21.1.2 多边形及其内角和-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.1.2 多边形及其内角和人教版八年级数学下册 多边形及其内角和 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：理解多边形的定义、顶点、边、内角、外角等基本概念；掌握多边形的分类（凸多边形、凹多边形）及对角线的定义、条数计算；熟练掌握n边形内角和定理的推导方法，牢记n边形内角和公式（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）；能运用内角和公式解决角度计算、角度推理等问题，规范书写解题过程。 2. 3. 过程与方法：通过观察、猜想、动手操作、推理验证，经历多边形内角和定理的推导过程，延续“转化为三角形”的探究思路，培养学生的动手实践能力、逻辑推理能力和转化思想，体会“从特殊到一般”的探究方法，提升几何推理与计算能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受多边形在生活中的广泛应用，激发学生对几何图形的探究兴趣，培养严谨的推理习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学探究的逻辑性和趣味性，建立知识间的内在联系。 6. 二、教学重难点 重点：多边形的定义、分类及对角线相关知识；n边形内角和定理的推导过程及公式记忆；运用内角和公式解决角度计算、推理问题。 难点：n边形内角和定理的推导思路（多种方法转化为三角形）；灵活运用内角和公式解决含未知角、多角关系、对角线计算的复杂问题；区分凸多边形与凹多边形的特征，掌握对角线条数的计算方法。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含多边形实例、分类示意图、对角线示意图、内角和推导过程演示）、板书模板、直尺、圆规、三角形纸片、不同边数的多边形纸片；学生：复习四边形及其内角和相关知识，准备直尺、圆规、剪刀、硬纸板，预习多边形的相关概念，尝试动手分割多边形。 四、教学过程 （一）复习导入（8分钟） 1. 回顾旧知：提问学生：四边形的定义是什么？四边形的内角和是多少度？（引导学生回答：由四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫四边形，内角和为360°）；追问：我们已经学习了三角形、四边形，它们都是由线段围成的封闭图形，大家能举出边数更多的这类图形吗？（引导学生说出五边形、六边形、八边形等）。 2. 情境导入：出示生活中的多边形实例（蜂巢、五角星、地砖、螺母等），引导学生观察这些图形的共同特征，引出课题——多边形及其内角和，告知学生：今天我们就来学习多边形的定义、分类、对角线，重点探究多边形的内角和公式，掌握其应用方法，实现从特殊（三角形、四边形）到一般（多边形）的知识延伸。 3. 铺垫引导：强调核心思路：探究多边形内角和，可借鉴三角形、四边形内角和的探究方法，将多边形转化为我们熟悉的三角形，通过三角形内角和推导多边形内角和，延续“转化”的数学思想，同时重点关注边数与三角形个数的关系。 （二）探究新知（18分钟） 1. 探究一：多边形的定义、相关概念与分类 （1）定义：引导学生观察生活中的多边形实例，结合三角形、四边形的定义，归纳多边形的定义：由n条线段（n≥3，且n为整数）首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做n边形（也叫多边形）。强调三个核心条件：① n条线段（n≥3）；② 首尾顺次相接；③ 封闭。 （2）相关概念：补充多边形的基本概念：组成多边形的每条线段叫做多边形的边；相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点；相邻两条边的夹角叫做多边形的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角；连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。（结合图形演示，标注顶点、边、内角、对角线，帮助学生理解）。 （3）分类：结合图形演示，讲解多边形的分类：① 凸多边形：多边形的每个内角都小于180°，且整个图形都在任意一条边所在直线的同一侧（如三角形、长方形、正五边形）；② 凹多边形：多边形有一个或多个内角大于180°，且图形的一部分在某条边所在直线的另一侧（简单演示，强调初中阶段重点研究凸多边形）。补充：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正六边形）。 （4）对角线补充：引导学生动手画四边形、五边形的对角线，观察规律：① 四边形有2条对角线；② 五边形有5条对角线；③ 推导n边形对角线条数公式：从n个顶点出发，每个顶点可画（n-3）条对角线，去掉重复的对角线，最终n边形对角线条数为n(n-3)÷2（简要推导，重点记忆公式，结合实例验证）。 2. 探究二：多边形内角和定理的推导（核心） （1）猜想：引导学生结合三角形（180°）、四边形（360°）的内角和，猜想n边形的内角和：三角形（3边）：180°=（3-2）×180°；四边形（4边）：360°=（4-2）×180°；猜想n边形内角和为（n-2）×180°（n≥3，且n为整数）。 （2）多种推导方法（动手操作+推理验证，延续转化思想）： 方法一：连接对角线法（最常用）。① 动手操作：让学生用硬纸板做一个任意凸五边形、凸六边形，连接其中一个顶点与其余所有不相邻的顶点，分割成三角形；② 推理分析：五边形连接对角线后分成3个三角形，内角和=3×180°=（5-2）×180°；六边形连接对角线后分成4个三角形，内角和=4×180°=（6-2）×180°；③ 规范推导：任意n边形，连接一个顶点与其余（n-3）个不相邻顶点，可分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，因此n边形内角和=（n-2）×180°。 方法二：内部取点法。① 动手操作：在n边形内部取一点O，连接OA₁、OA₂、……、OAn，将n边形分成n个三角形；② 推理分析：n个三角形内角和总和为n×180°，减去中心点O处的周角（360°），即n边形内角和=n×180°-360°=（n-2）×180°。 方法三：补全成三角形法。① 动手操作：延长n边形的一组邻边，补成若干个三角形；② 推理分析：结合三角形内角和，通过计算可得n边形内角和=（n-2）×180°（简要演示，重点讲解方法一）。 （3）总结定理：通过多种方法验证，得出多边形内角和定理：n边形（n≥3，且n为整数）的内角和等于（n-2）×180°。强调：该定理适用于所有凸多边形，凹多边形内角和公式同样适用（不深入探究）；正n边形的每个内角都相等，每个内角的度数为（n-2）×180°÷n。 3. 定理应用铺垫：结合简单实例，讲解定理的基本应用：① 已知多边形边数，求内角和；② 已知多边形内角和，求边数；③ 已知正多边形边数，求每个内角的度数；④ 已知多边形的部分内角，求未知角，强调解题步骤：先明确n边形内角和公式，再根据已知条件列关系式，求解未知量。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（基础应用：求内角和与边数）：① 求七边形的内角和；② 已知一个多边形的内角和为1080°，求这个多边形的边数。讲解时强调：① 直接代入公式，七边形内角和=（7-2）×180°=900°；② 设多边形边数为n，列方程（n-2）×180°=1080°，解得n=8，规范书写解题步骤，提醒学生注意公式的正确运用。 例2（进阶应用：正多边形角度计算）：求正六边形每个内角的度数。引导学生分析：① 正六边形边数n=6，先求内角和=（6-2）×180°=720°；② 正六边形各内角相等，每个内角=720°÷6=120°，规范书写推理和计算过程，强调正多边形的特征。 例3（拓展应用：含角关系与对角线计算）：在一个凸五边形中，已知四个内角分别为100°、110°、120°、130°，求第五个内角的度数；并计算这个五边形的对角线条数。引导学生分析：① 五边形内角和=（5-2）×180°=540°，第五个内角=540°-100°-110°-120°-130°=80°；② 对角线条数=5×(5-3)÷2=5条，体现知识的综合运用，提醒学生注意凸多边形的内角都小于180°，验证结果的合理性。 教师板书规范的解题步骤，提醒学生注意：① 运用多边形内角和公式时，先明确边数n，牢记公式（n-2）×180°；② 正多边形角度计算需结合“各边相等、各内角相等”的特征；③ 对角线条数公式的正确运用，避免重复计算；④ 计算时注意角度单位，确保计算准确。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（内角和与边数）：求八边形的内角和；已知一个多边形内角和为1440°，求边数；求正五边形每个内角的度数。提高题（含角关系与对角线）：在凸六边形中，五个内角分别为120°、110°、130°、100°、90°，求第六个内角；计算正八边形的对角线条数；一个凸多边形的每个内角都是150°，求这个多边形的边数。学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对公式运用错误、角度计算失误、对角线条数计算错误等易错点集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了多边形的定义、相关概念（顶点、边、内角、对角线）及分类（凸多边形、凹多边形、正多边形）；学会了n边形对角线条数公式n(n-3)÷2；掌握了n边形内角和定理的多种推导方法（核心是转化为三角形），牢记内角和公式（n-2）×180°；能运用公式解决内角和、边数、正多边形角度、对角线条数等相关问题。师生共同梳理推导步骤、应用方法和易错点，加深记忆，建立三角形、四边形与多边形的知识关联。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固多边形的定义、分类、对角线及内角和公式的应用，规范书写解题步骤；拓展作业：尝试用两种不同的方法推导n边形内角和公式，写出推导过程；收集生活中的正多边形实例，计算其内角和及每个内角的度数，验证定理的正确性；计算正十边形的对角线条数和每个内角的度数。 五、板书设计 多边形及其内角和 1. 多边形定义：n条线段（n≥3）首尾顺次相接围成的封闭图形（n边形） 2. 相关概念：顶点、边、内角、外角、对角线 3. 分类：凸多边形（内角均<180°，重点研究）、凹多边形；正多边形（各边、各内角相等） 4. 对角线：n边形对角线条数 = n(n-3)÷2 5. 内角和定理：n边形内角和 = （n-2）×180°（n≥3，n为整数） 推导方法（核心：转化为三角形）： 方法一：连接对角线 → 分成（n-2）个三角形 → （n-2）×180° 方法二：内部取点 → 分成n个三角形 → n×180°-360°=（n-2）×180° 6. 应用：求内角和、边数、正多边形角度、对角线条数 例1：基础计算 例2：正多边形角度 例3：综合应用（角+对角线） （规范书写解题步骤） （规范书写解题步骤） （规范书写解题步骤） 六、教学反思 本节课聚焦多边形及其内角和，衔接三角形、四边形的相关知识，通过实例导入、动手操作、推理验证，引导学生掌握多边形的定义、分类、对角线及内角和定理，延续转化思想，实现从特殊到一般的知识延伸，符合八年级学生的认知规律，基本达成教学目标。但部分学生对多边形的相关概念理解不够透彻，难以区分内角与外角；在推导内角和时，对“边数n与三角形个数（n-2）的关系”掌握不够灵活，尤其是方法二的推导过程理解困难；运用公式解决问题时，容易出现公式记错、边数与内角和对应错误、对角线条数计算重复等问题；对正多边形的特征运用不够熟练。后续需细化概念讲解，增加动手操作的指导，强化转化思想的渗透，设计变式练习强化公式应用和综合解题能力，帮助学生熟练掌握本节课知识点，建立完整的几何图形知识体系，提升几何推理与计算能力。 教学设计 教学目标 课题 21.1.2 多边形及其内角和 授课人 素养目标 1.了解多边形的概念及相关要素. 2.探索并掌握多边形的内角和与外角和公式，提升推理能力. 教学重点 多边形的内角和与外角和. 教学难点 多边形的内角和与外角和公式的推导. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，引入新知 【情境引入】 多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗? 【教学建议】 让学生结合生活 中的场景，谈谈自己见到的多边形，融入课堂. 设计意图 通过观察生活中的图片，引出多边形的学习，激发学生兴趣. 活动二：类比学习，探究新知 探究点 1 多边形的相关概念 (1)请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义. 答：组成多边形的各条线段叫作多边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点，多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形内角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角，连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线. (2)指出图中六边形的边、顶点、内角和外角，画出它的全部对角线. 答:该六边形的边为 AB,BC,CD,DE,EF,AF;顶点为点 A,B,C,D,E,F;内角为∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F;外角如图①所示,分别为∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6,∠7,∠8,∠9,∠10,∠11,∠12;画出它的全部对角线如图②所示. 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形. 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 【教学建议】 要带领全班将多 边形的各要素梳理清楚.对于多边形的对角线，要让学生自己动手去画，在画的过程中，由于要做到不遗漏，学生会自行体会到从一个顶点出发可以画几条对角线，若细心观察(或稍后加以引导)，还能发现从一个顶点出发的对角线可以将多边形分割成几个三角形.这对于后面的学习很有帮助. 设计意图 认识多边形及其相关要素，提升类比学习的能力. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 设计意图 概念引入：我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.如图是正多边形的一些例子. 注意：要判断一个多边形是不是正多边形，各个角都相等，各条边都相等必须同时具备，缺一不可.另外，由于正多边形的各内角相等，所以它的各外角也相等. 【教学建议】 讲述正多边形时， 各角相等与各边相等是两个相互独立的条件，对于边数大于3的多边形，必须同时满足这两个条件才能判定其为正多边形.可让学生举一些正多边形的实例，加深对概念的理解. 准确理解正多边形的概念，认识其特点，为后面的学习打下基础. 设计意图 探究点 2 多边形的内角和 (教材P50探究)类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗?由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗? 观察图形，可以发现： 从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线，它们将五边形分为 3 个三角形，五边形的内角和等于 3 ×180°； 从六边形的一个顶点出发，可以作 3 条对角线，它们将六边形分为 4 个三角形，六边形的内角和等于 4 ×180°. 归纳总结：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于( 这样就得出了多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°. 注意：由于正多边形的每个内角都相等，所以正n边形的每个内角的度数都为 思考：把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗? 答：有其他分法，这里介绍两种，可由此得到多边形的内角和公式. 【教学建议】 对于多边形的边 数与分割成的三角形的个数之间的关系，多边形的内角和与各三角形内角和之间的关系，要让学生按照自己的观察去认真总结，从而加深印象. 【教学建议】 对于每种分割方 式，都尽量让学生自己去总结规律. 通过设问引导学生探索，经历多边形内角和公式的推导过程，体会数与形之间的联系，感受由特殊到一般的数学推理过程和思考方法，发展合情的推理能力. 设计意图 让学生感受得到结论的方法并不是唯一的，发散学生思维，拓展学生的创新意识. 图示 方法 如图，在n边形内任取一点O，连接点O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形.因为这n 个三角形的内角和是n×180°,以O为公共顶点的n 个角的和是 360°,所以n 边形的内角和是 ,即(n-2)×180° 如图，在n边形的边上任意取一点 P(不与顶点重合)，连接这点与各顶点的线段，把n 边形分成(n-1)个三角形.因为这(n-1)个三角形的内角和是(n-1)×180°,以 P为公共顶点的(n-1)个角的和是180°，所以n 边形的内角和是( ，即 【对应训练】 1.教材P52练习第1题. 2.教材P52练习第2题(1)(2). 学科网（北京）股份有限公司 ® 教学步骤 师生活动 设计意图 探究点3 多边形的外角和 (教材P51探究)与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度?请你说明理由. 答：与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于 n×180°，外角和等于 归纳总结：多边形的外角和等于360°. 注意：由于正多边形的每个外角都相等，所以正n边形的每个外角的度数都为 你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°: 如图，从多边形的一个顶点 A 出发，沿多边形的各边依 次走过各顶点，再回到点 A，然后转向出发时的方向.在行程 中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°. 【对应训练】 教材P52练习第2题(3). 【教学建议】 有了上节课四边 形内角和与外角和的学习，此处推导多边形的外角和相对容易，可让学生自己推理，教师适当加以引导和指正.应让学生特别牢记结论：多边形的外角和恒等于 360°，与多边形的边数无关. 通过推理与观察两种方式得出多边形的外角和，发展学生的推理能力和几何直观感知能力. 活动三：综合运用，巩固提升 例(教材P52例2)一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形? 解：设这个多边形的边数为 n.因为它的内角和等于( 外角和等于360°,所以( 解得n=6. 因此这个多边形是六边形. 【对应训练】 一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数. 解：设多边形的边数为n，由题意，得( ,解得n=9. 内角和度数为( 答：这个多边形的边数为9，内角和度数为1260°. 【教学建议】 学生独自完成，教 师集中批改、订正.给学生强调，解此类题的关键在于牢记多边形的内角和与外角和公式，再根据两者之间的关系列方程求解. 设计意图 综合多边形的内角和与外角和进行强化训练，使学生在运用中熟练掌握新知. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是多边形?多边形的组成要素有哪些?什么是正多边形?多边形的内角和公式是怎样的?你能推导吗?多边形的外角和是多少? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P52~53习题21.1第2,3,4,6,7,9题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 板书设计 21.1.2 多边形及其内角和 1.多边形. 2.多边形的内角和. 3.多边形的外角和. 教学反思 本节课类比上节课四边形的内容，学习了多边形的有关知识，采用同样的思路推导了多边形的内角和、外角和.教学中注意思维引导，让学生积极思考，主动参与，较好地培养了学生类比学习的能力. 备课素材 解题大招 解题大招一 与多边形的内角和有关的问题 多边形的内角和通常有以下几种应用类型：(1)已知多边形边数求内角和，或已知多边形内角和求边数；(2)求正多边形的每个内角度数，或已知正多边形的各个内角度数求边数；(3)多边形内角和与外角和的综合运用. 例1 已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是(C) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 例2 一个多边形的内角和不可能是(D) A.1800° B.540° C.720° D.810° 分析：n边形的内角和是(n—2)×180°，即多边形的内角和一定是 180°的正整数倍，810°不能被180°整除，所以一个多边形的内角和不可能是810°. 例3 如图,在正六边形ABCDEF 内,以AB 为边作正五边形ABGHI,求∠FAI的度数. 分析：利用多边形内角和及正多边形的性质分别求得∠BAF，∠BAI 的度数，然后利用角的差计算即可. 解:在正五边形ABGHI 中, 在正六边形ABCDEF 中, 则∠FAI=∠BAF-∠BAI=120°-108°=12°. 解题大招二 与多边形的外角和有关的问题 多边形的外角和通常有以下几种应用类型：(1)直接求多边形外角和；(2)求正多边形的每个外角度数，或已知正多边形的各个外角度数求边数；(3)多边形内角和与外角和的综合运用. 注意：行走问题实际上属于上述类型(2)，它是多边形的外角和等于360°的现实意义.如果每次走的路程都相等，每次转的方向都相同，当回到出发点时，所走路径将会构成一个正多边形，而每次的转向角就是正多边形的外角，据此即可求解. 例4 已知一个正多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形是(B) A.正五边形 B.正六边形 C.正七边形 D.正八边形 例5 如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1的度数是(A) A.45° B.60° C.30° D.50° 学科网（北京）股份有限公司 $