21.2.2平行四边形的判定 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.2.2平行四边形的判定 素养目标 1.探索并证明平行四边形的判定定理； 2.能熟练运用平行四边形的判定定理进行计算和证明； 重难点 3.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会探究图形判定的一般思路. 重点 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 复习导入 平行四边形的定义： 平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质 平行四边形的性质： 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对角相等； 平行四边形的性质分别阐述了平行四边形边、角、对角线之间的关系. 探究新知 反过来，根据平行四边形的边、角、对角线之间的关系，你能得出平行四边形的判定方法吗？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？ 知识点1：平行四边形的对角线互相平分 探究 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O，OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系？ A B C D O 观察 猜测 试验 度量法 剪拼法 OA = OC， OB = OD 证明 合作探究 度量法 A B C D O 5.5 cm 5.5 cm 7.5 cm 7.5 cm 剪拼法 A B C D ( C ) ( A ) ( D ) OA = OC， OB = OD OA = OC， OB = OD O 动手操作 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD. A C D B O 3 2 4 1 分析： □ABCD AD = BC， AD∥BC ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 △AOD≌△COB OA = OC，OB = OD 证一证 平行四边形的性质 平行四边形的对角线互相平分． 几何语言表述： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. A B C D O 归纳总结 例1 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O. 过点 O 作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F. 求证：OE = OF. A B C D F E O 分析： 求证 OE = OF 求证 △DOF≌△BOE □ABCD OD = OB， AB∥CD ∠ODF = ∠OBE， ∠DFO = ∠BEO 典例精析 知识点一 平行四边形的性质与判定的综合运用 例2 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？ 解：BF＝CE．理由如下： ∵DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形FECD是平行四边形， ∴∠FDB=∠DBE，∴FD=CE. ∵BD平分∠ABC，∴∠FBD=∠EBD， ∴∠FBD=∠FDB.∴BF=FD.∴BF＝CE. 例3 如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形. 证明：由题意得∠DAE=∠D′AE， ∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E， ∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′， ∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA， ∴∠DAD′=∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′. 探究新知 已知： 在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA=OC，OB=OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. O B A C D 证明：∵ OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴△AOB ≌△COD， ∴ AB//CD， 同理可得 AD//BC， ∴∠OAB=∠OCD ， 还有其他方法吗？ 两组对边分别平行 探究新知 O B A C D 证明：∵ OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ △AOB≌△COD， 同理可得 AD=CB， ∴ AB=CD， 两组对边分别相等 ∵ 在△ABC中，DE是中位线, A B C D E   定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.   如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D O 证明：∵OA = OC，OB = OD，∠AOB = ∠COD， ∴△AOB ≌△COD. （SAS） ∴∠OAB = ∠OCD. ∴AB∥CD.（内错角相等，两直线平行） 同理 AD∥BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 猜想： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 归纳小结 几何语言： 平行四边形的判定方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵OA=OC，OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 D C A B O 例3　如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB=CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明　在Rt△ABC和Rt△ACD中， ∵AC=CA，AB=CD， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)， ∴BC=DA， 又∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 反思感悟 利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，证明边相等，可通过证明三角形全等解决. 9 2. 如图，AB = DC = EF，AD = BC，DE = CF . 图中有哪些 互相平行的线段？ 先判定平行四边形，再找平行的线段. 解：AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF. 【选自教材第61页 练习 第2题】 3. 如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF . 求证：四边形 DEBF 是平行四边形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC，OB = OD. ∵E，F 分别是 OA，OC 的中点， ∴OE = OA，OF = OC. ∴OE = OF. ∴四边形 DEBF 是平行四边形. 【选自教材第61页 练习 第3题】 练习6 如图，已知 ， ．求证：四边形 是平行四边形． 解：∵ ，∴ ， ∴ 是直角三角形， ， ∵ ，∴ ， 由勾股定理得， ，∴ ， ∴四边形 是平行四边形． 练习7 如图，在四边形 中， 相交于点O， ， ，求证：四边形 是平行四边形. 证明： ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形. 练习5 在 中， ， ， ，D，E，F分别是 ， ， 的中点，则 的周长为__________. 解析： EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，D，E，F分别是 ， ， 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 的周长 ，故答案为：9. $