。为了消除变量的均值影响，我们对数据进行中心化处理，得到新的成对数据： 通过观察这些点的分布规律，我们发现：如果变量 和 正相关，大多数点会分布在第一、第三象限，横纵坐标同号；若负相关，则多数点分布在第二、第四象限，横纵坐标异号。 基于这一规律，我们构造一个量： 这个量 可以反映变量之间的相关方向：当 时，变量正相关；当 时，变量负相关。但由于 的大小受变量单位影响，不能直接用于比较不同变量之间的相关程度。 为了消除单位影响，我们对数据进行标准化处理。定义样本标准差： 将每个数据减去均值后除以标准差，得到标准化后的成对数据： 仿照 的构造，我们定义样本相关系数 ： 样本相关系数 是一个描述两个变量之间线性相关程度的数字特征。它的符号反映了变量之间的相关方向：当 时，变量正相关；当 时，变量负相关。 进一步分析 的取值范围，我们将其与向量的夹角联系起来。设标准化后的数据构成两个 维向量： 则有： 其中 是这两个向量之间的夹角。根据余弦函数的性质，，因此： 当 时，说明变量之间存在完全的线性关系；当 接近 0 时，说明变量之间的线性相关程度很弱。 图8.1-5展示了不同样本相关系数对应的散点图分布情况，直观地反映了 与线性相关程度之间的关系。 （二）师生互动 教师提问1：我们已经知道，样本相关系数 的取值范围是 ，那么当 时，变量之间是否存在相关性呢？ 学生思考后回答：当 时，说明变量之间没有线性相关关系，但可能存在其他形式的相关关系，比如非线性关系。 教师追问2：如果两个变量的相关系数 ，是否一定比 的变量之间相关性更强？为什么？ 学生讨论后回答：是的，因为 越接近 1，说明变量之间的线性相关程度越强，因此 表示的线性相关性确实比 更强。 教师追问3：在实际问题中，我们通常只能获得样本数据，而不是总体数据。这种情况下，我们如何利用样本相关系数来估计总体的相关程度？ 学生回答：我们可以利用样本相关系数 来估计总体相关系数，样本容量越大，估计的结果越可靠。 （三）设计意图 本部分通过从直观的散点图出发，引导学生逐步理解如何从定性分析过渡到定量分析，进而引入样本相关系数的概念。通过构造 和标准化处理，帮助学生理解如何消除变量单位对相关性度量的影响，并通过向量夹角的几何解释，使学生掌握样本相关系数的取值范围及其意义。师生互动环节通过层层设问，引导学生深入理解相关系数的统计意义，培养其数据分析和逻辑推理能力。整个过程体现了从具体到抽象、从直观到形式化的数学思维过程，有助于学生形成科学的数据分析观念和数学建模意识。 新知应用 例1题目： 根据表8.1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度。 解答： 首先，我们画出脂肪含量与年龄的散点图（图8.1-1），观察发现样本点大致集中在一条直线附近，说明这两个变量之间可能存在线性相关关系。 接下来，根据样本相关系数的定义公式： 也可以化简为： 题目中给出的数据为： · 样本容量 · ， · ，， 代入公式计算： 由计算结果 ，可以判断脂肪含量与年龄之间存在正线性相关关系，且相关程度非常强。 总结： 1.题目考查内容 ① 样本相关系数的定义与计算方法 ② 利用样本相关系数判断两个变量之间的线性相关性 ③ 散点图与相关系数的结合分析 2.题目求解要点 ① 理解样本相关系数的公式结构，掌握其变形形式（便于计算） ② 能够从散点图中初步判断变量是否线性相关 ③ 代入具体数据进行计算，注意保留有效数字 ④ 根据 的大小判断相关性强弱（越接近1，相关性越强） ⑤ 根据 的正负判断变量是正相关还是负相关 例2题目： 有人收集了某城市居民年收入与A商品销售额的10年数据，画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断A商品销售额与居民年收入的相关程度和变化趋势的异同。 解答： 首先，根据表8.1-2中的数据，绘制散点图（图8.1-6），观察发现A商品销售额与居民年收入的样本点大致分布在一条直线附近，说明两者之间存在线性相关关系。 接着，通过计算得到样本相关系数 。 由于 ，说明A商品销售额与居民年收入之间是正线性相关，即随着居民年收入的增加，A商品销售额也趋于增加。 又因为 接近1，说明两者的线性相关程度非常强。 因此，可以推断：A商品销售额与居民年收入具有相同的增长趋势，且相关性非常显著。 总结： 1.题目考查内容 ① 样本相关系数的实际意义 ② 利用散点图判断变量之间的线性关系 ③ 通过相关系数分析变量之间的变化趋势一致性 2.题目求解要点 ① 能够根据散点图判断变量是否线性相关 ② 理解相关系数的正负号与变量变化趋势的关系 ③ 掌握相关系数大小与相关性强弱之间的关系 ④ 能够结合实际背景对相关性结果进行解释 例3题目： 在某校高一年级中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，判断体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性？ 解答： 根据样本数据，分别绘制体重与身高、臂展与身高的散点图（图8.1-7(1)和(2)），观察发现两个散点图中的样本点都大致分布在一条直线附近，说明这两个变量之间都存在一定的线性相关性。 通过计算得到： · 体重与身高的样本相关系数约为 · 臂展与身高的样本相关系数约为 分析： · 两者均为正相关，说明随着身高的增加，体重和臂展也趋于增加。 · 臂展与身高的相关系数更大，说明两者之间的线性相关程度更强。 因此，可以得出结论： · 体重与身高之间存在弱正相关 · 臂展与身高之间存在较强正相关 总结： 1.题目考查内容 ① 多组变量之间的相关性比较 ② 相关系数大小与相关性强弱的关系 ③ 实际数据背景下的相关性分析 2.题目求解要点 ① 能够根据散点图初步判断变量是否线性相关 ② 掌握不同相关系数值所代表的相关性强弱等级 ③ 能够比较多个变量之间的相关性强弱 ④ 结合实际背景对相关性结果进行合理解释 新知巩固 题目： 第1题：研究变量 ， 得到一组成对数据 ，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据 ，其中 ，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（ ） 选项： A．变量 与变量 的相关性变强 B．相关系数 的绝对值变小 C．线性回归方程 不变 D．拟合误差 变大 解答： 我们逐项分析： 1. 新增数据点的含义： 新增的点 是原数据的均值点，即 。 在线性回归中，回归直线 一定经过点 。 所以新增这个点不会改变回归直线的斜率和截距。 2. 选项 C 分析： 因为回归直线本来就经过 ，所以加入这个点后，回归直线仍然不变。 因此，选项 C 正确。 3. 选项 A 和 B 分析： 相关系数 的计算公式为： 当加入点 时，该点对分子和分母的贡献都为0（因为 ，），所以相关系数 不变。 因此，选项 A 和 B 都错误。 4. 选项 D 分析： 拟合误差 是残差平方和： 加入点 后，该点的预测值 ，所以残差为0，拟合误差不变。 因此，选项 D 错误。 总结： 1. 题目考查内容： · 线性回归的基本性质（回归直线必过均值点） · 相关系数的计算与不变性 · 拟合误差的定义与变化判断 2. 题目求解要点： · 回归直线必过 ，新增该点不改变回归方程 · 相关系数 的计算中，新增点对分子和分母无影响，因此 不变 · 拟合误差中新增点的残差为0，因此误差不变 3. 同类型题目解题步骤： 1. 明确新增点的性质（是否为均值点） 2. 判断其对回归方程的影响（是否改变斜率或截距） 3. 分析对相关系数的影响（是否改变分子或分母） 4. 判断对拟合误差的影响（是否引入非零残差） 题目： 第2题：已知变量 之间的线性回归方程为 ，且变量 之间的一组相关数据如下表所示： 2 4 6 8 6 3 2 则下列说法错误的是（ ） 选项： A．变量 与变量 之间呈现负相关关系 B．变量 与变量 之间的相关系数 C． 的值等于 5 D．由表格数据知，该回归直线必过点 解答： 我们逐项分析： 1. 选项 A 分析： 回归方程为 ，斜率为负，说明 与 负相关。 所以 选项 A 正确。 2. 选项 B 分析： 回归方程的斜率 ，但相关系数 与斜率的关系为： 所以不能直接得出 ，除非知道 。 因此，选项 B 错误。 3. 选项 C 分析： 回归直线必过点 ，我们设 为未知数，先求 和 ： 将 代入回归方程： 解得： 所以 选项 C 正确。 4. 选项 D 分析： 由上可知，，，即回归直线必过点 。 所以 选项 D 正确。 总结： 1. 题目考查内容： · 线性回归方程的性质（必过均值点） · 回归系数与相关系数的关系 · 利用回归方程反求缺失数据 2. 题目求解要点： · 回归直线必过 ，可用于反求未知值 · 回归系数 与相关系数 的关系需结合标准差判断 · 不能直接将回归系数当作相关系数 3. 同类型题目解题步骤： 1. 利用回归直线必过均值点的性质，列出方程求未知数 2. 分析回归系数与相关系数的关系，注意是否涉及标准差 3. 判断选项是否符合线性回归的基本性质 4. 验证回归直线是否经过特定点（如均值点） 板书设计 样本相关系数 ├─ 引入背景 │ ├─ 散点图直观判断相关性（正/负/线性/非线性） │ └─ 需定量分析：引入数字特征 ├─ 构造思路 │ ├─ 数据平移： │ ├─ 正相关：多数点在第一、三象限（同号） │ ├─ 负相关：多数点在第二、四象限（异号） │ └─ 初步统计量： ├─ 标准化处理 │ ├─ 消除单位影响 │ ├─ 标准差：，同理 │ └─ 标准化数据： ├─ 样本相关系数定义 │ ├─ 公式： │ └─ 向量解释：，为标准化向量夹角 ├─ 性质 │ ├─ 取值范围： │ ├─ 正负性 │ │ ├─ ：正相关 │ │ └─ ：负相关 │ └─ 绝对值大小反映线性相关强弱 │ ├─ 接近1：线性相关性强 │ └─ 接近0：线性相关性弱 └─ 实际应用 ├─ 总体相关系数：用全部数据计算 ├─ 样本相关系数：用样本估计总体 └─ 样本容量越大，估计越准确 教学反思 本教学设计先通过提出能否用数字特征量化变量相关程度的问题，引入样本相关系数的推导过程，包括对数据的处理、的构造，再探讨其正负性、取值范围及与线性相关程度的关系，最后说明用样本相关系数估计总体相关系数。本课程基本完成教学任务，多数学生能理解样本相关系数概念及作用。成功之处在于引导学生从散点图规律出发，逐步推导得出样本相关系数，逻辑清晰。不足之处在于对于与向量关系的讲解，部分学生理解较困难，且未充分让学生自主探究样本相关系数大小与线性相关程度的联系。 学科网（北京）股份有限公司 $$