20.2勾股定理的逆定理及其应用（2）（教学设计） 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

课程基本信息

主备人

温凤娥

课型

新授课

学科

数学

年级

八年级

学段

下学期

版本章节

人教版八年级下册第二十章第四节

教学目标

1.能运用勾股定理及其逆定理解决线段垂直、方位角、不规则图形面积计算等实际问题.发展学生的应用意识和推理能力。

2.感受数学在古代航海、现代科技中的应用价值，增强民族自豪感，培养主动探究、合作交流的学习习惯.。

教学重难点

重点：勾股定理及其逆定理在综合场景（坐标系、多图形组合）中的解题步骤、勾股定理与逆定理的双向推理。

难点：复杂实际问题中直角三角形模型的构建（如何提取三边关键数据）。

学情分析

学生已掌握勾股定理，能计算三角形边长，具备一定的几何直观和简单的逻辑推理能力，对网格图形、直角三角形的性质有初步认识.但是难以快速识别需要用逆定理的场景，在复杂图形中(如不规则四边形)，不会主动构造直角三角形，三是对“数”(平方关系)与“形”(直角三角形)的对应关系理解不够深刻.

初中生正处于从具象思维向抽象思维过渡的阶段，对实际情境、动手操作的兴趣较高，但抽象推理能力有待提升，需要通过实例和变式训练来深化理解.

教学准备

1. 教具：三角板、多媒体课件。

2. 素材：情境导入图片、例题、课堂练习题。

教学过程

五、教学过程设计

教师活动与任务设计

学生学习活动与任务解决

设计意图或达成目标

核心任务一

环节一

（一）复习导入

1．勾股定理：

如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．

2．勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

我们已经学会用勾股定理解决实际问题，师：那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？

教师板书勾股定理内容

学生口答勾股定理内容

快速回顾两个核心定理的内容，明确二者的“性质与判定”关系，为综合应用奠定基础；以“解决实际问题”引出本节课主题，直接点明学习目标，自然过渡到例题探究。

环节二

（二）探究新知

师生活动：教师课件呈现航海问题，引导学生梳理已知条件与所求方向；

【例1（教材P36例题）】 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航” 号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里． 如果知道“远航” 号沿东北方向航行，能知道“海天” 号沿哪个方向航行吗？

师生分析： 在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.

解：根据题意，

PQ＝16×1.5＝24，

PR＝12×1.5＝18 ，

QR＝30 ．

∵ 242＋182＝302，

即PQ2＋PR2＝QR2， ∴ ∠QPR＝90°，

由“远航”号沿东北方向航行可知∠1＝45°．

因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向

学生分组讨论，计算边长并验证勾股定理逆定理，推导角度与航向；

学生讨论以下问题：

(1)已知哪些条件？

(2)需要解决的问题是什么？

学生口述思路，教师示范步骤.

通过航海实际问题，让学生经历“建模——验证——推理”的过程，深化对勾股定理逆定理的理解，提升运用数学解决实际问题的能力.

航行．

师生共同总结解题步骤.

解决实际问题的步骤：

1.标注有用信息，明确已知和所求；

2.构建几何模型——从整体到局部；

3.应用数学知识求解.

【针对练习】（教材P37练习）

1.  A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向?

解：根据题意，AB=12，BC=5，AC=13.

因为AB2+BC2=AC2，即122+52=132，

 所以∠B=90°.

 ∴C地在B地的正北方向.

学生独立完成，模仿例题分析问题，书写步骤，投屏展示，师生共同评价，及时纠错.

是例 2 的变式，强化“方位判断”的解题思路；典例 2 强化“四边形分割为直角三角形” 的转化方法，巩固面积计算的技巧。通过同类变式训练，帮助学生固化解题思路，提升知识迁移能力。

核心任务二

环节一

探究勾股定理及其逆定理的综合应用

师生活动：教师课件呈现问题，引导学生梳理已知条件与所求面积；

【例2（教材P37例题）】 

如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD= ,DC= .如果AC⊥BC，判断AC与AD是否也垂直，并说明理由，

学生先在Rt△ABC 中用勾股定理求AC，再用逆定理验证△ACD是否为直角三角形；

通过四边形的综合应用，让学生体会“拆分图形、公共边搭桥、定理联用”的思路，深化勾股定理与逆定理的综合应用能力，提升复杂图形的分析与转化能力.