2026年中考数学二轮复习 函数与等腰三角形存在性

1 考 考 点 二次函数背景下的存在性问题，是近几年中考中点热点题型。它属于动点题型的一种，这类问题知识覆盖面广，综合性强，2019年江苏13大市中就有徐州、宿迁、常州、无锡、盐城、苏州、连云港、镇江8市考题中出现存在性问题。 中 2 考 考 点 二次函数背景下的存在性问题，在每一份考卷中,一般处在最后一题的位置,相对来说难度较大,这就是所谓的”压轴题 ”,这也是中考拉开差距拉开分值的一个点，因此，要想在中考脱颖而出，必须突破此类问题！ 中 3 考 考 点 其中，几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，它包括等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法． 中 4 5 建 立 模 型 探 如图，0为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得与O点，D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画多少个?并求出P点坐标. Ｄ x O y 6 ①当OD=OP时 P1 P2 x y Ｄ（4，3） O ①利用两腰相等 ②当DO=DP时 P3 x y Ｄ（4，3） O B ②利用“三线合一” ③当PO=PD时 x y Ｄ（4，3） O P4 E ③利用图形相似 或勾股定理 F 两圆一线找等腰 【几何法】“两圆一线”找等腰（1） 以点 O 为圆心，OD 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 P，有 OD=OP；（2） 以点 D为圆心，OD 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 P，有 DO=DP；（3） 作 OD 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 P，有 PO=PD． 探 如图，0为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得与O点，D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画多少个?并求出P点坐标. 7 究 点 1 线 2 式 3 O（0，0） D(4，3) P（x,0） 分类讨论得到三个式子①OD=OP、②OD=DP、③PO=PD； 【代数法】“点、线、式”找等腰 探 表示出三个顶点坐标 表示出三条线段的长度 8 盲解盲算法，它不需要画出具体的图形，理解利用点线式，即可算出，简单粗暴，所以，很多时候人们比较喜欢用这个方法，为什么啊，不用动脑子啊，几何法就不行了，有点时候必须画出精准的图形才能得解，图形不准确会产生误导. 在实际解题中，往往会几何法和代数法结合使用，这样会事半功倍。当然了，不管是几何法还是代数法，最后都需要检验，看下所求出的解是否符合题意，比如是否与已给点重合，是否三点共线等。 究 ①OD=OP、②OD=DP、③PO=PD； 【代数法】“点、线、式”找等腰 以第一种情况为例 探 10 总 结 模 型 （1）两定一动： 动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动： 两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点： 分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 究 11 12 战 实 如图,已知点A(1,0)、点B (－3,0)和点C(0,3).直线x=1与x轴交于点M ，问在直线上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． A B C M P4 P3 P2 P1 13 背 景 格 点 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的点C有( )个． 背 景 坐 标 如图，在直角坐标系中， 已知P（−2，−1），点T是x轴上的一个动点．当t取何值时，△TOP为等腰三角形？ 答 抢 如图，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C. （1）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以线段AB为底的等腰三角形？ 基本方法：线段AB为底：作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与对称轴的交点 16 答 抢 如图，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C. （2）在x轴上是否存在点D，使△ABD是以线段AB为腰的等腰三角形？ 基本方法：以线段AB为腰：分别以点A、B为圆心，线段AB长为半径画弧，与x轴的交点 17 答 抢 如图，直线AB交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C. （3）在抛物线的上是否存在点P，使△ABP 是等腰三角形？ 基本方法：分别以线段AB为底和腰，找出满足条件的点 数学基本思想----分类讨论 18 战 实 二次函数与x轴分别交于定A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点(0,3). （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的对称轴及顶点坐标. （1）y=-x2+2x+3 （2）对称轴：x=1; 顶点坐标：（1,4）. 19 战 实 二次函数与x轴分别交于定A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点(0,3). 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 点 线 式 20 体 系 线 式 点 实际上，“点”、“线”、“式”触及了解题核心，简化思维过程，易于学生的理解和掌握。 对图形依赖大大降低。 1 代数为主，几何为辅。 2 逻辑线条清晰。 3 思维过程简洁。 4 完全建构了新的思维体系，归根结底三个字：点，线，式 由线思点，由点到线， 由线到式。 21 22 究 探 如图，已知二次函数L1: 和二次函数L2: 图象的顶点分别 为M,N , 与y轴分别交于点E, F. 3 (1) 函数 的最小值为____________； 当二次函数L1 ，L2 的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是____________ ； 23 究 探 如图，已知二次函数L1: 和二次函数L2: 图象的顶点分别 为M,N , 与y轴分别交于点E, F. （2）当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状； 点：E、F、M、N 线：EF=MN； 式：两点距离公式，求a M（1，3） N（-1，1） E(0,a+3) F(0,1-a) 24 点：E、F、M、N 线：EF=MN；式：两点距离公式， M（1，3） N（-1，1） E(0,a+3) F(0,1-a) 究 探 如图，已知二次函数L1: 和二次函数L2: 图象的顶点分别 为M,N , 与y轴分别交于点E, F. （3）若二次函数L2 的图象与x轴的右交点为A(m,0)，当△AMN为等腰三角形时，求方程的解. 点：A、M、N 线：AM=AN，AM=MN，AN=MN 式：两点距离公式，求m 26 27 战 实 二次函数y=-x2+2x+3与x轴分别交于定A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点(0,3).对称轴：x=1; 顶点坐标：（1,4）. 作直线x=m交抛物线于点P，交线段BC于点Q，当△PQC为等腰三角形时，求实数m 的值. 点 线 式 28 希望我们一起 感知点，经历线，掌握式。 下次直播预报： 存在性系列之直角三角形 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 A(-5, 0) 和点 B(1, 0) ． （1） 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2） 如图，连接 AD 、 BD ，点 M 在线段 AB 上（不与 A 、 B 重合），作∠DMN =∠DBA ， MN 交线段 AD 于点 N ，是否存在这样点 M ，使得三角形DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由． 98664.0 $