精品解析：广东广州市白云区六中实验中学2025-2026学年下学期3月九年级数学综合练习

2025-2026初三下学期3月数学综合练习 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列数是负无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 成语是中国语言文化的缩影，蕴含着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 刻舟求剑 4. 如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 5，9，16 D. 6，12，15 5. 在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 6. 2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 136，136 B. 138，136 C. 136，129 D. 136，138 7. 如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB、CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，，P为直径CD上一动点，若⊙O的直径AB=2，则△PEB周长的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. +1 10. 在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当且时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为______． 12. 如图，，，，则的长为______． 13. 要使代数式有意义，则x取值范围为_______________ 14. 如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 15. 二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 16. 在中，，，的内切圆半径r． （1）设直角边，则r的值为______． （2）r的最大值为_______． 三、解答题 17. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 18. 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 （1）【实验观察】表中是实验记录的圆柱体容器液面高度（单位：）与时间（单位：）的数据：在图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； （2）【探索发现】请你根据表中的数据及图象，用所学过的①一次函数；②二次函数；③反比例函数中的_____（填序号），确定与之间的函数表达式为_____． （3）【结论应用】如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到时是什么时刻． 19. 先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 20. 五一假期，小红与家人计划一同前往榕江观看“村超”．为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估、她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）、三个酒店的得分如表所示： 酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件 甲 7 7 9 8 乙 8 6 7 9 丙 7 7 7 8 （1）如果小红认为四项同等重要，按的比确定最终得分，通过计算回答：小红会选择哪家酒店； （2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答：小红会选择哪家酒店． 21. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 22. 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 24. 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 25. 【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． （1）【初探结论】如图1，设，则纸的宽______（用a表示） （2）【作图再探】如图1，连接，过点E作交于点G． 证明：点G为边的中点； （3）【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； ②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026初三下学期3月数学综合练习 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列数是负无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】负无理数是小于0的无理数，结合有理数、无理数的概念判断各选项即可． 【详解】解：A、是正分数，属于有理数，不符合要求； B、是正无理数，不符合要求； C、是有理数，既不是正数也不是负数，不符合要求； D、，且是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，因此是负无理数，符合要求． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，A计算错误； B、与不是同类项，B计算错误； C、，C计算错误； D、，计算正确． 3. 成语是中国语言文化的缩影，蕴含着深厚丰富的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 刻舟求剑 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，理解其定义是解题的关键． 根据随机事件的定义逐项判断即可． 【详解】解： A、水涨船高：水位上涨，船必然升高，是必然事件，不属于随机事件，故该选项不合题意； B、旭日东升：太阳从东边升起是必然事件，不属于随机事件，故该选项不合题意； C、守株待兔：兔子撞上树桩是偶然的，可能发生也可能不发生，是随机事件，故该选项符合题意； D、刻舟求剑：剑不会因刻记号而找回，是不可能事件或必然不发生事件，不属于随机事件，故该选项不合题意． 故选：C． 4. 如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 5，9，16 D. 6，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， A项：，不满足要求，不符合题意； B项：，满足要求，符合题意； C项：，不满足要求，不符合题意； D项：，不满足要求，不符合题意， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，直线经过的象限有（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴图象与y轴的正半轴相交， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴图象经过第一、二、四象限． 故选B． 6. 2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某专卖店“滨滨”和“妮妮”套盒纪念品连续六天的销售量（单位：套）分别为：，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 136，136 B. 138，136 C. 136，129 D. 136，138 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可． 【详解】解：数据中136出现2次，其他数各出现1次，故众数为136． 将数据从小到大排序：129，136，136，140，154，180． 数据个数为6（偶数），中位数为第3、4个数的平均值，即． 综上，众数136，中位数138， 故选D． 7. 如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：∵三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等， ∴为使比赛公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 8. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示，     设小路宽为x米， 根据题意得：， 故选：C． 9. 如图，AB、CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，，P为直径CD上一动点，若⊙O的直径AB=2，则△PEB周长的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. +1 【答案】D 【解析】 【分析】连接AE交CD于P，则△PEB周长的最小值=AE+BE，根据已知条件得到∠A=30°，解直角三角形得到BE=1，AE=，于是得到结论． 【详解】解：连接AE交CD于P， 则△PEB周长的最小值=AE+BE， ∵AB、CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD， , ∴∠A=30°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=2， ∴BE=1，AE=， ∴△PEB周长的最小值=+1， 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短距离问题，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当且时，则 C. 当时，则 D. 当时，则 【答案】B 【解析】 【分析】先整理抛物线解析式，得到抛物线的开口方向、对称轴、增减性以及与x轴交点坐标，再逐项分析判断即可． 【详解】解：，且， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 令，则， 解得：，， 与轴的交点坐标为和． 当时，；当时，；当时，； A、当时，则，且，则，那么或，选项错误； B、当时，则，且，则，那么选项正确； C、当时，由随的增大而减小可得，选项错误； D、当时，由随的增大而增大可得，选项错误； 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为______． 【答案】##112度 【解析】 【分析】观察图形可知、与共同组成一个平角，由此求出的度数，再根据对顶角相等的性质，直接得出的度数． 【详解】解：如图，     ，， ， ． 12. 如图，，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【详解】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 解：，， ， ， ， ． 13. 要使代数式有意义，则x取值范围为_______________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需同时考虑二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵代数式 有意义， ∴且， 即 且； 故答案为：且． 14. 如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】当P在B处时，最长为4；当时，最短，利用列方程计算即可． 【详解】解：∵，， ∴当P在B处时，最长， 此时； 当时，最短，如图： ∵， ∴ ； ∴． 15. 二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据二次函数的顶点坐标公式求出该二次函数的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线，将已知点代入二次函数解析式，联立方程组求解即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点为， 又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上， ∴， 整理得： 解得：或． 16. 在中，，，的内切圆半径r． （1）设直角边，则r的值为______． （2）r的最大值为_______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出另一条直角边，再结合直角三角形内切圆半径公式计算； （2）设、，由勾股定理得，利用面积法推导出与的关系，再利用完全平方公式的非负性求的最大值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 设内切圆半径为，由面积关系可得： ， 即 解得； （2）解：设、， 由勾股定理得：， ， 由完全平方公式的非负性得：， 即，可得， ， ， ，当且仅当时，等号成立， ， 即的最大值为． 三、解答题 17. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 18. 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 （1）【实验观察】表中是实验记录的圆柱体容器液面高度（单位：）与时间（单位：）的数据：在图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； （2）【探索发现】请你根据表中的数据及图象，用所学过的①一次函数；②二次函数；③反比例函数中的_____（填序号），确定与之间的函数表达式为_____． （3）【结论应用】如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到时是什么时刻． 【答案】（1）见解析 （2）①； （3）12：30 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据函数图象和表格中的数据可知该函数为一次函数，再利用待定系数法求解即可； （3）求出时，x的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由函数图象和表格中的数据可知，该函数为一次函数， 设与之间的函数表达式为，则， ∴， ∴与之间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴当圆柱体容器液面高度达到时，需要， ∵本次实验记录的开始时间是上午， ∴当圆柱体容器液面高度达到时，时间为． 19. 先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为，时，值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入 原式 ． 20. 五一假期，小红与家人计划一同前往榕江观看“村超”．为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估、她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）、三个酒店的得分如表所示： 酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件 甲 7 7 9 8 乙 8 6 7 9 丙 7 7 7 8 （1）如果小红认为四项同等重要，按的比确定最终得分，通过计算回答：小红会选择哪家酒店； （2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答：小红会选择哪家酒店． 【答案】（1）甲 （2）乙 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算方法分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分即可． 【小问1详解】 解： 四项同等重要，按的比确定最终得分， 酒店甲得分为：， 酒店乙得分为：， 酒店丙得分为：． ， 小红会选择酒店甲； 【小问2详解】 解：酒店甲得分为：， 酒店乙得分为：， 酒店丙得分为：． ， 小红会选择酒店乙． 21. 小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为： （2） 【解析】 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 22. 扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺，扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价类别 成本价（元/件） 销售价（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件，且以相同的销售价全部售完这批布料，若此次购进甲种布料的数量不超过第一次乙种布料的数量，设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元，第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件 （2）第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元 【解析】 【分析】分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； 根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围， 确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件， 根据题意得：， 解得 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． 【小问2详解】 解：设第二次购进甲种布料m件，则乙种布料件，根据题意得： ， 随m的增大而增大， ， 当时，W有最大值， 此时件 答：第二次购进甲种布料55件、乙种布料45件全部售完后获得的利润最大，最大利润是3550元． 23. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，于F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）7 【解析】 【分析】（1）连接，，求出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）求出、，推出四边形和四边形是矩形，推出，，求出，即可求出答案． 【小问1详解】 连接，， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 连接交于M，过O作于N， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 即， 同理四边形是矩形， ∴， ∵为半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为R， 则在中，由勾股定理得：， 解得： ， 则， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，添加合适的辅助线解答是解题的关键． 24. 《观景拱桥的设计》 项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示： 任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点，（长度单位：）．求出抛物线的解析式． 任务2 利用模型 （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（、分别在抛物线的左右侧上）．并铺设斜面．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点与拱桥端点的距离． 任务3 分析计算 （3）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图所示，光线交汇点在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度） 【答案】（1）；（2）；（3）米 【解析】 【分析】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键． （1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，进而表示出，的长，由， 列方程求解可得，的长，进而根据线段之间的和差关系可求得的长； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示，根据平行可设直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式，根据相切结合根的判别式列式计算，即可求得直线的解析式，进而可得点的坐标，即可求得的长，根据射灯射出的光线与地面成角，可得，解直角三角形即可求得的长． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，， 根据对称性可得， 设点的坐标为， 根据题意得，， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ，， ， ； （3）作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，如图所示， ，光线所在的直线解析式为， 设直线的解析式为， 联立， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得，                 直线的解析式为， 令，则， ， ，            射灯射出的光线与地面成角， ， ，， ，        即光线与抛物线之间的距离为米． 25. 【阅读资料】纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿垂直的对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸……，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． （1）【初探结论】如图1，设，则纸的宽______（用a表示） （2）【作图再探】如图1，连接，过点E作交于点G． 证明：点G为边的中点； （3）【拓展应用】在（1）的条件下， ①如图2，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．请写出并证明线段与的关系； ②如图3，若点E为边上的一动点，沿折叠纸片，使点A落在P处，连接，，求的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①，；②的最小值为． 【解析】 【分析】（1）设．利用矩形的性质得出，，再根据矩形矩形的性质得出，根据相似多边形的性质得出，进一步可得出答案； （2）根据矩形的性质以及直角三角形两锐角互余结合相似三角形的判定方法证明，由相似三角形的性质得出，得出，进一步可说明点G为边的中点； （3）①设，在中，，构建方程求出y，再证明，再得出，根据相似三角形的性质可得出答案； ②取的中点，连接，证明，求得，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即取得最小值，最小值为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设． ∵，矩形矩形， ∴，，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G为边的中点； 【小问3详解】 解：①连接交于点O，如下图： 由翻折变换的性质可知，， 设， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②取的中点，连接， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即取得最小值，最小值为， ∵， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $