新高考模拟卷三-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

2024年普通高等学校招生全国统一考试 新高考模拟卷三 数　学 满分：150分　　时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2024全国甲卷理)若z＝5＋i，则i＝(　　) A. 10i B. 2i C. 10 D. 2 2.(2023全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，∁U(M∪N)＝(　　) A. {x|x＝3k，k∈Z} B. {x|x＝3k－1，k∈Z} C. {x|x＝3k－2，k∈Z} D. ∅ 3. 某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有几种.(　　) A. 18 B. 36 C. 60 D. 72 4. (2025天津卷) 已知函数y＝f的图象如下，则f的解析式可能为(　　) A. f(x)＝ B. f(x)＝ C. f(x)＝ D. f(x)＝ 5.设函数f(x)＝2x－－aln x在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A. [4，5] B. (5，＋∞) C. [4，＋∞) D. [5，＋∞) 6.已知cos＋cos，则cos＝(　　) A. － B. C. － D. 7.(2023新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A. 120 B. 85 C. －85 D. －120 8.(2023全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2 x，则下列说法正确的是(　　) A. f(x)的值域为[－2－，2－] B. f(x)的对称中心为，k∈Z C. f(x)在上的递减区间为 D. f(x)在上的极值点个数为1 10.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，D，E分别是BC，AC1的中点，则下列判断正确的是(　　) A. A1B∥面AC1D B. 异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 C. A1D⊥BC D. 四面体B1－C1DE的体积为 11. (2025全国Ⅱ卷)(多选)双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　　) A. ∠A1MA2＝ B. ＝2 C. C的离心率为 D. 当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. (x－2y＋1)5展开式中含x2y项的系数为　　　　.  13. (2024新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝　　　　.  14. 李明记录了自己50次坐公交车所花的时间为X(单位：分钟)，经数据分析发现X服从正态分布，平均时间为36分钟，方差为36，则P(30≤X≤48)＝　　　　.(P(μ－δ≤X≤μ＋δ)＝0.682 7，P(μ－2δ≤X≤μ＋2δ)＝0.954 5)  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (2025全国Ⅰ卷)(13分)已知数列中，a1＝3，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋amxm，求f'(－2). 16. (15分)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P＝P. 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型. 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为A，赌博过程如下图的数轴所示. 当赌徒手中有n元(0≤n≤B，n∈N)时，最终输光的概率为P，请回答下列问题： (1)请直接写出P与P的数值； (2)证明是一个等差数列，并写出公差d； (3)当A＝100时，分别计算B＝200，B＝1 000时，P的数值，并结合实际，解释当B→＋∞时，P的统计含义. 17.(15分)如图，在三棱锥P－ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，且PA＝AC，AC⊥BC，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接AE，AF. (1)证明：PB⊥平面AEF； (2)若PA＝2，三棱锥P－AEF的体积是，求直线PC与平面AEF所成角的大小. 18.(17分)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)与抛物线E：x2＝2py交于点P(2，1)，且抛物线的焦点F到双曲线的焦点的距离为2. (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l交抛物线E于A，B两点，O为坐标原点，满足kOA·kOB＝－，直线l分别交双曲线C的左、右两支于M，N两点，且满足＝2，求直线l的方程. 19.(17分)已知函数f(x)＝ax2－ln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝－1时，f(x)≤mx＋＋1恒成立，求m的取值范围. 新高考模拟卷三 1.A　由z＝5＋i⇒＝5－i，z＋＝10，则i(＋z)＝10i.故选A. 2.A　∵整数集Z＝∪ ∪， ∴∁U.故选A. 3.B　∵A在B的前面出场，且A，B都不在3号位置，∴情况如下：①A在1号位置，B有2，4，5三种位置选择，有3＝18种次序；②A在2号位置，B有4，5号两种选择，有2＝12种次序；③A在4号位置，B有5号一种选择，有＝6种.故共有18＋12＋6＝36种.故选B. 4.D　由题图可知该函数为偶函数，而函数f和函数f为奇函数，故排除选项AB；又当x∈时，1－x2＞0，x2－1＜0，此时f＞0，f＜0，由题图可知当x∈时，f＜0，故C不符合，D符合. 5.D　∵函数f＝2x－－aln x在上单调递减，∴f'＝2＋≤0在上恒成立，∴a≥2x＋在x∈上恒成立.设函数h＝2x＋，∵h'＝2－，∴h'＞0在x∈上恒成立，∴h在上单调递增，∴h＜h＝5，∴a≥5，则实数a的取值范围是.故选D. 6.C　cos＝cos＝－sin. 由cos＋cos， 得cos－sin， 两边平方得1－sin， 则sin， 故cos＝cos＝－sin＝－.故选C. 7.C　方法一：设等比数列的公比为q，首项为a1，若q＝－1，则S4＝0≠－5，与题意不符，∴q≠－1； 若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2≠21S2，与题意不符，q≠1； 由S4＝－5，S6＝21S2，可得＝－5， ＝21×，① 由①，可得1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4， 所以S8＝＝－5×＝－85. 故选C. 方法二：设等比数列的公比为q， ∵S4＝－5，S6＝21S2，∴q≠－1，否则S4＝0， 从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列， ∴＝S2，解得S2＝－1或S2＝， 当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21， 易知S8＋21＝－64，∴S8＝－85. 当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去. 故选C. 8.B　∵＝2a＝6①，由余弦定理，可得－2cos∠F1PF2＝，即＝12②，联立①②，解得＝21.又∠POF1与∠POF2互补，∴cos∠POF1＝－cos∠POF2， 即＝－， 解得OP＝.故选B. 9.AD　f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－cos 2x－＝2sin，对A：由sin∈[－1，1]，则f(x)∈[－2－，2－]，故A正确；对B：令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，故f(x)的对称中心为，k∈Z，故B错误；对C：令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，则f(x)在上的递减区间为，故C错误；对D：令2x－＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，则f(x)在上的极值点只有x＝，故D正确.故选AD. 10.ACD　A.连接DE，由中位线定理可得A1B∥DE，即可判断选项正确；B.由异面直线A1B与C1D所成角可转化为DE与DC1夹角，又由题目条件结合余弦定理可判断选项错误；C.由等腰三角形三线合一可判断选项正确；D.由题目条件可得AD⊥平面BB1C1C，E到平面BB1C1C距离为A1到平面BB1C1C距离的一半，即可判断选项正确.故选ACD. 11.ACD 　不妨设渐近线方程为y＝x，M在第一象限，N在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得四边形A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2＝π－，故A正确；对于B，方法一：∵M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M且＝c，设M，则故故MA2⊥A1A2，由A得∠A1MA2＝，故×，即，故B错误； 方法二：∵tan∠MOA2＝，且双曲线中，c2＝a2＋b2，则cos∠MOA2＝，又∵以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，则OM＝c，若过点M向x轴作垂线，垂足为H，则＝c·＝a＝，则点H与A2重合，则MA2⊥x轴，则＝b. 方法三：在△OMA2中，由余弦定理知，－2cos∠MOA2，即＝c2＋a2－2ac·＝b2，则＝b，则△A1A2M为直角三角形，且∠A1MA2＝，则2，故B错误； 对于C，方法一：∵，故4＋2·，由B可知＝b，b，故4c2＝b2＋b2＋2×b×b×b2＝，即c2＝13a2，故离心率e＝，故C正确； 方法二：因为，则＝2，则e＝，故C正确； 对于D，当a＝时，由C可知e＝，故c＝，故b＝2，故四边形NA1MA2的面积为2＝2××2×2＝8，故D正确. 12.－60　(x－2y＋1)5＝[1＋(x－2y)]5，设该二项式的通项公式为Tr＋1＝·15－r·(x－2y)r＝·(x－2y)r，∵x2y的次数为3，∴令r＝3，二项式(x－2y)3的通项公式为·x3－r·(－2y)r，令r'＝1，∴x2y项的系数为··(－2)＝－60. 13.－　由题意得tan(α＋β)＝＝－2.设α＝2kπ＋φ(k∈Z，φ为锐角)，则α＋β为β的终边逆时针旋转2kπ＋φ得到，显然α＋β位于第四象限，∴sin(α＋β)＝－. 14.0.818 6　由题意可知：μ＝36，σ＝6，∴P(30≤X≤48)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋＝0.818 6. 15.(1)证明见解析 (2)f' 【解析】(1)由题意证明如下，在数列中，a1＝3，，n∈N*，∴an＋1＝nan＋1，即an＋1－nan＝1，∴是以3为首项，1为公差的等差数列； (2)由题意及(1)得，在数列中，首项为3，公差为1，∴nan＝3＋1×，n∈N*，即an＝1＋，在f＝a1x＋a2x2＋…＋amxm中，f＝3x＋2x2＋…＋xm，f'＝3＋4x＋…＋xm－1. ∴ 当x≠1且x≠0时， ①－②得f'＝3＋x＋x2＋…＋xm－1－xm ＝3＋xm， ∴f'， ∴f' ＝1＋ ＝1－ ＝ 16.解：(1)当n＝0时，赌徒已经输光了，因此P＝1.当n＝B时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P＝0. (2)记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件，P(M)＝P(N)P(M|N)＋P()P(M|)， 即P(n)＝P(n－1)＋P(n＋1)，∴P－P＝P－P，∴{P}是一个等差数列.设P－P＝d，则P－P＝d，…，P－P＝d，累加得P－P(0)＝nd，故P－P(0)＝Bd，得d＝－. (3)A＝100，由P－P＝nd得P－P＝Ad，即P(A)＝1－，当B＝200时，P＝50%，当B＝1 000时，P＝90%，当B→＋∞时，P→1，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会100%的概率输光. 17.(1)证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.又∵PA＝AC，点E是PC的中点，∴AE⊥PC.又∵PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB.又PB⊥EF，AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，∴PB⊥平面AEF. (2)解：方法一：设BC＝λ(λ＞0)，由(1)得AE＝PE＝CE＝，可知AB＝，PB＝，易得△PFE∽△PCB，得，故EF＝.在Rt△PFE中，PF＝，∴VP－AEF＝×S△AEF×PF＝××，化简得(λ－2)2＝0，解得λ＝2，故EF＝1.由(1)知PF⊥平面AEF，故∠PEF即为所求角，在Rt△PFE中，cos∠PEF＝.又∠PEF∈，故∠PEF＝. 方法二：设BC＝λ(λ＞0)，由(1)得，AE＝PE＝CE＝，可知AB＝，PB＝，易得△PFE∽△PCB，得，故EF＝，在Rt△PFE中，PF＝，∴VP－AEF＝×S△AEF×PF＝××，化简得(λ－2)2＝0，解得λ＝2.如图，以A为原点，与AC垂直的方向，射线AC，射线AP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.∵PA＝AC＝2，BC＝2，∴A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，则＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)，由(1)知PB⊥平面AEF，∴＝(2，2，－2)是平面AEF的一个法向量，设直线PC与平面AEF所成角为θ，则sin θ＝，又θ∈，故θ＝. 18.解：(1)∵点P(2，1)在抛物线E上，∴4＝2p，∴p＝2，∴抛物线E：x2＝4y的焦点为F.因为抛物线的焦点F到双曲线的焦点的距离为2，∴c2＋1＝4，∴a2＋b2＝c2＝3.又因为＝1，∴a2＝2，b2＝1，∴双曲线C的方程为－y2＝1. (2) 由题意直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx＋m，点A，B， 由得x2－4kx－4m＝0，则Δ＝16k2＋16m＞0，x1x2＝－4m， ∴kOA·kOB＝＝－＝－， ∴m＝1，满足Δ＞0. 由得x2－4kx－4＝0， 其满足＜0，所以k2＜. 设M，N， 则xM＋xN＝①，xM·xN＝②， 因为S△PFN＝2S△PFM，∴xN＝－2xM③， 由①③可得xM＝，xN＝，代入②，可得，∴k2＝. ∵xM＝＜0，∴k＞0，∴k＝， 所以直线l：y＝x＋1. 19.解：(1)∵f(x)＝ax2－ln x，定义域为(0，＋∞)， ∴f'(x)＝2ax－. 当a≤0时，f'(x)＜0恒成立，f(x)单调递减； 当a＞0时，当0＜x＜时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞时，f'(x)＞0，f(x)单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 当a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增. (2)当a＝－1时，f(x)＝－x2－ln x，由f(x)≤mx＋＋1恒成立，可得－x2－ln x≤mx＋＋1恒成立，即m≥－，不妨设h(x)＝，定义域为(0，＋∞)， 则h'(x)＝. 不妨设k(x)＝x3－xln x－1，定义域为(0，＋∞)， 可得k'(x)＝3x2－ln x－1， 不妨设p(x)＝3x2－ln x－1，定义域为(0，＋∞)， 可得p'(x)＝6x－. 当0＜x＜时，p'(x)＜0，p(x)单调递减； 当x＞时，p'(x)＞0，p(x)单调递增， ∴p(x)≥pln 6－1＝＞0， 即k'(x)min＞0， ∴函数k(x)在定义域上单调递增，又k(1)＝0， ∴当0＜x＜1时，k(x)＜0；当x＞1时，k(x)＞0， 则当0＜x＜1时，h'(x)＜0，h(x)单调递减； 当x＞1时，h'(x)＞0，h(x)单调递增， 可得h(x)≥h(1)＝，即m≥－， 故m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $