2026年中考数学二轮复习 函数菱形的存在性

1 考 考 点 在平四存在性问题里我们探讨了以下的几种情况： （1）已知三点坐标，求第四个点的坐标，俗称“三定一动” （2）已知两点坐标和另外两个点的运动轨迹，求另两点坐标，俗称“两定两动” （3）已知四个点的运动轨迹，求各坐标，俗称“四动” 中 2 考 考 点 对于这类题，我们掌握了做法，就是把其中一个点拿出来，然后和其他三个点分别连成对角线，即分为三种情况，利用中点坐标公式写出式子，式子写出之后，剩下来的就是计算的故事里。 在此基础上我们再来探讨下菱形存在性的问题。 同学们，我们这个系列主要是给大家介绍一些通法通解的策略。 中 3 考 考 点 家长朋友们，同学们，有句话说了很多遍：学霸不可怕，就怕学霸放长假，你只看到自己的孩子有没有学习，而看不到别人家的孩子在努力，这样的情况下，差距真的会越来越大啊！ 还要强调一点的是，把每一道简单的题目都做对，就是不简单，就能得高分！ 中 4 考 考 点 菱形作为一种特殊的平行四边形，我们可以从以下方式考虑： （1）菱形的对角线将菱形分成两个等腰三角形； （2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 中 5 6 建 立 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路2：先平四，再菱形 思路1：先等腰，再菱形 思路1：先等腰，再菱形 7 解 决 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路1：先等腰，再菱形 菱形的构建可以理解为是以“等腰三角形”为基础的，它的两腰即为菱形的两边 8 解 决 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路1：先等腰，再菱形 9 解 决 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路1：先等腰，再菱形 那么在本题中，我们已知线段AD，通过等腰三角形的三种分类讨论，利用点点公式，可以把第三个点B的坐标求出来，然后利用中点公式，求出第四个点 10 解 决 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路1：先等腰，再菱形 首先利用点点公式，可以求出AD2=20 设B(a,0) ①AB=AD时 解之得a=6或-2 当B（6，0）时，由中点公式可得 设C(x,y) 　x+2= 6+4 　y+2= 0+(-2) ｛ 解得C(8,-4) 11 解 决 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路1：先等腰，再菱形 首先利用点点公式，可以求出AD2=20 设B(a,0) ①AB=AD时 解之得a=6或-2 当B（-2，0）时， 设C(x,y) 同理可得C(0,-4) 12 解 决 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路1：先等腰，再菱形 首先利用点点公式，可以求出AD2=20 设B(a,0) ②DB=DA时 解之得a=8或0 当B（8，0）时， 设C(x,y) 得C(6,4 ) 当B（0，0）时， 得C(-2,4 ) 13 解 决 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路1：先等腰，再菱形 首先利用点点公式，可以求出AD2=20 设B(a,0) ③BA=BD时 解之得a=3 所以B（3，0）时， 设C(x,y) 此时A、B、D在同一条直线上，不合题意 综上 14 结 小 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路1：先等腰，再菱形 已知点A、点D，因为B点在x轴上，相对于C的未知来说算是相对好求出，设为B（a，0），我们下面的任务就是先把B点坐标求出来 怎么求？因为△ABD一定是一个等腰三角形，（这个结论大家画个四边形的草图就知道了），所以我们按照求等腰的三个分类去操作就可以（①点②线③式），具体的做法大家按照我给的思路按照顺序写：①AB=AD②DB=DA③BA=BD 求出点B坐标后，利用中点坐标公式可以求出点D坐标 15 建 立 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路2：先平四，再菱形 思路1：先等腰，再菱形 16 建 立 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路2：先平四，再菱形 设点坐标，根据平四存在性要求列出“ ”（AC为对角线时），再结合一组邻边相等，得到方程组． 具体过程是： 平四 AB=AD 17 建 立 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路2：先平四，再菱形 ①AC为对角线 C(x,y) 设B(a,0) 　2+x= a+4 　2+y= 0+(-2) ｛ 　x= a+2 　y= -4 ｛ AB=AD 解之得a=6或-2 所以可得C(8,4)或(0,-4) 18 建 立 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路2：先平四，再菱形 ②AB为对角线 C(x,y) 设B(a,0) 　2+a= x+4 　2+0= y+(-2) ｛ 　x= a-2 　y= 4 ｛ AD=BD 解之得a=8或0 所以可得C(6,4)或(-2,4) 19 建 立 模 型 探 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路2：先平四，再菱形 ③AD为对角线 C(x,y) 设B(a,0) 　2+4= x+a 　2+(-2)= y+0 ｛ 　x= 6-a 　y= 0 ｛ AB=BD 解之得a=3 所以可得C(3,0) 此时A、B、D在同一条直线上，不合题意 综上 20 结 小 如图，已知菱形的四个顶点分别是 A（2，2）、B、C、D（4，-2），且点B在x轴上，点C在平面直角坐标系内，求顶点B、C的坐标。 思路2：先平四，再菱形 先证明出来平四，在根据邻边相等证出菱形 证平四，分三种情况： ①AB是对角线②AC是对角线③AD是对角线 然后寻找合适的邻边相等，得到等式 21 22 如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形． 思路1：先等腰，再菱形 首先利用点点公式，可以求出AB2=25 设C(a,0) ①AB=AC时 设D(x,y) 战 实 解之得a= 当C（ ，0）时，由中点公式可得 D( ,3 ) 23 如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形． 思路1：先等腰，再菱形 首先利用点点公式，可以求出AB2=25 设C(a,0) ②BA=BC时 设D(x,y) 战 实 解之得a=2或8 当C（2，0）时，由中点公式可得 D( -2 , -3 ) 当C（8，0）时，由中点公式可得 D( 4 , -3 ) 24 如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形． 思路1：先等腰，再菱形 首先利用点点公式，可以求出AB2=25 设C(a,0) ③CA=CB时 设D(x,y) 战 实 解之得a=39/8 当C（39/8，0）时，由中点公式可得 D( 9/8 , 5 ) 综上 25 战 实 如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形． 思路2：先平四，再菱形 设C(a,0) D(x,y) ①AB为对角线 　1+5= a+x 　1+4= 0+y ｛ AC=BC 解之得 a =39/8 ，x=9/8 , y =5 26 战 实 如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形． 思路2：先平四，再菱形 设C(a,0) D(x,y) ②AC为对角线 　1+a= 5+x 　1+0= 4+y ｛ AB=BC 解之得 a =2 ，x=-2 , y =-3 解之得 a =8 ，x=4 , y =-3 27 战 实 如图，在坐标系中，A点坐标（1,1），B点坐标为（5,4），点C在x轴上，点D在平面中，求D点坐标，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形． 思路2：先平四，再菱形 设C(a,0) D(x,y) ③AD为对角线 　1+x= 5+a 　1+y= 4+0 ｛ AC=AB 解之得 a = ，x= , y = 3 综上 28 29 练 演 (2019齐齐哈尔中考)如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 30 练 演 (2019辽阳中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC=90°，以A为顶点的抛物线y=-x²+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上． （1）求抛物线解析式； （2）若点M是平面内的任意一点，点P在x轴上方，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由． 先求哪个点的坐标比较好？ 31 结 小 了解题目的构造，当再去看一些题目的时候，是否一目了然？ 32 业 作 如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x=9/4，点B的坐标为（4，0）． （1）求抛物线解析式； （2）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B、C、M、N构成的四边形是菱形，若存在，求出点N坐标，若不存在，请说明理由． 33 业 作 34 下次直播预报： 存在性系列之矩形 98664.0 $