精品解析：安徽省桐城中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷

安徽省桐城中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】由题意，则的虚部为1. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，即可得答案. 【详解】由题意. 3. 在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理把换为，代入式子约分得到，再结合求出外接圆直径，即可算出原式结果. 【详解】在中，由正弦定理得（为外接圆半径）. 由此可得，. 将其代入，得：. 因为是不等边三角形，所以，即，. 化简得，又由正弦定理. 已知，，则，故. 综上，. 4. 如图，矩形是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形ABCD中最长边的长度为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可得、的长度，根据斜二测画法的性质，可得原图中各个长度，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 则原图中， 将直观图还原成原图，如下图所示： 则，则原四边形ABCD中最长边的长度为9. 5. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用结合余弦定理列出关于的一元二次方程，解出两个正根，再由同角三角关系求出，借助正弦定理算出，结合推出角有锐角、钝角两种情况，三角形存在两解，故的两个取值均满足三边关系，全部保留. 【详解】在中，由余弦定理得. 已知，，，代入得： . 化简得： . 由求根公式. 因为，由正弦定理. 得，存在两解，即三角形存在两个解. 所以所对的边或. 6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征．现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为12cm，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A. 6cm B. C. 8cm D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得圆台的母线长，设出圆台底面半径，结合勾股定理，即可求得结果. 【详解】设扇环围成的圆台，上底面圆半径，下底面圆半径，分别为，扇环内弧半径为，外弧半径为， 由题可知：，也即圆台的母线长为； 则，解得，，解得，则； 设圆台的高为cm，则. 故选：D. 7. 已知复数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等的条件，可得m的表达式，代入可得的表达式，根据同角三角函数的关系，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】由，得，整理得， 则 ，开口向上，对称轴为， 由，得， 所以在上单调递减， 所以当时，的最大值为33， 当时，的最小值为，则的取值范围是. 8. 如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（ ） A. 1:3 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:8 【答案】B 【解析】 【详解】已知是AB的中点，是的中点， ， 又， ， ， 即三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于多面体的下列说法，其中正确的是（ ） A. 四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥 B. 每一个棱台的侧棱延长后必交于一点 C. 长方体是直四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体 D. 棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的等腰三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据五面体的性质，分析可判断A的正误；根据棱台的性质，可判断B的正误；根据直四棱柱的性质，可判断C的正误；根据棱锥的性质，可判断D的正误. 【详解】选项A：四棱锥是五面体，但五面体不一定是四棱锥，比如三棱柱也是五面体，故A错误； 选项B：每一个棱台的侧棱延长后必交于一点，故B正确； 选项C：长方体是直四棱柱，若直四棱柱的底面不是长方形，则该直四棱柱就不是长方体，故C正确； 选项D：棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的三角形，不一定是等腰三角形，故D错误. 10. 方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用求根公式求出，根据复数的乘法和乘方运算逐项验证. 【详解】由求根公式，记， 对于A：，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：由选项B的结论及选项A的计算过程可知，，C正确； 对于D：由选项B的判断，，D正确. 11. 在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（ ） A. 若点为的重心，则 B. 若点为的外心，则 C. 若点为的垂心，则 D. 若点为的内心，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设BC边的中点为D，根据等腰三角形的性质，可得点P在AD上，根据重心的性质及线性运算法则，求出x，y的值，可判断A的正误；根据数量积的几何意义，整理计算，可判断B的正误；根据垂心的性质可得，根据线性运算法则及数量积公式，整理计算，可判断C的正误；根据内心的性质，可求出内切圆半径r的值，根据线性运算法则，可判断D的正误. 【详解】设BC边的中点为D，则， 因为，所以，且的重心、外心、垂心、内心均在线段AD上， 选项A：因为点为的重心，所以， 则，所以，故A正确； 选项B：若点为的外心，且， 则，故B正确； 选项C：若点为的垂心，则，即， 在，由余弦定理得， 设，则， 所以 ， 解得，则，所以，故C错误； 选项D：若点为的内心，则DP为内切圆的半径，且设为r， 则， 又， 所以，解得， 所以，即 则，即，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数减法的几何意义，求得其在复平面内对应点构成的图形，结合圆的面积求解公式，进而求得结果. 【详解】设，则表示，点到的距离， 又表示：以为圆心，为半径的圆；表示，以为圆心，为半径的圆； 故表示一个圆环，如下所示： 故其面积为：. 故答案为：. 13. 棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________. 【答案】 【解析】 【详解】如图所示，由正八面体对称性可知底面为正方形，正方形的对角线交点. 底面正方形的边长为，其对角线，故中心到顶点的距离为. 在正四棱锥中，侧棱长. 由勾股定理得棱锥的高. 同理，在正四棱锥中，棱锥的高. 因此点到顶点的距离. 综上，点到所有顶点的距离均为，即外接球半径. 代入球的体积公式得. 14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理，化简已知条件，得到；再根据正弦定理和余弦定理，将目标式化为关于的三角函数，进而求三角函数的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 又，，则 因为 ， 当且仅当时，取得最大值，最大值为，也即的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量满足，与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据求模公式及数量积公式，可得的值，由条件，可得，整理计算，即可得答案. （2）先求出，根据数量积的运算律，可得的值，代入夹角公式，即可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，则， 由，得， 所以，即，则，解得. 【小问2详解】 ，， 所以. 16. 已知复数. （1）若为纯虚数，求及的值； （2）若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义，可得m的值，即可得，根据复数的运算性质，整理计算，即可得答案. （2）根据为虚数，可得m的范围，根据复数的几何意义，可得其坐标，根据条件，可得m的值，即可得复数，根据复数的除法法则，可得，结合求模公式，即可得答案. 【小问1详解】 若为纯虚数，则，解得，即， 所以， ， 则. 【小问2详解】 由为虚数，得，则， 在复平面内对应的点坐标为， 因为在复平面内对应的点在直线上， 所以，即， 解得，则， 又，则， 所以， 则. 17. 从一张半径为6的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为． （1）若圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值. （2）在圆锥内有一个棱长为的正方体，若该正方体在圆锥内可任意转动，求的最大值. 【答案】（1）圆柱侧面积的最大值为，此时. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，可得所裁剪的扇形铁皮的弧长，进而可得圆锥底面半径r，作出轴截面图，根据三角形相似，求出内接圆柱体的高，代入侧面积公式，结合二次函数的性质，即可得答案. （2）分析可得当正方体的外接球为圆锥的内切球时，正方体的边长a最大，作出轴截面图，根据勾股定理，求出半径R，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，半径为6， 则所裁剪的扇形铁皮的弧长为， 设圆锥底面半径为r，则，解得，且圆锥的母线长为6， 则圆锥的高， 作出圆柱与圆锥的轴截面图，如下图所示： 设内接圆柱体的高为H，根据三角形相似可得， 则 ，整理得， 则圆柱的侧面积，， 所以当时，侧面积S取得最大值. 【小问2详解】 由题意得，要使正方体在圆锥内可任意转动，且边长最大，则正方体的外接球即为圆锥的内切球， 作出圆锥与其内切球的截面图， 设内切球的半径为R，则，又圆锥的高， 所以，，则， 因为，所以，解得， 即内切球的半径为，直径为， 又正方体边长最大时，外接球为圆锥的内切球， 且正方体的体对角线为外接球的直径，则，解得. 则该正方体在圆锥内可任意转动，的最大值为. 18. 在等腰梯形中，，点E，F分别是边与边上的点，且与交于点. （1）当时， ①用表示； ②求的大小. （2）求实数的取值范围，并求的最小值. 【答案】（1）①;② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，利用向量的线性运算，结合向量的基底表示，即可得到结果； ②由题意得 由共线以及共线，设向量共线，代入计算求得，再利用向量数量积的运算律求即可得答案； （2）由E的位置确定的范围，利用向量的线性运算，用向量为基底表示，利用向量数量积的运算律结合基本不等式可求的最小值. 【小问1详解】 ①在等腰梯形ABCD中，， ， ， ， 所以， ， 所以. ②因为共线，则存在实数，使得， 又因为共线，则存在实数，使得， 所以，解得. 所以. , . 【小问2详解】 因为点E，F分别是边BC与边CD上的点，AE与BD交于点，， 所以，解得， 又因为, . 所以 ， 所以，当且仅当时取“=”. 所以的最小值为. 19. 如图，四边形ABCD中，是等边三角形. （1）当时，求四边形ABCD的面积； （2）若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设. ①试用表示； ②求CE长的最大值. 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）首先利用余弦定理求出，然后把四边形面积转化为和的面积之和，利用三角形面积公式即可求解； （2）①首先利用余弦定理求出，然后在中利用三角函数表示； ②首先根据正弦定理和余弦定理结合平面几何知识可得，然后根据余弦定理表示出，最后利用辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理： ， 得，四边形面积， ， 是等边三角形，，​ 因此. 【小问2详解】 ①在中，由余弦定理：， 因为是中点，为等边三角形，故是边上的高，， 因此： ， ②是中点，是中点，故是的中位线，，且 ， 在中，由正弦定理， ， 在中，由余弦定理得：  ， 因为 ，，故， 所以的最大值为， 代入得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省桐城中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. D. -2 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 3. 在不等边中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（） A. B. C. D. 4. 如图，矩形是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形ABCD中最长边的长度为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 9 5. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 4 6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征．现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为12cm，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（ ） A. 6cm B. C. 8cm D. 7. 已知复数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是（ ） A. 1:3 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于多面体的下列说法，其中正确的是（ ） A. 四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥 B. 每一个棱台的侧棱延长后必交于一点 C. 长方体是直四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体 D. 棱锥的侧面形状一定是具有一个公共顶点的等腰三角形 10. 方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，为内一点，若，则下列命题正确的是（ ） A. 若点为的重心，则 B. 若点为的外心，则 C. 若点为的垂心，则 D. 若点为的内心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________. 13. 棱长为2的正八面体的外接球体积大小为__________. 14. 在中，内角,,所对的边分别为,，，若，则的最大值等于__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量满足，与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 16. 已知复数. （1）若为纯虚数，求及的值； （2）若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 17. 从一张半径为6的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为． （1）若圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时的取值. （2）在圆锥内有一个棱长为的正方体，若该正方体在圆锥内可任意转动，求的最大值. 18. 在等腰梯形中，，点E，F分别是边与边上的点，且与交于点. （1）当时， ①用表示； ②求的大小. （2）求实数的取值范围，并求的最小值. 19. 如图，四边形ABCD中，是等边三角形. （1）当时，求四边形ABCD的面积； （2）若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设. ①试用表示； ②求CE长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $