21.1.1 四边形及其内角和-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.1 四边形及多边形人教版八年级数学下册 四边形及其内角和 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：理解四边形的定义、分类（凸四边形、凹四边形）及基本特征；掌握四边形内角和定理的推导方法（多种思路），牢记四边形内角和为360°；能运用四边形内角和定理解决角度计算、角度推理等问题，规范书写解题过程。 2. 3. 过程与方法：通过观察、猜想、动手操作、推理验证，经历四边形内角和定理的推导过程，培养学生的动手实践能力、逻辑推理能力和转化思想，体会“从特殊到一般”“转化为三角形”的探究方法，提升几何推理与计算能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受四边形在生活中的广泛应用，激发学生对几何图形的探究兴趣，培养严谨的推理习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学探究的逻辑性和趣味性。 6. 二、教学重难点 重点：四边形的定义、分类及基本特征；四边形内角和定理的推导过程；运用内角和定理解决角度计算、推理问题。 难点：四边形内角和定理的多种推导思路（转化为三角形）；灵活运用内角和定理解决含未知角、多角关系的复杂问题；区分凸四边形与凹四边形的特征。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含四边形实例、分类示意图、推导过程演示）、板书模板、直尺、圆规、三角形纸片、四边形纸片；学生：复习三角形内角和定理（180°），准备直尺、圆规、剪刀、硬纸板，预习四边形的相关概念，尝试动手分割四边形。 四、教学过程 （一）复习导入（8分钟） 1. 回顾旧知：提问学生：三角形的定义是什么？三角形的内角和是多少度？（引导学生回答：由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫三角形，内角和为180°）；追问：我们之前学过的图形中，除了三角形，还有由多条线段围成的图形，大家能举出例子吗？（引导学生说出长方形、正方形、平行四边形等）。 2. 情境导入：出示生活中的四边形实例（窗户框架、桌面、课本封面、路标等），引导学生观察这些图形的共同特征，引出课题——四边形及其内角和，告知学生：今天我们就来学习四边形的定义、分类，重点探究四边形的内角和，掌握其应用方法。 3. 铺垫引导：强调核心思路：探究四边形内角和，可借鉴三角形内角和的探究方法，将四边形转化为我们熟悉的三角形，通过三角形内角和推导四边形内角和，体现“转化”的数学思想。 （二）探究新知（18分钟） 1. 探究一：四边形的定义与分类 （1）定义：引导学生观察生活中的四边形实例，归纳四边形的定义：由四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形，叫做四边形。强调两个核心条件：① 四条线段；② 首尾顺次相接、封闭；补充：组成四边形的四条线段叫做四边形的边，相邻两条边的夹角叫做四边形的内角，四边形有4条边、4个内角。 （2）分类：结合图形演示，讲解四边形的分类：① 凸四边形：四边形的四个内角都小于180°，且整个图形都在任意一条边所在直线的同一侧（如长方形、正方形、平行四边形）；② 凹四边形：四边形有一个内角大于180°，且图形的一部分在某条边所在直线的另一侧（简单演示，强调初中阶段重点研究凸四边形）。 2. 探究二：四边形内角和定理的推导（核心） （1）猜想：引导学生猜想四边形的内角和是多少度？（结合长方形、正方形的内角和，长方形4个角都是90°，内角和为360°，猜想任意四边形内角和为360°）。 （2）多种推导方法（动手操作+推理验证）： 方法一：连接对角线法（最常用）。① 动手操作：让学生用硬纸板做一个任意凸四边形，连接其中一条对角线（如AC）；② 推理分析：对角线将四边形分成2个三角形，每个三角形内角和为180°，因此四边形内角和=2×180°=360°；③ 规范推导：在四边形ABCD中，连接AC，△ABC和△ADC的内角和均为180°，故∠A+∠B+∠C+∠D=（∠BAC+∠B+∠ACB）+（∠DAC+∠D+∠ACD）=180°+180°=360°。 方法二：分割成多个三角形法。① 动手操作：在四边形内部取一点O，连接OA、OB、OC、OD，将四边形分成4个三角形；② 推理分析：4个三角形内角和总和为4×180°=720°，减去中心点O处的周角（360°），即四边形内角和=720°-360°=360°。 方法三：补全成三角形法。① 动手操作：延长四边形的一组对边，补成一个大三角形；② 推理分析：大三角形内角和为180°，另外两个小三角形内角和总和为180°，合计360°，即四边形内角和为360°（简要演示，重点讲解方法一）。 （3）总结定理：通过多种方法验证，得出四边形内角和定理：任意四边形的内角和等于360°。强调：该定理适用于所有凸四边形，凹四边形内角和同样为360°（不深入探究）。 3. 定理应用铺垫：结合简单实例，讲解定理的基本应用：已知四边形的三个内角，求第四个内角；已知四边形的两个内角及另外两个内角的关系，求未知角，强调解题步骤：先明确四边形内角和为360°，再根据已知条件列关系式，求解未知角。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（基础应用：求未知角）：在四边形ABCD中，已知∠A=80°，∠B=100°，∠C=70°，求∠D的度数。讲解时强调：① 明确四边形内角和为360°；② 列关系式：∠D=360°-∠A-∠B-∠C；③ 代入计算：∠D=360°-80°-100°-70°=110°，规范书写解题步骤，提醒学生注意角度计算的准确性。 例2（进阶应用：含角关系的推理计算）：在四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠D，且∠A=2∠C，求四边形ABCD各内角的度数。引导学生分析：① 设未知数，设∠C=∠D=x，则∠A=∠B=2x；② 结合内角和定理列方程：2x+2x+x+x=360°；③ 解方程得x=60°，进而求出各内角：∠A=∠B=120°，∠C=∠D=60°，规范书写推理和计算过程，强调设未知数的解题技巧。 例3（拓展应用：结合三角形知识）：在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A=105°，∠C=65°，求∠D的度数。引导学生分析：AB⊥BC，说明∠B=90°，再结合四边形内角和定理，∠D=360°-105°-90°-65°=100°，体现知识的综合运用，提醒学生注意直角的特殊性。 教师板书规范的解题步骤，提醒学生注意：① 运用四边形内角和定理时，先明确定理内容（360°）；② 含角关系的问题，可通过设未知数列方程求解，简化计算；③ 计算时注意角度单位，确保计算准确。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（求未知角）：在四边形ABCD中，∠A=95°，∠B=85°，∠C=70°，求∠D；已知四边形的三个内角分别为110°、60°、80°，求第四个内角。提高题（含角关系）：在四边形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D=2:3:4:5，求各内角的度数；在凸四边形中，一个内角是120°，其余三个内角相等，求这三个内角的度数。学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对角度计算失误、设未知数不规范、忽略直角特殊性等易错点集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了四边形的定义、分类（凸四边形、凹四边形）及基本特征；学会了四边形内角和定理的多种推导方法（核心是转化为三角形），牢记定理内容（任意四边形内角和为360°）；能运用定理解决角度计算、角关系推理等问题，掌握了设未知数求解角关系的技巧。师生共同梳理推导步骤、应用方法和易错点，加深记忆。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固四边形的定义、分类及内角和定理的应用，规范书写解题步骤；拓展作业：尝试用两种不同的方法推导四边形内角和，写出推导过程；收集生活中的凸四边形和凹四边形实例，计算其中一个凸四边形的内角和，验证定理的正确性。 五、板书设计 四边形及其内角和 1. 四边形定义：四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形（4条边、4个内角） 2. 分类：凸四边形（内角均<180°，重点研究）、凹四边形（一个内角>180°） 3. 内角和定理：任意四边形内角和 = 360° 4. 推导方法（核心：转化为三角形）： 方法一：连接对角线 → 分成2个三角形 → 2×180°=360° 方法二：内部取点 → 分成4个三角形 → 4×180°-360°=360° 5. 应用：求未知角、角关系推理（设未知数列方程） 例1：基础求角 例2：角关系计算 例3：结合直角的综合应用 （规范书写解题步骤） （规范书写解题步骤） （规范书写解题步骤） 六、教学反思 本节课聚焦四边形及其内角和，衔接三角形内角和知识，通过实例导入、动手操作、推理验证，引导学生掌握四边形的定义、分类及内角和定理，体会转化思想，符合八年级学生的认知规律，基本达成教学目标。但部分学生对四边形的分类理解不够透彻，难以区分凸四边形与凹四边形；在推导内角和时，对“转化为三角形”的思路掌握不够灵活，尤其是方法二、方法三的推导过程理解困难；运用定理解决含角关系的问题时，设未知数不规范，角度计算易出现失误。后续需细化分类讲解，增加动手操作的指导，强化转化思想的渗透，设计变式练习强化角关系推理和计算能力，帮助学生熟练掌握本节课知识点，提升几何推理与计算能力。 21.1.1 四边形及其内角和 教学设计 教学目标 课题 21.1.1 四边形及其内角和 授课人 素养目标 1.了解四边形的概念及四边形的边、顶点、对角线、内角与外角. 2.探索并掌握四边形的内角和与外角和，提升推理能力. 3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的一些应用. 教学重点 四边形的内角和. 教学难点 四边形的内角和与外角和的推导. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，引入新知 【情境引入】 现实世界的很多物体中都有四边形的形象，例如，宏伟的建筑、一望无际的农田、开关自如的伸缩门、别具一格的窗棂…… 与三角形一样，四边形也是一种基本的几何图形.本节我们类比三角形，学习四边形的一些概念和性质，并把它们推广到多边形. 【教学建议】 让学 生 交 流 互 动，列举生活中见到的四边形的例子，丰富课堂学习氛围. 设计意图 通过日常生活场景，引出四边形的学习，激发学生兴趣. 活动二：类比学习，探究新知 探究点 1 四边形的相关概念 1.四边形及其边、顶点，四边形的表示方法 类比三角形，根据教材内容填一填四边形的相关概念内容. 【教学建议】 四边形的相关概 念可以类比三角形来学习.但应注意：三角形的三个顶点总是在一个平面内，也就是说三角形肯定是平面图形，但四个点可能不共面，所以四边形的定义中，“在平面内”这个前提不能遗漏，后面学习多边形的定义也应注意这点. 设计意图 三角形 四边形 认识四边形及其相关要素，并为后面的学习打下基础. 概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 在平面内，由不在同一直线上 的四条线段 首尾顺次相接 组成的图形叫作四边形 边 组成三角形的线段叫作三角形的边 组成 四边形 的各条线段叫作四边形的边 顶点 相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点 每相邻两条 线段的公共端点 叫作四边形的顶点 图形及记法 记作:△ABC 记作: 四边形 ABCD 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 设计意图 2.凸四边形 如图，画出四边形ABCD 的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. (1)在图①中已经画出了边CD 所在直线，发现整个四边形都在这条直线的同一侧.请你自己动手，在图①中画出剩下的三条边所在直线，对于每一条直线，观察四边形 ABCD 的位置，看整个四边形是否都在这条直线的同一侧. 答：如图①，对于每一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧. (2)观察图②，对于边CD(或BC)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧吗?四边形 ABCD 是不是凸四边形? 答：对于边CD(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.四边形 ABCD 不是凸四边形. 特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 3.四边形的对角线 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.在图中，AC，BD 是四边形ABCD 的两条对角线，它们分别将四边形 ABCD 分为两个三角形. 4.四边形的内角与外角 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. (1)四边形 ABCD 如图所示.请你将它的所有内角表示出来. 解:它的所有内角为∠A,∠B,∠C,∠D. (2)对于(1)中的四边形ABCD,请你画出顶点 A,C处的外角. 解：如图，顶点 A 处的外角为∠1，∠2，顶点 C 处的外角为∠3,∠4. 【教学建议】 让学生动手画图， 厘清凹四边形与凸四边形的区别.对于凹四边形的概念，教学中不必说明，只要让学生明白此类四边形不是凸四边形即可. 【教学建议】 给学生说明： (1)四边形的每 一个顶点处可以画出两个外角(如∠1,∠2),且这两个外角是相等的.一般我们讨论外角问题时，每个顶点处任选其中一个外角探讨即可； (2)我们在画顶 点处的外角时，两边的延长线也形成了一个夹角，注意这个角不是四边形的外角. 准确理解凸四边形的概念. 设计意图 认清四边形的内角与外角，为后面内角和与外角和的探究打下基础. 设计意图 探究点 2 四边形的内角和与外角和 1.四边形的内角和 思考(教材P47思考)：我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度?你能证明你的结论吗? 如图，在四边形ABCD 中，连接对角线AC，则四边形ABCD 被分为△ABC 和△ACD 两个三角形. (1)△ABC的三个内角为 ∠1 , ∠B , ∠3 . (2)△ACD的三个内角为 ∠2 , ∠4 , ∠D . (3)观察图形,四边形 ABCD 的内角和与△ABC 的内角和、△ACD 的内角和之间有什么等量关系? 答:四边形 ABCD 的内角和=△ABC 的内角和+△ACD 的内角和. 【教学建议】 厘清思路之后，指定学生上台板演，推导出四边形的内角和. 引导学生在三角形的内角和定理的基础上推导出四边形的 内角和，加强知识之间的联系，提升推理能力. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 (4)根据以上分析，请你求出四边形 ABCD|的内角和. 答：在△ABC 中，由三角形内角和定理，得 ∠1+∠B+∠3=180°,∠2+∠4+∠D=180°. 由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)=180°+180°=360°. 归纳总结：四边形的内角和等于360°. 2.四边形的外角和 例 (教材P47例1)如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少? 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°.根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. 解:如图.∵∠DAB 与∠1是邻补角, ∴∠DAB+∠1=180°.同理∠ABC+∠2=180°, ∠BCD+∠3=180°,∠CDA+∠4=180°. ∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD +∠3+∠CDA+∠4=720°. 而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 归纳总结：四边形的外角和等于360°. 【对应训练】 教材 P49练习第1,2题. 【教学建议】 这 里 给 学 生强 调，四边形的外角和，只从每个顶点处取一个外角. 设计意图 在四边形内角和的基础上，结合邻补角，运用整体思想推导出四边形的外角和. 设计意图 探究点 3 四边形的不稳定性 (教材P48探究) (1)如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗? 答：可以发现，四边形木架的形状会改变.因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. (2)如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗?为什么? 答：再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性，这时四边形木架的形状不会改变. 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图①中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图②中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等. 【对应训练】 教材P49练习第3题. 【教学建议】 可提前准备好道 具，让学生真实体验，加深印象；还可让学生从生活中的场景多举例子，加强互动. 结合生活经验，学习四边形的不稳定性，体会数学的应用价值. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是四边形?四边形的组成要素有哪些?四边形的内角和是多少?我们是怎么得到四边形的内角和的?四边形的外角和是多少?四边形的稳定性如何?你能结合生活中的例子进行说明吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P52~53习题21.1第1,5,8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 21.1.1四边形及其内角和 1.四边形. 2.四边形的内角和、外角和. 3.四边形的不稳定性. 教学反思 本节课类比三角形的相关概念，引出了四边形的学习，并根据三角形的内角和定理推导出了四边形的内角和，进而推导出四边形的外角和.同样，通过与三角形的稳定性进行对比，学习了四边形的不稳定性，并了解到该性质在日常生活中的一些应用，体会了数学与实际生活的紧密联系.类比引导的学习方式能够提升学生学习数学的信心，今后的教学中可以继续采用这种方式. 学科网（北京）股份有限公司 $