2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题----菱形的存在性专题训练

2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题----菱形的存在性专题训练 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上； （1）求证：4a+b=0； （2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由； （3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线和抛物线交于点，，且点B是抛物线的顶点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，求当面积最大时点P的坐标； (3)M是直线上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．    (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)当抛物线上的点在上方运动时，求面积的最大值． (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点，，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标． 6．如图，抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点，直线l是地物线的对称轴，直线l与x轴交于点D．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)点M在直线l上，且，点P，Q是抛物线上的动点，点P在点Q的左侧，是否存在点P，Q使得以点D、M、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线 与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线 经过A，B． (1)求抛物线解析式； (2)若点H是抛物线的顶点，在x轴上有一点M，平面内是否存在点N，使得以A、H、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点 (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线于点，点为直线上一动点，连接，，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，请说明理由 9．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，过点C的直线交于点E，交抛物线于点P．    (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)如图1，当点P位于第二象限的抛物线上时，过点P作轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)如图2，当E为的中点时，过点B作直线，M为直线上一点，在直线l上是否存在点N，使以B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 11．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．    (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 13．如图所示，已知二次函数与轴分别交于两点，交轴于点，点为抛物线顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交线段于点，过点作交轴于点，当最大值时，求点的坐标以及的最大值． (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线与轴的交点，点在直线上，点为平面内一点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在直接写出所有符合条件的点的坐标，并选其中一个点的坐标写出求解过程；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．解：（1）∵O的坐标为（0，0），抛物线的对称轴为x=2， ∴点M的坐标为（4，0）． ∵抛物线经过点O， ∴c=0． 将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式得：16a+4b=0． 整理得：4a+b=0． （2）DE与圆A相切． 理由：如图1所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴DN=NB，DN⊥AN． ∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°， ∴四边形OAND为矩形． ∴OA=DN=2． ∴DB=OM=4． ∵OM=AD=AB， ∴AD=AB=DB． ∵AE为圆A的半径， ∴AE=EB=2． ∵AD=DB，AE=EB． ∴AE⊥DE． ∴DE与圆A相切． （3）如图2所示． 设点P的坐标为（2，m）． ∵OM为圆A的直径， ∴∠OEM=90°． ∵AE=2，OA=2， ∴点E的坐标为（﹣2，2）． 设抛物线的解析式为y=ax（x﹣4），将x=2代入得y=﹣4a． ∴m=﹣4a． ∵∠OPM为锐角， ∴点P在点E的下方． ∴﹣4a＜﹣2． 解得：a＞． 在Rt△AOD中，OD==2． ∴AC=4． ∵点P在菱形的内部， ∴点P在点C的上方． ∴﹣4a＞﹣4． 解得：a＜． ∴a的取值范围是． 考点：二次函数综合题． 2．(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 3．(1)； (2) (3)点N的坐标为或或或 【分析】（1）设直线的解析式为，将，代入得到关于k、b的值即可；设抛物线的解析式为，然后将点A的坐标代入求得a的值即可； （2）过点P作轴，交直线于点Q，设点，则），则，然后依据三角形的面积公式列出的面积与a的函数关系式，进而根据二次函数的性质求解即可； （3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有四种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， B是抛物线的顶点，且， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1所示，过点P作轴交直线于点Q， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，面积最大，此时）； （3）解：如图2所示，延长交x轴于点C， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ，即是等腰直角三角形， 在中，根据勾股定理，得， ， ， 点N的坐标为； 如图3所示，过点N作轴，垂足为C， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ，即是等腰直角三角形， 在中，根据勾股定理，得， ， ， 点N的坐标为； 如图4所示，连接交y轴于点C， 四边形是菱形，， ，，， 点M的纵坐标为1， 点M在直线上， 将代入，得， 解得， 点M的坐标为， ， 点N的坐标为； 如图5所示，此时M点与A点重合， 四边形是菱形， ， ， 四边形为正方形， ， ， 点N的坐标为， 综上所述，当以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形时，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的最值，三角形的面积公式，菱形的性质，等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键在于列出的面积与a的函数关系式以及分类讨论并根据题意画出符合条件的图形． 4．(1)， (2)8 (3)存在， 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴的计算公式进行求解即可； （2）求出直线的解析式，设点，利用，列出二次函数解析式，求最值即可； （3）利用菱形的性质，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， 则抛物线的解析式为：； ∴抛物线的对称轴为直线. （2）∵，当时，； ∴， 设直线的解析式为：，代入，得：， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； （3）存在； 由（2）可知： ∵， ∴抛物线的对称轴为， 设：， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：； ∴．    【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解． 5．(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，注意分类讨论和数形结合思想的运用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据题意求得的最大值，再根据相似三角形的性质求得，进而可求解； （3）根据平移性质和菱形的性质分、、分别为对角线三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 交轴于点， 两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为： （2）解：令， ∴，则， ∵，，则， 设直线的表达式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为 ， 设，则 ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时； ∵， ∴的周长为， ∵轴， ∴， ， ∴ ∴，即 ∴周长的最大值为，此时； （3）解：∵，， ∴根据平移性质，该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为， 设，，， ∴ 当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点N坐标为； 当或为对角线时，或， 则或， 解得或 ∴点N坐标为或， 综上，满足题意的N点坐标为或或． 6．(1) (2)存在，点P、Q的坐标分别是、或、 【分析】（1）将，代入函数，根据待定系数法，即可解答； （2）分类讨论，即分成当为边时或当为对角线时，再将为对角线时的情况，分为点M在x轴上方时或点在x轴下方时，逐一解答即可． 【详解】（1）解：把点，代入，得 ，解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）将抛物线化为顶点式为：， ∵点M在直线l上， ∴DM垂直于x轴， 以点D、M、P、Q为顶点的四边形是菱形， ①当为边时．要使，即轴．， ∵点P、Q是抛物线上的动点，点P在点Q的左侧， ∴此时不存在P、Q使得以点D、M、P、Q顶点的四边形是菱形， ②当为对角线时， i．点M在x轴上方时，过的中点E作x轴的平行线，与抛物线的交点分别是P、Q． ∵， ∴，即， ∴，解得，， ∴，，    ⅱ．点在x轴下方时，过的中点作x轴的平行线，与抛物线的交点分别是、， ∴， ∴，解得，， ∴，， 综上，存在点P、Q使得以点D、M、P、Q为顶点的四边形是菱形，点P、Q的坐标分别是、或、． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，菱形的性质，本题难度较大，能正确地分类讨论以及画出正确的图形是解题的关键． 7．(1) (2)存在，（6，4）或（1，4）或（1，4）或（1，-4） 【分析】（1）把点A（3，0）代入直线中，求出n的值．再把代入一次函数解析式中，即可求得点B的坐标；把点B，A的坐标代入后，即可求出b，c的值，； （2）当四边形 为菱形，四边形 为菱形，四边形 为菱形时，分别依据菱形的性质，求出点N的坐标． 【详解】（1）∵直线 与x轴交于点A（3，0）， ∴ ， ∴ ， ∴直线解析式为： ， 当 时， ， ∴点B（0，3）， ∵抛物线 经过点A，B， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为： ； （2）把 化成顶点式为 ； 所以，顶点H坐标为（1，4）， ∵A（3，0）， ∴， ①当四边形 为菱形时，AM为对角线，如图， 点M与点C重合，点N与点H关于x轴对称， ∴N点坐标为（1，-4）； ②当四边形 为菱形时，如图， ∴ 轴，， ∴N点坐标为（1，4）或（1，4）； ③当四边形 为菱形时，如图， 设M点坐标为（m，0）， ∵ ， ∴， 解得， ， ， ∴N点坐标为（6，4）； 综上所述：点N的坐标分别为：（6，4）或（1，4）或（1，4）或（1，-4）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 8．(1) (2)四边形的面积最大为32， (3)存在，或 【分析】（1）直接利用两点式写出函数解析式即可； （2）过点P作x轴的垂线，交直线于点H，根据平行线间的距离相等，得到的面积等于的面积，进而得到四边形面积等于的面积加上的面积，得到当的面积最大时，四边形面积最大，转化为二次函数求最值即可； （3）求出平移后的解析式，分为菱形的边和为菱形的对角线，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴直线的解析式为． 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设点P的坐标为 ，则 ，其中． ， ∴， ∵ ∴和的边上的高相等， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为32，此时． （3）解：∵， ∴抛物线向右平移一个单位，得到新的抛物线的解析式为：； ∴新的抛物线的对称轴为直线， 设， ∵， ∴，， 当为菱形的边时：分两种情况： ①四边形为菱形， ∵点先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点， ∴点先向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②四边形为菱形， ∵点先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时：此时为另一对角线，则垂直平分， ∵的中点为， 又的横坐标为2， ∴不存在点，能构成菱形． 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及交点式求函数解析式，二次函数与面积问题，二次函数的平移，二次函数与特殊四边形的问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题． 9．(1)，，， (2)当时，线段的最大值为1 (3)存在，点N的坐标为或或 【分析】（1）当时，即．当时，．可求，．待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）如图1，过点P作轴，交于点F，则．设，则．．由轴，可得．则，，即，，然后求解作答即可； （3）由，，E为的中点，可得，．待定系数法求直线的函数表达式为．设．①当为菱形的边时，，如图2．则．即．求解作答即可；②当为菱形的对角线时，，如图3．则．即．求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，即． 当时，． 解得，． ∵点A在点C的左侧， ∴，． 设直线的函数表达式， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点P作轴，交于点F，则． 设，则． ∴． ∵轴， ∴． ∴， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴当时，线段的最大值为1． （3）解：∵，，E为的中点， ∴，． 设直线的函数表达式为． 把，代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为． 设． ①当为菱形的边时，，如图2．    ∴． ∴． 解得或． ∴点M的坐标为或． ∴点N的坐标为或． ②当为菱形的对角线时，，如图3．    ∴． ∴．解得． ∴点M的坐标为． ∴点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，二次函数与线段综合，正切等知识．熟练掌握一次函数解析式，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，二次函数与线段综合，正切是解题的关键． 10．(1) (2)3 (3)存在，或 (4)或 【分析】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，求得，进一步得出结果； （2）可推出是直角三角形，进一步得出结果； （3）只需是等腰三角形，分为当时，点是点关于抛物线的对称轴的对称点；当时，此时在的垂直平分线上，可求得的解析式，进一步得出结果； （4）分为当点在轴的上方和在轴上两种情形：当点在轴上方时，作于，作于，根据得出，可求得的长，进而得出的长，可求得是等腰直角三角形，进而求得和，进而得出直线的解析式，进一步得出结果；当点在轴上时，进一步得出结果． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ； （3）解：当四边形是菱形时，此时， 由对称性可得，， ； 如图1， 当四边形是菱形，， 作， ， ，， 的中点坐标为：， 由（1）知：， ， ，， 的解析式为：， ， 的解析式为：， 由得， ，（舍去）， ， ， ， 综上所述：N点的坐标为或； （4）解：如图2， 当点在轴上方时， 作于，作于， ， ， ， ，，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 当时，， ， 平移后的抛物线的解析式为：， 当点在轴时，点和点重合， 此时与全等， 抛物线的解析式为：， 综上所述：当与相似时，平移后抛物线的解析式为：或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 11．(1) (2)最大值为，此时 (3)或或 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； （3）解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当为对角线时，      ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则，      ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则，      同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则，      同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，      ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 12．(1) (2) (3)存在，点G的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解； （3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得． ∴抛物线的表达式为：． （2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．      ∵ ， ∴． 令中，则， 解得或， ∴， 设直线为， ∵过点，，， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：． 设，， ∴ ． ∴ ． ∵， ∴． 整理得，解得． ∴． 方法二： 如下图，    抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点， 设， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 整理得，解得． ∴． （3）解：存在，点的坐标为或． 如下图，连接，，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵，，， ∴，，点与点关于对称轴对称， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴即，， ∴． ∴． ∴直线的表达式为：． 与抛物线表达式联立得． ∴点坐标为． 如下图，连接，，，     同理可证：是等边三角形，是等边三角形，． ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴直线的表达式为：． 与抛物线表达式联立得． ∴点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键． 13．(1) (2)，的最大值为12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式，设出P的坐标，表示出E的坐标，表示出的长度，求出直线的解析式，求出的坐标，表示出的长度，从而可表示出，根据二次函数的性质即可求其最大值及此时P的坐标； （3）设点沿射线方向移动到点，且，证明B是中点，从而求出Q的坐标，从而得到平移的方法，根据此平移的方法可求出二次函数，进而可求出M的坐标，再求出直线的解析式．然后分为菱形和为菱形两种情况讨论，利用菱形的几何性质和中点坐标公式，即可求出N的坐标． 【详解】（1）解：将代入二次函数， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由二次函数得， 设直线的解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线为， 设点为， ∵点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，抛物线对称轴为直线， ∴； ∵轴，点在直线上， ， ， ， ∴设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为为12， 此时，即； （3）解：如图1，设点沿射线方向移动到，， ∵，， ∴，， ， ∴是中点， ∴ ∴点向下平移8个单位，向左平移2个单位， 故抛物线的顶点也向下平移8个单位，向左平移2个单位， ∵旧抛物线， ∴新抛物线为， ∴， 设直线解析式为，代入得， ∴直线解析式为， ①当四边形为菱形时，如图2，连接，交与点，连接， ∵、是菱形的对角线， ∴垂直平分，即点为的中点， ∵，， ∴，，， ∴， 又∵ ∴， ∴G、O、P、N四点共线， ∴设直线解析式为， 将代入，得，即， ∴直线解析式为， 与：联立解得， ∴， ∵为中点， ∴点横坐标为， ∴点坐标为． ②当四边形为菱形时， 设， 由得， ∴， ∴或，． （i）当点坐标为时，如图3，连接， ∵为的中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为， ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， 故坐标为； （ii）当点坐标为时，如图4，连接， ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为； ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、两点间距离公式的应用、中点坐标公式的应用、菱形的性质等，熟练掌握以上知识点，运用分类讨论的方法是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $