20.2.2 勾股定理及其逆定理的综合应用教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级下册

2026-05-01

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普通

第2 课时勾股定理及其逆定理的综合应用

教学设计

教学目标
课题	20.2第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用	授课人
素养目标	1.理解勾股定理与其逆定理的区别和联系. 2.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识.
教学重点	灵活运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
教学难点	割补思想、转化思想和数形结合思想的应用.
教学活动
教学步骤	师生活动
活动一：创设情境，导入新课	【情境导入】如图,已知小岛B 与港口A 相距5 n mile,一艘船 C 位于港口A 正东方向3 n mile处,与小岛B 相距4 n mile,根据这些条件能知道小岛B在船C的哪个方向吗?			【教学建议】指定学生回答，提醒学生E，N分别表示东、北两个方向.
设计意图
通过实际情境，激发学生的学习兴趣.
活动二：问题引入，自主探究	探究点1 勾股定理的逆定理的实际应用例1 (教材P36例2)如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行12n mile.它们离开港口 1.5 h后分别位于点 Q,R 处,且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行? 分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了. 解:根据题意,PQ=16×1.5=24,PR=12×1.5=18,QR=30. 因为即 ,所以∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°. 因此，即“海天”号沿西北方向航行. 【对应训练】教材P37练习第1,2题.			【教学建议】告诉学生可先根据已知条件计算出各边长，再利用勾股定理及其逆定理判断三角形是否为直角三角形，最后解答问题.
设计意图
培养学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题的能力.
设计意图	探究点2 勾股定理及其逆定理的综合应用勾股定理与其逆定理的区别和联系是什么? 答：区别： (1)勾股定理是已知直角三角形，得出三边之间的关系；勾股定理的逆定理是已知三角形的三边关系，得出直角三角形； (2)勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关例2 (教材P37 例3)如图,在四边形ABCD 中,AB .如果 AC⊥BC,判断 AC与AD 是否也垂直，并说明理由.			【教学建议】 (1)指定学生代表回答，教师总结勾股定理及其逆定理的区别和联系. (2)提醒学生：已知直角三角形时，要联想到应用勾股定理求长度；已知三角形的三边长时，要联想到应用勾股定理的逆定理找直角.注意直角的邻补角也是直角.
将勾股定理及其逆定理结合起来考查，提升对知识的综合运用能力.

38 名师教学设计

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教学步骤	师生活动
	分析：若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断AC 是否垂直于AD. 解:因为 AC⊥BC,所以∠ACB=90°. 在 Rt△ABC 中, .所以 AC=4. 在△ACD 中, 所以因此△ACD 是直角三角形,即 AC⊥AD. 【对应训练】教材P37练习第3题.
活动三：重点突破，提升探究	例3 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,求∠BAD 的度数. 解:如图,连接 AC. ∵∠B=90°,AB=BC=2, ∵ ∴△ACD 是直角三角形,且∠CAD=90°. ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=45°+90°=135°. 【对应训练】如图，正方形ABCD 是由9个边长为1 的小正方形组成的，点E，F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上，连接AE,AF,求∠EAF 的度数. 解：如图，连接EF，则 A ∴△AEF 是直角三角形,且∠AEF=90°. 又AE=EF,∴∠EAF=∠EFA=45°.	【教学建议】提示学生：(1)已知直角时，要构造相应的直角三角形并利用勾股定理求边长；(2)仅知道三角形的边长求角度时，所求角度一般比较特殊，要联想到直角三角形、等腰三角形等；(3)网格中求角度，一般先构造出相应的三角形，再利用勾股定理求各边长，然后利用勾股定理的逆定理找直角，也可能涉及“等边对等角”.
设计意图
将勾股定理及其逆定理与其他几何知识综合起来考查，培养对各知识点特征的敏感度，使知识的综合运用能力得到升华.
活动四：随堂训练，课堂总结	【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：不用量角器，怎么检验一个直角是否标准?勾股定理及其逆定理的区别和联系是什么? 【知识结构】【作业布置】 1.教材 P38习题20.2第3,4,5题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计	20.2勾股定理的逆定理及其应用第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 1.勾股定理的逆定理的应用. 2.勾股定理及其逆定理的区别和联系. 3.勾股定理及其逆定理的综合应用.
教学反思	本节课的重点在于利用勾股定理的逆定理解决实际问题，教学中要注意引导学生将实际问题抽象为数学问题.难点在于让学生将勾股定理及其逆定理结合起来并灵活运用，因此要让学生清楚勾股定理及其逆定理的区别和联系，培养出“知直角，求边长；知三边，找直角”的意识.

八年级数学下册 39

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