8.3 简单几何体的表面积与体积 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦简单几何体的表面积与体积核心知识点，系统梳理棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积公式，通过“公式梳理-基础应用-组合体综合-球的切接”递进结构，搭建从概念理解到复杂问题解决的学习支架。 该资料融入祖暅原理推导等逻辑推理过程培养数学思维，结合阿基米德多面体、玉琮等实例引导用数学眼光观察现实，题型分层设计助力学生用数学语言表达问题。课中辅助教师系统授课，课后通过例题变式帮助学生查漏补缺。

§8.3 简单几何体的表面积与体积 目录 题型1：简单几何体的表面积 5 题型2：几何体的体积问题 11 题型3：组合体的表面积和体积 15 题型4：球的切接问题 21 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 侧面展开图 表面积 （多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和） 体积 棱柱 侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长. V棱柱=Sh (S为棱柱的底面积，h为棱柱的高) 棱锥 侧面展开图由若干个三角形组成. (S为棱锥的底面面积，h为棱锥的高) 棱台 侧面展开图由若干个梯形组成. (分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高) 提醒 (1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离. (2) 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. (3) 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 2. 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 展开图 侧面积 表面积 体积 圆柱 (是底面半径，是高且) 圆锥 (是底面半径，是高且) 圆台 (分别为上、下底面面积) (分别是上、下底面半径，是高且) 球 提醒 (1)柱体、锥体、台体的体积之间的关系 (2) 利用球的表面积求球的体积的方法 如图，把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”.当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径.设是其中一个“小锥体”，它的体积是.由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积 3. 球的截面的性质 用一个平面去截一个球，得到的截面总是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线垂直于截面. 设球的球心为，半径为，截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离为.则三者满足勾股关系：. 4. 祖暅（gèng）原理 体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，祖暅原理用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.下面我们用祖暅原理推导球的体积公式. 根据祖暅原理，可知半球与圆柱体中间挖去一个圆锥所得几何体的体积相等. 所以. 所以， 所以. 题型1：简单几何体的表面积 【例1.1.】 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据侧面积相等列方程求得底面半径，进而求得圆锥的表面积. 【详解】设两者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得， 故圆锥的表面积. 故选：C 【例1.2.】 已知正六棱锥底边，体积为则该正六棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】利用正六棱锥的体积公式可求高，再用勾股定理求出斜高，从而可求正六棱锥的表面积即可. 【详解】    由边长为的正六边形的面积为：， 则正六棱锥的体积为：，可得高， 再取边的中点，可得，， 由，由勾股定理可得：， 所以侧面的面积为：， 即该正六棱锥的表面积为， 故选：B. 【例1.3.】 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，圆锥的高分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】利用圆锥侧面积公式求解圆心角的关系，由圆锥侧面展开圆心角公式推导出底面半径的关系，进而根据圆锥高公式分别表示和，再作比化简求解. 【详解】设两个圆锥的母线长均为，侧面展开图圆心角分别为、，底面半径分别为、， 高分别为、，根据题意：，. 由圆锥侧面积公式为，母线长相等， 可得侧面积比等于圆心角比：， 由，可得：，. 因为圆锥侧面展开的弧长等于底面周长，即，整理得， 代入得：. 因为圆锥的高，所以， ，所以. 【例1.4.】 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱台表面积的有关计算 【分析】构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积. 【详解】由题意，设上下底面中心分别为，则， 分别取中点，则为梯形的高， 由可得，， 作，垂足为， 则，， 则， 则. 故选：B. 【例1.5.】 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算 【分析】设圆台的上下底面圆的半径分别为，根据题意，求得，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】设圆台较小底面圆的半径为，较大的底面圆的半径为， 因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍， 可得，所以， 又因为圆台的侧面积为，可得，解得. 故选：A. 【例1.6.】 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 【例1.7.】 已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 【答案】 9 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、圆柱表面积的有关计算 【分析】设出未知数，表达出圆柱的侧面积，配方得到最大值，得到答案. 【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm， 则圆柱的侧面积为， 故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为. 故答案为：9， 【例1.8.】 “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正四面体的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去四个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为_________．      【答案】 【难度】0.65 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】该多面体的棱长为2，且表面由四个正三角形和四个正六边形组成，结合表面积公式进行计算即可求解. 【详解】正四面体的棱长为6，从各棱的三等分点处截得多面体， 则该多面体的棱长为2，且表面由四个正三角形和四个正六边形组成， 故该多面体的表面积为， 故答案为：． 【例1.9.】 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】棱锥表面积的有关计算 【分析】由题意得出四棱锥的底面是边长为的正方形，四个侧面都是边长为的等边三角形，进一步结合棱锥的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示：    由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积， 设为中点，为正方形中心，则，， 显然，所以正四棱锥的侧棱，同理， 又，所以正四棱锥的四个侧面都是边长为的等边三角形， 设四棱锥的表面积是， 则. 故答案为：. 题型2：几何体的体积问题 【例2.1.】 记半径为的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.69 【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】代入球体和圆锥的体积、表面积公式，计算即可. 【详解】解：由题意可得：，， 设圆锥的高为，母线长为，则， 所以，. 因为，则，所以， 由，则，所以， 因此，. 【例2.2.】 一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】利用扇形的面积公式得到相似比，再根据相似几何体的体积之比等于相似比的立方可推出小圆锥与原圆锥的体积比，从而求得上下两个几何体的体积之比. 【详解】一个圆锥被平行于底面的平面所截得到两个几何体：圆锥与圆台，如图， 设大圆锥侧面展开扇形的圆心角为，大圆锥的侧面积与体积分别为， 小圆锥的侧面积与体积分别为，圆台的体积为 由题意可得, 因为相似几何体的体积之比等于相似比的立方， 所以，则， 所以上下两个几何体的体积之比为. 故选：D 【例2.3.】 已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【详解】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积与圆柱的体积比为. 【例2.4.】 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可． 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 【例2.5.】 一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】分别求出球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案. 【详解】由题意可知：长方体的体积为，球的体积为 则，整理可得，所以. 【例2.6.】 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】借助等体积法及三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】， 则. 题型3：组合体的表面积和体积 【例3.1.】 （多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确； 对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为， 因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误； 对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确． 故选：ABD 【例3.2.】 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【详解】正三棱柱所有棱长为，底面正的面积，高，由题意得：，，. 如图连接，将几何体分为和， ， 梯形的面积. 四棱锥以为底面的高等于三角形的高，所以. 几何体体积为. 【例3.3.】 如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、柱体体积的有关计算 【分析】设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r，弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h，根据已知得出内切球的半径，求出棱柱的高，再利用，进而利用体积公式求解即可. 【详解】如图，设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC切于点O，半径为r， 弧BC所在圆的圆心为，曲面直三棱柱的高为h， 因为，，则，， 因为，所以， 设内切球与圆弧BC所在曲面相切于点N， 则，则，，， 所以， 所以．    故选：C 【例3.4.】 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】根据几何体的特点，结合长方体，圆柱体体积的计算公式，求解即可. 【详解】圆筒体积为底面半径2cm，高度为6cm的圆柱体的体积减去底面半径为cm，高度为6cm的圆柱体的体积， 故其体积； 中间部分的体积为棱长为4 cm的正方体的体积减去底面半径为2cm，高为4 cm的圆柱体的体积， 故其体积； 故玉琮的体积. 【例3.5.】 如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求组合体的体积、锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）设是的中点，连接，进而可证明，从而可计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【详解】（1）设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积.    （2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以.    又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 【例3.6.】 《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． (1)求该组合体的体积； (2)若点为线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】（1）设刍童的高为，利用几何体的体积公式，转化求解即可； （2）根据两点之间线段最短，当三点共线时取得最小值，即的长. 【详解】（1）设棱台的高为， 由，得， 记上底面的面积为，下底面的面积为， 则， 所以， 又， 所以该组合体的体积为； （2）将绕着直线旋转至平面， 当三点共线时，取得最小值． 因为， 所以在中， 所以的最小值为． 题型4：球的切接问题 【例4.1.】 棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长求解. 【详解】因为正方体棱长为2，所以正方体的体对角线长为， 所以正方体的外接球的半径为， 所以该球的体积为. 【例4.2.】 “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体，若，则此半正多面体外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积. 【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，则， 所以正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等， 则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故选：B. 【例4.3.】 在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】设长方体外接球的半径为． 因为，所以，该长方体外接球的体积． 【例4.4.】 在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意得到三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，再求长方体外接球的体积即可. 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 故选：B. 【例4.5.】 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.66 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出轴截面，利用等面积结合勾股定理求出母线长即可得解. 【详解】作出圆锥的轴截面，如图，作出符合题意的图形， 记内切球的半径为，圆锥的母线长为，高为， 由题知，解得， 由三角形面积公式可得，即①， 又②，联立①②解得， 故圆锥的侧面积. 【例4.6.】 已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先利用圆台体积公式求出高，再根据外接球球心在上下底面圆心连线上，由球心到两底面圆周的距离相等列方程求出外接球半径，代入球的体积公式计算结果. 【详解】设该圆台的上､下底面的圆心分别为，高为，则圆台的体积为 ，求解可得， 设该圆台外接球的球心为，则在上，设，所以， 设该圆台外接球的半径为，所以，求解可得， 所以该圆台外接球的体积为. 【例4.7.】 已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.64 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设内切球的半径为，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，利用圆台的侧面积公式计算得，求得，结合圆台表面积计算公式计算即可. 【详解】如图，设内切球的半径为， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的母线长， 又，所以，解得， 又，所以， 所以，，圆台的表面积为． 【例4.8.】 我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不计），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、圆柱表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】利用几何关系列方程，结合基本不等式求解即可. 【详解】 设圆柱的高为， 则，故 设圆柱的外接球半径为，则， 故， 当且仅当，时，等号成立， 故当时，圆柱的外接球表面积取得最小值. 【例4.9.】 设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、正弦定理求外接圆半径 【分析】由三角形面积公式求得，由正弦定理求得底面三角形外接圆半径，设分别是和的外接圆圆心，则的中点是三棱柱的外接球球心，求球半径后可得表面积． 【详解】设，因为， 所以，， 而，所以(于是是外接圆的半径)，，即， 如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心， ， 所以外接球为. 于是球的表面积为. 故选：C. 【例4.10.】 正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（    ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正棱台及其有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，如图， ，为等边三角形，边长分别为3和4， 所以，，过点，分别作于点，于点， 故，故，侧棱长是，即， 由勾股定理得， 即棱台的高为1，设该棱台的外接球球心到下底面的距离为（）， 当球心在棱台内时，即，则， 由勾股定理得，则，解得（舍）， 当球心在棱台外时，同理可得，解得， 故棱台的外接球半径为；故选：B. 【例4.11.】 已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正棱台及其有关计算、台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据条件及三棱台的体积公式，可得正三棱台的高，根据正三棱台的性质及勾股定理，可得外接球的球心到下底面的距离，进而可得外接球的半径R，代入体积公式，即可得答案. 【详解】因为正三棱台的上、下底面边长分别为、， 所以上底面面积，下底面面积， 设正三棱台的高为h，则体积， 则，解得， 上底面的中心到顶点A的距离， 下底面的中心到顶点D的距离， 因为，所以外接球球心O位于底面DEF的下方， 设外接球球心到下底面的距离为，则到上底面的距离为，设外接球的半径为， 则，即，解得，则， 所以外接球的体积 【例4.12.】 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】正棱台及其有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取，的中点分别为，，通过计算分别求得，通过比较可知，设外接球的球心到平面的距离为，通过勾股定理计算求得、，即可得出结果. 【详解】如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，易知为此正四棱台的高， ，则，所以，， 过点作的垂线，垂足为， 则， ，则，， 故能将正四棱台罩住的半球的最小半径． 设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，则，解得，，故． 故选：D    【例4.13.】 正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱台的结构特征和分类、正棱台及其有关计算、球的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为6和12， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，，，为侧面等腰梯形上下底边中点，则，，， 设内切球半径为，所以正三棱台的高.故选：B. 【例4.14.】 若正四棱锥体积为，内接于球，且底面过球心，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】因为正四棱锥内接于球，且底面过球心， 设球的半径为，所以， 所以， 于是正四棱锥的体积，解得， 所以正四棱锥的表面积， 设正四棱锥内切球的半径为，则，故选：A. 【例4.15.】 已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，，，，则三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【详解】由已知，设球与棱，，的切点分别为、、， 则，设， 因为，，，则，，， 又，所以，解得， 则，， 所以三角形的周长为.故选：D. 【例4.16.】 如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】组合体的切接问题、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及体积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 【例4.17.】 已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径，再求出正三棱锥的外接球的半径为，即可求出结果． 【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：    则圆柱的高为，底面圆半径为， 设圆柱的外接球半径为，则， ，解得，此时，， 设正三棱锥的外接球的半径为，则球心到底面距离为， ，由勾股定理得，解得，故. 故选：A. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.3 简单几何体的表面积与体积 目录 题型1：简单几何体的表面积 5 题型2：几何体的体积问题 6 题型3：组合体的表面积和体积 7 题型4：球的切接问题 9 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 侧面展开图 表面积 （多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和） 体积 棱柱 侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长. V棱柱=Sh (S为棱柱的底面积，h为棱柱的高) 棱锥 侧面展开图由若干个三角形组成. (S为棱锥的底面面积，h为棱锥的高) 棱台 侧面展开图由若干个梯形组成. (分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高) 提醒 (1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离. (2) 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. (3) 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 2. 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 展开图 侧面积 表面积 体积 圆柱 (是底面半径，是高且) 圆锥 (是底面半径，是高且) 圆台 (分别为上、下底面面积) (分别是上、下底面半径，是高且) 球 提醒 (1)柱体、锥体、台体的体积之间的关系 (2) 利用球的表面积求球的体积的方法 如图，把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”.当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径.设是其中一个“小锥体”，它的体积是.由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积 3. 球的截面的性质 用一个平面去截一个球，得到的截面总是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线垂直于截面. 设球的球心为，半径为，截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离为.则三者满足勾股关系：. 4. 祖暅（gèng）原理 体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，祖暅原理用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.下面我们用祖暅原理推导球的体积公式. 根据祖暅原理，可知半球与圆柱体中间挖去一个圆锥所得几何体的体积相等. 所以. 所以， 所以. 题型1：简单几何体的表面积 【例1.1.】 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知正六棱锥底边，体积为则该正六棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，圆锥的高分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C．18 D． 【例1.5.】 圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【例1.6.】 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 【例1.8.】 “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．某些阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到．如图，正四面体的棱长为6，取各条棱的三等分点，从各棱的三等分点处截去四个角后可得到一个阿基米德多面体，则该多面体的表面积为_________．      【例1.9.】 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点（如图），则四棱锥的表面积是__________.    题型2：几何体的体积问题 【例2.1.】 记半径为的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 一个长，宽，高分别为3cm，4cm，5cm的水槽中装有的水，现放入一个半径为R的木球，若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出（忽略木球吸水的影响），则木球的半径R等于（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 题型3：组合体的表面积和体积 【例3.1.】 （多选）如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【例3.2.】 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，点，，分别在棱，，上，其中，，，则几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 如图，曲面直三棱柱中，，，且直线AB，AC分别与圆弧BC相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（   ）    A． B． C． D． 【例3.4.】 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长3 cm，外径长4 cm，筒高6 cm，中部是棱长为4 cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________； 【例3.5.】 如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．    (1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积． 【例3.6.】 《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． (1)求该组合体的体积； (2)若点为线段上的动点，求的最小值． 题型4：球的切接问题 【例4.1.】 棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体，若，则此半正多面体外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【例4.3.】 在长方体中，已知，则长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 已知圆台的上、下底面半径分别为，，半径为2的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【例4.8.】 我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师要求学生使用硬纸片制作一个表面积为的圆柱（硬纸片的厚度不计），记该圆柱的底面半径为，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，_____. 【例4.9.】 设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【例4.10.】 正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（    ） A．3 B．5 C． D．6 【例4.11.】 已知一正三棱台的上、下底面边长分别为、，若该正三棱台的体积为，则它的外接球的体积为_________． 【例4.12.】 在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（    ） A． B．1 C． D． 【例4.13.】 正三棱台的上、下底边长分别为6，12，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【例4.14.】 若正四棱锥体积为，内接于球，且底面过球心，则该四棱锥内切球的半径为（    ） A． B．4 C． D．2 【例4.15.】 已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，，，，则三角形的周长为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【例4.16.】 如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【例4.17.】 已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $