函数矩形的存在性专题课件2026中考二轮复习

1 考 考 点 有了模型，就有了解题套路，有了这个套路，解题就有了思路，有了思路，加上正确的计算方法，那么矩形存在性问题，不管是纯几何问题还是在平面坐标系中，不管与直线结合还是与抛物线结合，都是一脉相承，一个思路，式子写对了下面就是计算的故事。 或许，没掌握住这个模型，中考压轴题就会少得几分。 中 2 考 考 点 所谓矩形存在性问题，即在坐标系中确定动点位置，使其与其他点等构成矩形，本文将对题型构造及解决方法作简单介绍．首先关于矩形本身，我们已经知道：矩形的判定： （1）有一个角是直角的平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形． 中 3 考 考 点 动点产生的矩形存在性问题的解题思路： （1）先直角三角形，再平行四边形； （2）先平行四边形，再对角线相等； 中 在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，然后根据中点坐标公式秒杀 先根据平四存在性进行三种对角线分类讨论，然后利用对角线相等列出等式进行秒杀 4 考 考 点 家长朋友们，同学们，有句话说了很多遍：学霸不可怕，就怕学霸放长假，你只看到自己的孩子有没有学习，而看不到别人家的孩子在努力，这样的情况下，差距真的会越来越大啊！ 还要强调一点的是，把每一道简单的题目都做对，就是不简单，就能得高分！ 中 5 6 建 立 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 思路2：先平四，再矩形 思路1：先直角，再矩形 思路1：先直角，再矩形 7 解 决 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 思路1：先直角，再矩形 ①∠BAC=90°➯ AB²+AC²=BC² ②∠ABC=90°➯AB²+BC²=AC² ③∠ACB=90°➯AC²+BC²=AB²； 设C(a,0) 代数法：（1）表示点 A、B、C 坐标；（2） 表示线段 AB²、AC²、BC²；（3） 分类讨论 ①∠BAC=90°➯ AB²+AC²=BC²、 ②∠ABC=90°➯AB²+BC²=AC²、 ③∠ACB=90°➯AC²+BC²=AB²； 线段长度代入解得 a=4/3， 所以C（4/3，0）， 再利用中点公式可得D（13/3，1） 用平移到知识去求D 8 解 决 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 思路1：先直角，再矩形 ①∠BAC=90°➯ AB²+AC²=BC² ②∠ABC=90°➯AB²+BC²=AC² ③∠ACB=90°➯AC²+BC²=AB²； 设C(a,0) 代数法：（1）表示点 A、B、C 坐标；（2） 表示线段 AB²、AC²、BC²；（3） 分类讨论 ①∠BAC=90°➯ AB²+AC²=BC²、 ②∠ABC=90°➯AB²+BC²=AC²、 ③∠ACB=90°➯AC²+BC²=AB²； 线段长度代入解得 a=14/3， 所以C（14/3，0）， 再利用中点公式可得D（5/3，-1） 9 解 决 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 思路1：先直角，再矩形 ①∠BAC=90°➯ AB²+AC²=BC² ②∠ABC=90°➯AB²+BC²=AC² ③∠ACB=90°➯AC²+BC²=AB²； 设C(a,0) 代数法：（1）表示点 A、B、C 坐标；（2） 表示线段 AB²、AC²、BC²；（3） 分类讨论 ①∠BAC=90°➯ AB²+AC²=BC²、 ②∠ABC=90°➯AB²+BC²=AC²、 ③∠ACB=90°➯AC²+BC²=AB²； 线段长度代入解得 a=2或3， 所以C（2，0）或（3，0）， 再利用中点公式可得D（3，3）或（2，3） 综上并检验 10 建 立 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 思路2：先平四，再矩形 思路1：先直角，再矩形 思路2：先平四，再矩形 11 建 立 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 思路2：先平四，再矩形 先根据平四存在性进行三种对角线分类讨论，然后利用对角线相等列出等式进行秒杀 设C(a,0) D(x,y) ①AB为对角线 　1+4= a+x 　1+2= 0+y ｛ 平四 AB=CD ｛ 　a= 3 x= 2 y= 3 ｛ 　a= 2 x= 3 y= 3 或 12 建 立 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 思路2：先平四，再矩形 先根据平四存在性进行三种对角线分类讨论，然后利用对角线相等列出等式进行秒杀 设C(a,0) D(x,y) ②AC为对角线 　1+a= 4+x 　1+0= 2+y ｛ 平四 AC=BD ｛ a=14/3 x=5/3 y= -1 13 建 立 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 思路2：先平四，再矩形 先根据平四存在性进行三种对角线分类讨论，然后利用对角线相等列出等式进行秒杀 设C(a,0) D(x,y) ③AD为对角线 　1+x= 4+a 　1+y = 2+0 ｛ 平四 AD=BC ｛ a=4/3 x=13/3 y= 1 综上并检验 14 15 建 立 模 型 探 已知A（1，1）、B（4，2），点C在x轴上，点D在平面中，且以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形，求D点坐标． 一线三直角证相似 斜率K 16 17 战 实 (2018辽阳中考)如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=1/4x²+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 思路1：先直角，再矩形 B(0，-3) C(6，0) 18 实 思路1：先直角，再矩形 B(0，-3) C(6，0) 分类讨论 ①∠PBC=90°➯ BP²+CB²=CP² ②∠PCB=90°➯CP²+BC²=BP²、 ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²； 这样可得P点坐标（-4，5）， 然后利用中点坐标求得Q（2，8） 19 实 思路1：先直角，再矩形 B(0，-3) C(6，0) ①∠PBC=90°➯ BP²+CB²=CP² 一线三垂直 解之得m=-4或0（舍） 这样可得P点坐标（-4，5），然后利用中点坐标求得Q（2，8） 20 实 思路1：先直角，再矩形 B(0，-3) C(6，0) 分类讨论 ②∠PCB=90°➯ CP²+CB²=BP² 解之太复杂了， 换个思路吧 21 实 思路1：先直角，再矩形 B(0，-3) C(6，0) 一线三垂直 分类讨论 ②∠PCB=90°➯CP²+BC²=BP² 由相似可知 解之得m=-10或6（舍） 这样可得P点坐标（-10，32），然后利用中点坐标求得Q（-16，29） 22 实 思路1：先直角，再矩形 分类讨论 ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²； B(0，-3) C(6，0) 23 实 思路1：先直角，再矩形 太复杂了， 换个思路吧 24 战 实 思路1：先直角，再矩形 B(0，-3) C(6，0) 分类讨论 ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²； 25 战 实 思路1：先直角，再矩形 B(0，-3) C(6，0) 分类讨论 ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²； 太复杂了， 换个思路吧 算了，不做了， 烦！ 26 战 实 思路1：先直角，再矩形 B(0，-3) C(6，0) 分类讨论 ③∠BPC=90°➯BP²+CP²=BC²； 放弃吧！ 27 战 实 (2018辽阳中考)如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=1/4x²+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 直接 28 29 练 演 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²−2ax−3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）； F 作DF⊥X轴，则DF//OC 所以 因为CD＝4AC且OA=1 所以 OF=4 解：（1）令y＝0，则ax²−2ax−3a＝0， 解得x1＝−1，x2＝3 ∵点A在点B的左侧， ∴A（−1，0） 所以OA=1 将x=4代入抛物线解析式得y=5a，所以D（4，5a） ax²−2ax−3a＝0 a（x²−2x−3)＝0 a（x−3)(x+1)＝0 30 练 演 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²−2ax−3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）； F 解：（1）∴A（−1，0） D（4，5a） 31 探 思路1：先直角，再矩形 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²−2ax−3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （2）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． A(-1,0) D(4,5a) 设P(1,y) Q(m,am²−2am−3a) ①AD为对角线 由矩形对角线相等得AD=PQ 思路2：先平四，再矩形 　 -1+4= 1+m 　 0+5a=y+am²−2am−3a ｛ 解之得m=2，y=8a,所以 Q(2,−3a) 解之得a=-1/2或1/2（舍），y=-4，所以P(1,−4) 平四 32 探 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²−2ax−3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （2）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． A(-1,0) D(4,5a) 设P(1,y) Q(m,am²−2am−3a) ②AP为对角线 由矩形对角线相等得AP=DQ 思路2：先平四，再矩形 　 -1+1= 4+m 　 0+y=5a+am²−2am−3a ｛ 解之得m=-4，y=26a,所以 Q(-4,21a) 解之得 a= ，所以P(1, ) 平四 33 探 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²−2ax−3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （2）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． A(-1,0) D(4,5a) 设P(1,y) Q(m,am²−2am−3a) ③AQ为对角线 由矩形对角线相等得AQ=DP 思路2：先平四，再矩形 　 -1+m= 4+1 　 0+am²−2am−3a=5a+y ｛ 解之得m=6，y=16a,所以 Q(6,21a) 平四 解之得 综上并检验 34 练 演 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²−2ax−3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （2）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 思路1：先直角，再矩形 思路2：先平四，再矩形 A(-1,0) D(4,5a) 设P(1,y) Q(m,am²−2am−3a) ①∠ADP=90°➯ AD²+PD²=AP² ②∠APD=90°➯AB²+BC²=AC² ③∠PAD=90°➯AC²+BC²=AB²； 　 -1+1= 4+m 　 0+y=5a+am²−2am−3a ｛ 解之得m=-4，y=26a, 所以 P(1, ) 35 练 演 思路1：先直角，再矩形 A(-1,0) D(4,5a) 设P(1,y) Q(m,am²−2am−3a) ①∠ADP=90°➯ AD²+PD²=AP² ②∠APD=90°➯AP²+DP²=AD² ③∠PAD=90°➯AC²+BC²=AB²； 　 -1+4= 1+m 　 0+5a=y+am²−2am−3a ｛ 解之得m=2，y=8a, 所以 P(1, ) 36 演 思路1：先直角，再矩形 A(-1,0) D(4,5a) 设P(1,y) Q(m,am²−2am−3a) ①∠ADP=90°➯ AD²+PD²=AP² ②∠APD=90°➯AP²+DP²=AD² ③∠PAD=90°➯AP²+AD²=DP²； 　 -1+m= 4+1 　 0+am²−2am−3a=5a+y ｛ 解之得 a² =-1/8 37 结 小 这节课我们学习的是矩形存在性，我们发现，这一 节课理解上来说是比较简单的，但是，计算上比较苦难，为什么他敢弄这么困难的？要知道中考出这样计算量特别大的压轴题，应该也是犯忌讳的，就是因为可以换个思路解决问题，矩形里面有直角啊，可以利用一线三垂直啊，矩形里面有垂直啊，可以由垂直的直线斜率K的乘积是-1啊。 当然，其实只要能将计算进行下去，在已知矩形的前提下，无论选边还是选对角线，都能解决问题，只是计算量很大而已． 38 业 作 如图所示，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（8，0），直线AC解析式为y=﹣x+6，点P为直线AC上一个动点，坐标平面内是否存在点Q，使得以点O、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？如果存在请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由. 39 业 作 40 下次直播预报： 存在性系列之正方形 98664.0 $