2025-2026学年度第二学期高二级期中考试数学模拟题（适用于广东）

**基本信息** 2025-2026学年高二下期中数学模拟题，覆盖集合、数列、复数、导数等核心知识，解答题融合函数极值、数列证明、排列组合应用等，梯度设计适配期中能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、数列前n项和、复数几何意义等|基础巩固，考查数学眼光的抽象能力| |多选题|3题|组合数性质、导数计算、排列组合应用|能力提升，体现数学思维的推理意识| |填空题|3题|函数求值、排列组合（名次/涂色问题）|情境应用，培养数学语言的数据观念| |解答题|5题|函数极值与最值、数列证明、排列组合（调研安排）、双曲线综合、函数单调性与不等式恒成立|创新综合，如以新媒体社团调研为情境考查排列组合，结合双曲线与直线位置关系论证面积定值，发展数学思维的逻辑推理与创新意识|

2025-2026学年度第2学期高二级期中考试数学模拟题 一、单选题 1. 已知集合，若，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 2. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可求解. 【详解】由可得， 故选：C 3. 已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得， 则共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 4. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 6. 学校图书馆有个不同的借阅窗口（编号为），现将本完全相同的图书放到这个窗口展示，每个窗口可放多本也可不放，则不同的摆放方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【详解】分种情况讨论：①本书放在同一个窗口，有种摆放方法； ②本书放在个窗口，一个窗口放本，另一个窗口放本，有种摆放方法； ③本书放在个窗口，每个窗口各放本，有种摆放方法， 所以不同的摆放方法共有种． 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数为奇函数.然后得到时，，根据导函数求得的单调性，并且可得极大值点，即可得出答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为. 又， 所以，函数为奇函数. 当时，， 则. 设，则在上恒成立， 所以，在上单调递增. 又，， 所以，根据零点存在定理可得，，有， 且当时，有，显然， 所以在上单调递增； 当时，有，显然， 所以在上单调递减. 因为，所以C项满足题意. 故选：C. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性可得答案. 【详解】令，则，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 得，故， 所以，即. 二、多选题 9. 已知m，n均为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据排列数、组合数的计算公式，以及其性质，即可判断选择. 【详解】A选项，由组合数性质得，故A正确； B选项，左边，右边， 只有当时相等，故B错误； C选项，，左右相等，故C正确； D选项，左边，右边， 左右相等，故D正确． 10. 下列求导计算中，错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和求导法则逐项求导判断. 【详解】对于A：若，则 ，A正确； 对于B：若，则，B错误； 对于C：若，则 ，C正确； 对于D：若，则，D错误. 11. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（ ） A. 四名同学的报名情况共有种 B. 每个项目都有人报名的情况共有36种 C. 四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种 D. 恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理可判断A，利用分组分配方法可判断B，C，D. 【详解】对于A，由题意知每人都有3种选择，所以四名同学的报名情况共有种，故A正确； 对于B，若每个项目都有人报名，则必有两名同学报名同一项目，所以报名情况共有种，故B正确； 对于C，四名同学最终只报名了两个项目，可先选出两个项目，报名情况为这两个项目各有两名同学报名，或一名同学报名其中一个， 另外三名同学报名另一个项目，所以报名情况共有种，故C正确； 对于D，恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有种，故D错误． 三、填空题 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】应用赋值法求得、，即可求值. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 13. 已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答） 【答案】144 【解析】 【分析】利用分步计数原理，结合优先特殊元素或特殊位置来解决问题. 【详解】第一步，优先排丙，只能排第四、五、六名，共有3种； 第二步，再排第一名，只有甲或乙，共有2种； 第三步，剩下四个人排剩下四个位置，共有种， 利用分步计数乘法原理可得：总共可能的排名情况有：种， 故答案为：. 14. 某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 【答案】260 【解析】 【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选， 若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选； 若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案． 四、解答题 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解； （2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由题意可知，，，， 所以，解得，，， 所以函数的解析式为，经检验适合题意， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 令，则，解得，或， 当时，； 当时，； 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，取的极大值为， 当时，取得极小值为， 又，， 所以，． 16. 已知数列中，，. （1）求证：数列为等差数列； （2）令的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将已知递推式整理得到为定值，结合首项 ，即可证明； （2）先根据第一问的结论求出​的通项，代入目标数列通项裂项后，用裂项相消法求出前项和，再对结果放缩即可证明. 【小问1详解】 已知 ​，且  ，由递推关系可知  对任意正整数成立， 则该递推关系可整理为  ，又首项 ， 因此数列是首项为1，公差为2的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 所以， 所以 17. 某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目． （1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？ 【解析】 【分析】（1）先选出4人，再安排项目，结合分步计数原理可得答案； （2）利用分组分配的方法可求答案. 【小问1详解】 先从7位同学中选出4人，有种选法； 再将选出的4人分配到4个项目，要求每个项目至少1人，则有种分配方法， 所以共有种不同的调研安排方案. 【小问2详解】 将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种项目，每种项目至少1个元素， 则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法； 再将这四组对应4种项目进行全排列，有种方法， 所以若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有种不同的安排方案 18.（本题17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且． （1）求双曲线的方程； （2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值． 【解析】 【小问1详解】不妨设 , 因为, 从而 故由 , 又因为, 所以 ,又因为 在圆 上, 所以 所以双曲线的标准方程为： 【小问2详解】设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为 由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点, 当动直线的斜率不存在时, ,， 当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 , 故由 依题意，且 , 化简得 , 故由 , 同理可求,,所以 又因为原点到直线的距离,所以,又由，所以,故的面积是为定值. 19.（本题17分） 已知函数，. （1）当b=1时，讨论函数的单调性； （2）若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】 【小问1详解】当b=1时，，定义域为（0，+∞），. 当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减. 当时，， 令，得；令，得， 所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减. 综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递减， 当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减 【小问2详解】因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2， 所以，且， 由于，所以解得a=b=1，所以f(x)=lnx－x， 所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立. 令，所以， .令，， 则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增. 由于G(1)=e>0，，所以使得， 即，（※） 所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0， 即F(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由（※）式可知，，， 令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，所以，即，所以， 所以 所以，实数m的取值范围为（－∞，1]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第2学期高二级期中考试数学模拟题 一、单选题 1. 已知集合，若，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前项和，则等于（ ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 3. 已知为虚数单位， 则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 学校图书馆有个不同的借阅窗口（编号为），现将本完全相同的图书放到这个窗口展示，每个窗口可放多本也可不放，则不同的摆放方法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知m，n均为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列求导计算中，错误的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（ ） A. 四名同学的报名情况共有种 B. 每个项目都有人报名的情况共有36种 C. 四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种 D. 恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种 三、填空题 12. 已知，则__________． 13. 已知某六名同学在竞赛中获得前六名无并列情况，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有________种（用数字作答） 14. 某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 四、解答题 15. 已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最值． 16. 已知数列中，，. （1）求证：数列为等差数列； （2）令的前项和为，求证：. 17. 某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目． （1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？ 18.（本题17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且． （1）求双曲线的方程； （2）动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值． 19.（本题17分） 已知函数，. （1）当b=1时，讨论函数的单调性； （2）若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $