2026年中考数学二轮复习课件 函数与直角三角形存在性

1 考 考 点 上一讲中，我们探讨了等腰三角形存在性问题，用到的方法是“两圆一线”这样的“几何法”，我们也介绍了“点、线、式”这样的“代数法”，“几何法”主要用来找出符合条件的点的位置，“代数法”主要用来求点的坐标，因为这种解法几乎完全脱离了图形。 中 2 考 考 点 所以，也称之为“盲解盲算法”、“简单粗暴法”、“万能大法”。 我们今天要讲的“直角三角形存在性”内容，它与等腰三角形存在性问题是具有一定的联系性的，，因为这两部分内容思路相通，方法接近。 它们的共同点主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年中考的热点。 中 3 考 考 点 常用知识点： 1. 勾股定理 2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3. K型图相似 4. 距离公式 5. 圆的概念与性质 6. 还有一个需要补充的，就是K 中 4 5 建 立 模 型 探 如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（1,1），点 B 坐标为（5,3），在 x 轴上找一点 C 使得△ABC 是直角三角形，求点 C 坐标． 【几何法】“两线一圆”得坐标（1） 若∠A 为直角，过点 A 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；（2） 若∠B 为直角，过点 B 作 AB 的垂线，与 x 轴的交点即为所求点 C；（3） 若∠C 为直角，以 AB 为直径作圆，与 x 轴的交点即为所求点 C．（直径所对的圆周角为直角） 6 究 点 1 线 2 式 3 A（1，1）、B（5，3） C1（m,0） 分类讨论得到三个式子①AB 2＝BC 2＋AC 2；②BC 2＝AB 2＋AC 2；③AC 2＝AB 2＋BC 2 【代数法】“点、线、式”找坐标 探 表示出三个顶点坐标 表示出三条线段的长度 7 探 究 一线三垂直（K型图） 8 探 究 一线三垂直（K型图） 9 探 究 利用K能求出C点坐标吗？ 10 总 结 模 型 几何法： （1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段， 究 代数法：（1）表示点 A、B、C 坐标；（2） 表示线段 AB²、AC²、BC²；（3） 分类讨论①∠BAC=90°➯ AB²+AC²=BC²、 ②∠ABC=90°➯AB²+BC²=AC²、 ③∠ACB=90°➯AC²+BC²=AB²； 11 12 练 演 08卢湾25 A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3) ，CA垂直平分BB’ ， 垂足为Q，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP 是以QC 为直角边的直角三角形？ 由勾股定理可得CB'=CB=5 所以B'(0,2) 由中点坐标公式可得Q(2,1) 所以CQ2=....=20 13 练 演 08卢湾25 A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3) ，CA垂直平分BB’ ， 垂足为Q，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP 是以QC 为直角边的直角三角形？ 分两种情况： ①C 为直角顶点 ②Q 为直角顶点 以QC 为直角边的Rt△QCP 14 练 演 08卢湾25 A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3) ，CA垂直平分BB’ ， 垂足为Q，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP 是以QC 为直角边的直角三角形？ ①C 为直角顶点的Rt△QCP ②Q 为直角顶点的Rt△QCP 15 练 演 08卢湾25 A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3) ，CA垂直平分BB’ ， 垂足为Q，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP 是以QC 为直角边的直角三角形？ ① C 为直角顶点的Rt△QCP CQ2=20 16 练 演 08卢湾25 A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3) ，CA垂直平分BB’ ， 垂足为Q，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP 是以QC 为直角边的直角三角形？ ① C 为直角顶点的Rt△QCP CQ2=20 PQ2 +CQ2 =CP2 17 练 演 08卢湾25 A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3) ，CA垂直平分BB’ ， 垂足为Q，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP 是以QC 为直角边的直角三角形？ ① C 为直角顶点的Rt△QCP PQ2 +CQ2 =CP2 18 练 演 08卢湾25 A(1.5,0),B(4,0),C(0,-3) ，CA垂直平分BB’ ， 垂足为Q，在抛物线上是否存在一点P，使△QCP 是以QC 为直角边的直角三角形？ ② Q 为直角顶点的Rt△QCP CP2 +CQ2 =QP2 19 20 究 探 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式； 解：∵抛物线图象与x轴交于原点O和A(4，0)， ∴设抛物线的解析式为y＝a(x－0)(x－4)， 将C(6，6)代入，得a＝ ， ∴y＝ x(x－4)， 即此抛物线的解析式为y＝ x2－2x; 21 究 探 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D. (2)连接OD, OC，判断△OCD的形状 解：△OCD 是直角三角形，理由如下： 由勾股定理，得 OC 2＝62＋62＝72， OD 2＝22＋(－2)2＝8， CD 2＝(6－2)2＋(6＋2)2＝80， ∵OC 2＋OD 2＝CD 2， ∴△OCD 是直角三角形； 22 究 探 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D. (3)在x轴上是否存在一点E，使△COE是以OC为斜边的直角三角形； 解：存在，因为△COE是以OC为斜边的直角三角形．所以∠OEC=90° ∴易求得E (6，0)； OC2 +CE2 =OE2 23 究 探 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D. (3)点N是抛物线上一动点，且△DCN为直角三角形，求出点N的坐标． 【思维教练】要使△DCN为直角三角形，需对哪个点作直角顶点进行讨论，故需分∠DCN＝90°，∠CDN＝90°，∠DNC＝90°这三种情况讨论． 24 究 探 解：①当∠DCN＝90°时，如图，易求直线CD 的解析式为 y＝2x－6， ∵CN⊥CD，∴设直线CN的解析式 y＝－ x＋a， ∵直线CN 过点C(6，6)，∴a＝9， ∴直线CN的解析式为 y＝－ x＋9， 联立 ， 解得 (舍去), ， ∴N1(－3， )； 25 究 探 ②当∠CDN＝90°时，如图， ∵点N 在抛物线上， 故可设点N 的坐标为(x， x 2－2x)，∵D(2，－2)，C(6，6)， ∴CN 2＝(x－6)2＋( x2－2x－6)2， DN 2＝(x－2)2＋( x2－2x＋2)2， CD 2＝(6－2)2＋(6＋2)2＝80，∵∠CDN＝90°， ∴在Rt△CDN中，CN 2＝DN 2＋CD 2， 即(x－6)2＋( x2－2x－6)2＝(x－2)2＋( x2－2x＋2)2＋80， 解得x1＝1，x2＝2(舍去)． 将x＝1代入y＝ x2－2x中，得y＝ ， ∴N2(1， )； 26 究 探 ③当∠DNC＝90°时，如图， 由(2)可知△OCD为直角三角形，且∠DOC＝90° 此时N与O重合，所以N(0，0)． 综上所述，△DCN为直角三角形时， 点N的坐标为 N1(－3， )， N2(1， )， N3(0，0)． 27 结 小 几何法三部曲： 先分类； 再画图； 后计算． 代数法三部曲： 先确定点的坐标，然后求出三条线段长度； 再分类列式； 后解方程、检验． 几何法与代数法相结合——又好又快 28 结 小 几何方法——相似比——想到了，就好算 代数方法——勾股定理——好想，但难算 29 业 作 如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB， tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0）． 抛物线y＝−x2＋bx＋c经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝1/2DE． ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 30 下次直播预报： 存在性系列之平行四边形 98664.0 $