21.1.1 四边形及其内角和 教学设计 2025-2026学年 人教版 数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.1.1《四边形及其内角和》   一、教材分析 本节课是人教版八年级下册第二十一章“四边形”的开篇，是学生从三角形过渡到四边形的关键节点.它不仅是对三角形知识的延伸和应用，更是后续学习平行四边形、矩形、菱形等特殊四边形的基础，在几何知识体系中起到承上启下的作用. 教材从生活实例出发，引出四边形的定义、顶点、边、角、对角线等基本概念，并区分凸四边形；然后通过将四边形分割为两个三角形，利用三角形内角和定理，推导出四边形内角和为360°，并进一步探究外角和.通过实验探究四边形的不稳定性，对比三角形的稳定性，理解其在生活中的应用与克服方法；最后通过具体例题，应用内角和与外角和的性质解决问题，加深理解.   二、学情分析 已有基础：学生已经掌握了三角形的内角和、外角和以及稳定性等知识.具备了初步的几何观察、操作和简单推理能力. 存在困难：对“将四边形问题转化为三角形问题”的化归思想理解不深；容易混淆四边形的内角与外角概念；对四边形不稳定性的本质及其应用场景理解不够透彻. 认知特点：八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对直观操作和实验探究的兴趣浓厚；喜欢从生活实例中学习数学，但在抽象概括和逻辑证明方面仍需引导和训练.   三、教学目标 1.理解四边形的有关概念，能正确识别凸四边形. 2.掌握四边形内角和为360°及外角和的性质，并能进行简单计算.了解四边形的不稳定性及其在生活中的应用. 3.经历将四边形问题转化为三角形问题的探究过程，体会化归思想及观察、分析和推理能力. 4.感受数学与生活的紧密联系，激发学习几何的兴趣；在探究活动中培养合作交流和严谨求实的科学态度.   四、教学重难点 重点：理解四边形的有关概念，能正确识别凸四边形； 难点: 掌握四边形内角和为360°及外角和的性质，并能进行简单计算.了解四边形的不稳定性及其在生活中的应用.   五、教学过程 · 本章引入 思考：现实世界的很多物体中都有四边形的形象，请说一说. 四边形的前置知识和后置知识结构如下： 研究图形性质的一般思路与方法：观察、实验、类比、推广、特殊化 设计意图：通过生活中建筑、农田、伸缩门等四边形实例，让学生直观感受四边形的广泛存在，激发学习兴趣。同时，梳理前置(长方形、正方形等)与后置(圆)知识，明确四边形在几何体系中的承上启下地位，引导学生用观察、实验、推理的方法探究图形性质. · 复习回顾 问题1：什么是三角形？ 答：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 问题2：三角形的组成元素有哪些？又有哪些相关元素？ 答： 师生活动：教师通过提问“什么是三角形”三角形的组成元素有哪些”，引导学生回忆三角形的定义及边、内角、外角等组成元素，再通过结构图梳理中线、角平分线、高线等相关元素，学生口答并补充，教师板书完善. 设计意图：通过复习三角形的定义与元素，为类比学习四边形的概念和性质做好铺垫，帮助学生建立知识迁移的思维基础. · 探究新知 活动一：探究四边形的定义及组成元素 问题3：观察画某四边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是四边形吗? 师生活动：教师引导学生类比三角形，自主归纳四边形定义；通过对比图形，辨析凸、凹四边形的区别；再通过观察对角线，认识内角、外角，并动手画外角，学生讨论回答，教师板书总结. 答：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. 组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点. 问题4：比较四边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢?怎样命名四边形呢? 答：这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内. 四边形用表示它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写. (可以按顺时针或逆时针的顺序.) 记作：四边形ABCD或四边形 ADCB 问题5：这两个四边形有什么不同？ 答：(1)四边形 ABCD 都在直线 CD 的同一侧，也都在直线 AB，BC，AD 的同一侧. (2)四边形 ABCD 不都在直线 CD（或 BC）的同一侧. 凸四边形：如下图，画出四边形 ABCD 的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形. 注意：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 如图：线段AC、BD是四边形ABCD的两条对角线. 思考：AC 将四边形分为 _______ 和 _______ . BD 将四边形分为 _______ 和 _______ . 答：△ABC △ACD △BDA △BDC 四边形的两条对角线分别把四边形分成了两个三角形. 四边形的内角：与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角； 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. 如图： ， ， ， 四边形ABCD的内角. 答：A B C D 操作：请在右图中分别画出四边形ABCD顶点A，C处的外角. 设计意图：通过类比迁移，让学生自主建构四边形概念；通过辨析与操作，深化对凸四边形、内角、外角的理解，为后续性质探究奠定基础. 活动二：探究四边形的内角和、外角和 问题6：我们知道，三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 师生活动：教师先抛出问题，引导学生猜想四边形内角和；再启发学生连接对角线，将四边形转化为两个三角形，学生观察并尝试推理，教师板书证明过程，共同得出结论. 分析：由于四边形的一条对角线将这个四边形分为两个三角形，所以四边形的有关问题就可以利用三角形的相关知识加以解决. 如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形ABCD 被分为 △ABC 和 △ACD 两个三角形. 在△ABC 中，由三角形内角和定理，得 ∠1 + ∠B + ∠3 = 180°. 同理 ∠2 + ∠4 + ∠D = 180°. 由此可得 ∠DAB + ∠B + ∠BCD + ∠D = ∠1 + ∠2 + ∠B + ∠3 + ∠4 + ∠D =（∠1 + ∠B + ∠3）+（∠2 + ∠4 + ∠D） = 180°+ 180° = 360°. 即四边形的内角和等于 360°. （形内角和定理） 设计意图：通过猜想与证明，让学生体会“化归思想”，将四边形问题转化为三角形问题，培养逻辑推理能力，同时巩固三角形内角和知识. 问题7：如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少？ 师生活动：教师引导学生观察内角与外角的令补关系，启发学生利用“内角和+外角和=4×180°”的关系，学生尝试推导，教师板书推理过程，共同得出外角和为360°的结论. 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为 4 × 180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. 内角+其邻补角=180° 解：如图. ∵∠DAB 与∠1 是邻补角， ∴∠DAB + ∠1 = 180°. 同理∠ABC + ∠2 = 180°，∠BCD + ∠3 = 180°， ∠CDA + ∠4 = 180°. ∴∠DAB + ∠1 + ∠ABC + ∠2 + ∠BCD + ∠3 + ∠CDA + ∠4 = 720°. 而∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°， ∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360°. 总结：四边形的外角和等于360° 总结：四边形的内角和等于 360° 四边形的内角和等于 360° 几何语言： 在四边形 ABCD 中， ∴∠A +∠B +∠C +∠D = 360°. 四边形的外角和等于 360° 几何语言： 在四边形 ABCD 中， ∴∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°. 设计意图：通过内角与外角的关系推导外角和，深化对四边形性质的理解，强化“化归"与“整体”思想，培养学生的逻辑推理和知识迁移能力. 活动三：探究四边形的不稳定性 问题8：在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢? 如图①，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 如图②，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？ 师生活动：教师引导学生动手扭动四边形木架，观察形状变化；再钉上木条连接对角，再次扭动并对比差异.随后组织学生讨论，列举生活中利用与克服四边形不稳定性的实例，教师补充点评. 答：图① 四条边确定后，四个角并不确定，四边形木架形状会发生改变. 结论：四边形不具有稳定性 图②形成两个三角形；木架形状不变. 结论：三角形具有稳定性 问题9：在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，你能举出一些例子吗? 答： 问题10：在日常生活中，有时又需要克服四边形的不稳定性，你能举出一些例子吗? 答： 设计意图：通过实验操作，让学生直观感受四边形的不稳定性，对比三角形稳定性，理解其本质差异；结合生活实例，体会数学与生活的联系，培养应用意识. · 应用新知 · 【经典例题】 师生活动：教师出示例题，引导学生分析已知条件，学生尝试独立解题，教师巡视指导；再组织学生交流解题思路，对比不同解法，教师板书规范步骤，强调知识综合应用. 例1 如图，在四边形ABCD中，∠A＝80 °，∠D＝140°，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且EC∥AD，求出∠B的度数. 分析：利用平行线性质与角平分线定义，结合四边形内角和求解． 解：∵EC∥AD，∴∠D＋∠DCE＝180°. ∵∠D＝140°，∴∠DCE＝40°. ∵CE平分∠DCB，∴∠DCB＝2∠DCE＝80°. ∴在四边形ABCD中，∠B＝360°－∠A－∠D－∠DCB＝60°. 例2 如图所示，AB，BC，CD 是三根长度分别为1 cm，2cm，5cm的木棒，它们之间的连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考：这根橡皮筋可以拉到的最大长度为多少厘米？最短长度为多少厘米？ 解：由于 B，C两连接处可以活动， ∴当A、B、C、D 形成一条线段时，AD 最长， 此时AD=1+2+5=8(cm); 当A、B、C拉直，B，A 落在CD 上时，AD 最短， 此时AD=5-1-2=2(cm)， ∴这根橡皮筋可以拉到的最大长度为8cm，最短长度为2cm. 设计意图：通过例题巩固四边形内角和、平行线性质及不稳定性等知识，培养学生综合运用知识解决问题的能力，提升逻辑推理和规范表达能力. · 课堂练习 【教材练习】 1. 求出下列图形中 x 的值： 解：图①中，∵四边形的内角和等于 360°， ∴90 + 140 + x + x = 360. ∴ x = 65. 图②中，∵四边形的内角和等于 360°， ∴3x + 3x + 2x + 4x = 360. ∴x = 30. 图③中，与 x°角相邻的内角的度数为 (180－x)°. ∵四边形的内角和等于 360°， ∴120 + 75 + (180－x) + 80 = 360. ∴ x = 95. 2. 一个四边形的一组对角互补，它的另一组对角有什么关系？ 分析：如图，已知：∠1 + ∠2 = 180°，求 ∠3 与∠4 的关系. 解：如图，若 ∠1 + ∠2 = 180°，由四边形的内角和等于 360°，得 ∠3 + ∠4 = 360°－(∠1 + ∠2) = 360°－180°= 180°. ∴它的另一组对角也互补. 3. 下列图形中哪些具有稳定性？ 分析：解题秘方：关键是看各图形能否完全“分解”成三角形. 答：(1)、(4) 师生活动：教师出示练习题，学生独立完成，教师巡视并收集典型解法；随后组织小组交流，学生展示解题思路，教师点评并强调内角和、稳定性等核心知识的应用，规范解题步骤. 设计意图：通过分层练习，巩固四边形内角和、稳定性等知识，强化“化归”思想，培养学生规范表达和灵活运用知识的能力，提升数学素养. 【限时训练】 1.下列说法正确的是(  ) A. 由四条线段组成的图形叫作四边形 B. 四边形有条对角线 C. 四边形的一个外角与相邻内角相等 D. 四边形的外角和等于内角和 答：D 2.四边形没有稳定性，当四边形的形状发生改变时，发生变化的是(     ) A. 四边形的外角和 B. 四边形的边长 C. 四边形的周长 D. 四边形的对角线长 分析：当四边形的形状发生改变时，四边形的外角和、四边形的边长、四边形的周长都不会发生变化，四边形的对角线长会变化故选D． 答：D 3.如图，在四边形中，，连接，平分，，，则的度数是(     ) A. B. C. D. 分析：由条件可知，则， ，，. 由条件可知， ，，  ∴  故选：． 答：B 4.如图，在四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=，AD=4，则四边形ABCD的面积是           ． 分析：延长BA，CD相交于E，如图. ∵A=135°，B=D=90°, ∴C=360°-90°-90°-135°=45°, ∴△BCE和△ADE都是等腰直角三角形. S四边形ABCD=S△BCE-S△ADE ==24-8=16. 5.如图，在四边形中，，，的平分线与外角的平分线相交于点，探究与，之间的数量关系． 解：设，． ， ， ， ． 又， ． 师生活动：教师组织限时训练，学生独立完成；教师针对性讲评易错题，重点梳理第3题平行线与角平分线综合推理、第4题补形法求面积，引导学生总结解题模型. 设计意图：通过分层限时训练，强化四边形核心性质与综合解题方法，培养学生的审题能力与解题速度，查漏补缺，提升知识应用的灵活性与严谨性. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.四边形的定义是什么？什么叫作四边形的边、顶点、对角线？四边形的内角和外角的定义是什么？ 2. 四边形的内角和和外角和各是多少度？ 3.四边形有什么性质？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：一题多解——证明四边形内角和 任务：已知四边形ABCD，请用至少3种不同方法证明其内角和为360°. 要求：写出每种方法的推理过程，清晰呈现每一步依据. 提示：可尝试：1.连接一条对角线，将四边形分为两个三角形； 2.在四边形内部任取一点，连接各顶点； 3在四边形的一条边上任取一点，连接另外两个顶点； 4在四边形外部任取一点，连接各顶点. 学科网（北京）股份有限公司 $