2026届高考数学模拟卷（八）（新课标I卷）

2026年高考数学模拟卷（八）（新课标I卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、河北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江苏·模拟预测）设复数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由题意得，，则， 由模长公式得，故D正确. 2．（2026·河北·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故. 3．（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】若，则，充分性成立； 若，取，满足条件， 则，不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．（2026·福建厦门·二模）若直线和被圆所截得的弦长相等，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先计算直线截圆所得弦长，再利用点到直线距离公式表示直线截圆的弦长，根据弦长相等建立方程，求解并结合的条件确定的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 由两弦长相等，得，两边除以2得. 两边平方得，移项得. ，整理得，即. 因，故，解得. 5．（2026·湖南浙江·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的定义计算判断A；举例说明判断BCD. 【详解】由函数的定义域为，由为奇函数，得， 则，由为偶函数，得，因此，A正确； 取上的函数，是偶函数，且， 则为奇函数，此时，因此BCD不一定成立. 6．（2026·河南开封·二模）某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据题干条件进行分类，然后求出每种情况的概率，最后由互斥事件，将所有概率相加即可得到达标概率. 【详解】由题意知：一周训练量达标即为游趟或趟，设第一次游趟为事件， 第一次游趟为事件，第二次游趟为事件，第二次游趟为事件， 可分为以下三种情况： 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得； 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得； 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得， 由三种情况为互斥事件，因此，该同学一周训练量达标的概率. 7．（2026·广东揭阳·二模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 8．（2026·湖北·模拟预测）记不超过x的最大整数为（如，），若函数与在上恰好有722个解，则a的最小值为（    ） A．1440 B．1441 C．1445 D．1446 【答案】C 【分析】先确定的周期，作图，得到一个周期解的个数，进而确定的范围即可． 【详解】解：， 的周期为， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 又的周期为， 则时，函数图像如下： 所以，在一个周期内有个解， ， 又时，有2个解，时，有3个解， 解得，则a的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东揭阳·二模）已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（    ） A．数据的方差为4； B．数据的平均数为24； C．数据的平均数为10，方差大于1； D．若数据的中位数为，分位数为，则. 【答案】ABD 【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断，，；由中位数和百分位数的计算方法即可判断. 【详解】对于，因为， 所以， 所以数据的平均数为，故正确； 对于，因为， 所以 ， 所以数据的方差为，故正确； 对于，， ，故错误； 对于，将数据从小到大排序，所以中位数为第三个数和第四个数的平均数， 因为，所以分位数为第五个数， 按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数， 所以，故正确. 故选：. 10．（2026·河北·二模）已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，且三点共线，则 【答案】BCD 【分析】首先根据已知条件判断的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以为直角三角形， 因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图： 对于A，， 由勾股定理知，故A错误； 对于B，由题意知， 所以，故B正确； 对于C，由B知， 所以 ， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为， 所以， 由B知，所以， 又三点共线，所以，所以，故D正确. 11．（2026·江苏南京·二模）如图，在正方体中，E，F是底面正方形四边上的两个不同的动点，过点的平面记为，则（    ） A．截正方体的截面可能是正五边形 B．当E，F分别是的中点时，分正方体两部分的体积之比是25∶47 C．当E，F分别是的中点时，上存在点P使得 D．当F是中点时，满足的点E有且只有2个 【答案】BCD 【分析】A.若截面为五边形，则截面与正方体的5个面都相交，则必有两条交线平行，与正五边形的性质矛盾. B．作出截面，分别求出两部分的体积，再求体积比. C.作出截面，再在线段上找出P，证明. D.分别从点在线段上去讨论是否成立. 【详解】A.若截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五边形，选项A错误． B.如图，延长分别交于点G，I，连接分别交于点H，J， ∴截面为五边形，记正方体棱长为6，， 截面下侧的体积为， 另侧体积为：，∴，故选项B正确. C．截面为图中等腰梯形，此时取中点P，知， 平面,平面     ∴，故选项C正确． D.当E在上时，设， 由，故上有一个点E； 当E在上时，，故上不存在这样的点E； 当E在上时，，故上也不存在； 当E在上时，设，∴，故上存在一个点E，   ∴共2个，选项D正确． 故选：BCD. 【点睛】作截面的三种方法： ①直接法：截面的定点在几何体的棱上 ②平行线法：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行 ③延长交线得交点：截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，则_________． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正余弦公式化简已知等式，求得，再利用二倍角的正切公式计算即得. 【详解】由可得，即， 也即，因，则，， 故得，即，故. 故答案为：. 13．（2026·湖北武汉·二模）已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】联立双曲线方程和抛物线方程，代入，，得到关于离心率的齐次式，求出答案 【详解】双曲线的右焦点坐标为， 的焦点坐标为，故，， 联立与得， 又，故， 满足，故， 即，化简得， 方程每项除以得，解得， 因为，所以不合要求，舍去， ，故. 14．（2026·湖南·二模）已知函数，若正实数a,满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题要先使用单调性分析得到在上单调减少, 在上单调增加, 因为,,所以,,再发现，进而得到，再使用双勾函数求解. 【详解】, 当时,,当时, ; 所以,在上单调递减, 在上单调递增, 因为,, 所以; 即 因为,, 所以,; 则，又因为函数在上单调递增， 所以,, 所以,的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九题17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河南开封·二模）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望. （2）利用正态分布的对称性求出单株利润为正的概率. 【详解】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. 16．（2026·山东泰安·二模）已知数列满足，等差数列满足. (1)求数列和通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过构造等比数列可得的通项公式，进而可得的通项公式，由等差数列通项公式的逆向应用即可求得的通项公式； （2）由正弦函数的和差公式结合三角函数同角关系构造出裂项相消的形式即可求解. 【详解】（1），， 又，且，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，， ， 设等差数列的公差为，则， . （2） ， . 17．（2026·湖北宜昌·二模）如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别为上的动点，且. (1)求证：； (2)当线段的长度最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）作出符合题意的图形，结合题意与面面垂直的性质得到，再结合线面垂直的判定得到平面，最后得到即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，连接交于点， 在直三棱柱中，四边形为矩形， 因为，所以四边形为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系. 则. 令，则， 于是， 则当时，取得最小值，此时， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得； 由（1）知平面，则为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18．（2026·湖南衡阳·二模）已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （i）求证：； （ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据离心率、椭圆之间关系直接求解即可； （2）（i）由椭圆第三定义和已知斜率关系可证得，由此可结论； （ii）由，结合韦达定理可求得，得到直线方程；利用点差法可求得直线方程，进而得到坐标；根据弦长公式、点到直线距离公式可表示出四边形的面积，由函数值域求法可求得结果. 【详解】（1）椭圆经过点，， 设椭圆的半焦距为，则，，， 椭圆的方程为：. （2）（i）连接，由椭圆方程知：，，设，， ，， ， 又，，即，； （ii）易知直线斜率不为，可设直线方程为：， 由得：，则， ，， ，， 即， ， 又，， 整理可得：，解得：， ，，，， 当时，与轴重合，即，此时； 当时，， ，则直线，即， 由得：，， 则点到直线的距离分别为，，且与异号； ， ， ， ，且，即； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求四边形的面积； ④将所求面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）. 19．（2026·浙江宁波·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何性质求出斜率，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数讨论极值点及单调性，进而求解的取值范围； （ⅱ）利用函数单调性转化不等式，再通过构造函数，求导，利用导数讨论函数单调性，进而证明结论． 【详解】（1）时，，则， 求导得，则， 切线方程为，即． （2）（ⅰ）由于有两个极值点，， 故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解； 设，则，令，，则， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， ，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得，． ， 欲证，只需证， 构造，，则， 令，则，当时，， 即在上单调递增，且， 在时恒成立， ， 当时，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，故， 设方程的两根为，，不妨， 则由得， 由韦达定理得， ， ，且是方程的两根，是的两根， 则， ， ，命题得证． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟卷（八）（新课标I卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用地区：全国高考新课标Ⅰ卷地区：湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、江西、河南、河北、安徽、福建。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江苏·模拟预测）设复数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·河北·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·福建厦门·二模）若直线和被圆所截得的弦长相等，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．（2026·湖南浙江·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南开封·二模）某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东揭阳·二模）已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北·模拟预测）记不超过x的最大整数为（如，），若函数与在上恰好有722个解，则a的最小值为（    ） A．1440 B．1441 C．1445 D．1446 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东揭阳·二模）已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（    ） A．数据的方差为4； B．数据的平均数为24； C．数据的平均数为10，方差大于1； D．若数据的中位数为，分位数为，则. 10．（2026·河北·二模）已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，且三点共线，则 11．（2026·江苏南京·二模）如图，在正方体中，E，F是底面正方形四边上的两个不同的动点，过点的平面记为，则（    ） A．截正方体的截面可能是正五边形 B．当E，F分别是的中点时，分正方体两部分的体积之比是25∶47 C．当E，F分别是的中点时，上存在点P使得 D．当F是中点时，满足的点E有且只有2个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东青岛·模拟预测）已知，则_________． 13．（2026·湖北武汉·二模）已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 14． （2026·湖南·二模）已知函数，若正实数a,满足，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题（第十五题13分、第十六题15分、第十七题15分、第十八题17分、第十九题17分），共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河南开封·二模）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 16．（2026·山东泰安·二模）已知数列满足，等差数列满足. (1)求数列和通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（2026·湖北宜昌·二模）如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别为上的动点，且. (1)求证：； (2)当线段的长度最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 18．（2026·湖南衡阳·二模）已知椭圆的离心率为，椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且． （i）求证：； （ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 19．（2026·浙江宁波·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $