新高考模拟卷四-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

2024年普通高等学校招生全国统一考试 新高考模拟卷四 数　学 满分：150分　　时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足z＝1＋2i，则＝(　　) A. B. C. D. 2. 已知集合A＝，B＝，则(　　) A. A∩B＝∅ B. A∩B＝A C. A∪B＝R D. A∪B＝A 3.设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为－b，则＝(　　) A. B. C. D. 4.已知＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a1＋a3的值为(　　) A. －1 B. 1 C. 4 D. －2 5.(2023新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件　 6.一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5 888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人.现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为(　　) A. 480 B. 270 C. 240 D. 60 7.(2023新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝(　　) A. B. C. － D. － 8.(2023全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C－AB－D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题中，正确的是(　　) A. 已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X＜4)＝0.7，则P(－2＜X＜1)＝0.2 B. 已知P(A)＞0，P(B)＞0，P(B|A)＝P(B)，则P(A|B)＝P(A) C. 已知P(A)＝，P，P，则P()＝ D. 将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差s2＝() 10. (2024新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin2x和g(x)＝sin(2x－)，下列说法中正确的有(　　) A. f(x)与g(x)有相同的零点 B. f(x)与g(x)有相同的最大值 C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 11. (2025全国Ⅱ卷)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，fex＋2，则(　　) A. f(0)＝0 B. 当x＜0时，f＝－e－x－2 C. f(x)≥2当且仅当x≥ D. x＝－1是f(x)的极大值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. (2025全国Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝　　　　.  13. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为r1，r2，且r1r2＝1，则它的内切球的体积为　　　　.  14.已知函数f(x)＝sin的最小正周期为4π，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，若所得函数图象的一条对称轴方程是x＝，则φ的值为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AB＝4，AC＝2. (1)求sin∠ABC的值； (2)过点A作AD⊥AB，交边BC于点D，记△ABD与△ACD的面积分别为S1，S2，求的值. 16. (15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAD是等边三角形，且BC//AD，AB⊥AD，PB＝AB＝AD＝2BC，E为PD的中点. (1)证明：CE//平面PAB； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 17.(15分)已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量(单位：g)将它们分成5组：，得到如图所示频率分布直方图. (1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测. (ⅰ)已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率； (ⅱ)记这3个石榴中质量在区间内的个数为X，求X的分布列与数学期望. 18.(17分)已知点O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点F到直线y＝x的距离为. (1)求C的标准方程； (2)若直线y＝kx＋b与C交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率之积为－2，求的值. 19.(17分)已知函数f(x)＝x－a＋2aln x－3xln x，a∈R. (1)当a＝0时，求f(x)的单调区间和极值； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 新高考模拟卷四 1.A　∵z＝1＋2i，则z＝＝－i，∴.故选A. 2.B　由log2x＜1，得0＜x＜2，A＝，由y＝2x，易知x∈R时，y∈(0，＋∞)，∴B＝，故A∩B＝(0，2)＝A，∴选项A错误，选项B正确，又A∪B＝(0，＋∞)＝B，∴选项C和D均错误.故选B. 3.D　∵a在b方向上的投影向量为－b，∴－b＝··⇒－b＝·b⇒a·b＝－，∴ .故选D. 4.C　在＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6中，而＝x，由二项式定理知展开式的通项公式为Tr＋1＝x5－r·(－1)r，令5－r＝2，解得r＝3，令5－r＝3，r＝2，故a3＝·(－1)3＋(－1)2＝0，同理令5－r＝1，解得r＝4，令5－r＝0，解得r＝5，故a1＝(－1)4＋(－1)5＝4，故a1＋a3＝4.故选C. 5.C　方法一：甲：为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，∴＝a1＋d＝n＋a1－，∴，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即为常数，设＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，∴甲是乙的充要条件，C正确. 方法二：甲：为等差数列，设数列的首项a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，∴＝a1＋d＝n＋a1－，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即＝D(D为常数)，＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，∴Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，当n≥2时，两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式也成立，于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，∴甲是乙的充要条件.故选C. 6.C　方法一：先在12人中挑选同姓的2人，方法有＝6(种)，然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有＝40(种)，∴不同的挑选方法的种数是6×40＝240. 方法二：先在12人中挑选同姓的2人，方法有＝6(种)，然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有＝40(种)，∴不同的挑选方法的种数是6×40＝240.故选C. 7.C　将y＝x＋m与椭圆方程联立，得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0. ∵直线与椭圆相交于A，B两点，∴Δ＝36m2－4×4＞0，解得－2＜m＜2. 设F1到AB的距离为d1，F2到AB的距离为d2， 易知F1，F2，则d1＝，d2＝，∴＝2， 解得m＝－或－3(舍去).故选C. 8.C　如图，取AB的中点E，连接CE，DE.∵△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，∴CE⊥AB，又△ABD是等边三角形，∴DE⊥AB，从而∠CED为二面角C－AB－D的平面角，即∠CED＝150°. ∵DE⊥AB，CE⊥AB，CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，∴AB⊥平面CDE.又AB⊂平面ABC，∴平面CDE⊥平面ABC，平面CDE∩平面ABC＝CE，又直线CD⊂平面CDE，∴直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB＝2，则CE＝1，DE＝，在△CDE中，由余弦定理得CD＝ ＝ ＝，由正弦定理得，即sin∠DCE＝，显然∠DCE是锐角，cos∠DCE＝，∴tan∠DCE＝，∴直线CD与平面ABC所成角的正切值为.故选C. 9.ABC　对于A，由正态分布曲线的性质知P(X≥4)＝1－0.7＝0.3，根据对称性知P(X≤－2)＝0.3，于是P(－2＜X＜1)＝0.5－0.3＝0.2，A正确；对于B，由P(A)＞0，P(B)＞0，P(B|A)＝＝P(B)，得P(AB)＝P(A)P(B)，∴P(A|B)＝＝P(A)，B正确；对于C，由P(A)＝，P(B|)＝，得P()＝，P(|)＝，又P(|A)＝，由全概率公式得P()＝P(A)·|A)＋P()·P(|)＝××，C正确.对于D，∵在每一层中随机抽得样本，∴用样本的数据无法求出总体方差，不妨设两层的样本容量分别为m，n，总样本平均数为，则s2＝，易知，当m＝n，时，有s2＝，故D错误.故选ABC. 10.BC　A选项，令f(x)＝sin2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)＝sin(2x－)＝0，解得x＝，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的周期均为＝π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋⇔x＝，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋⇔x＝，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误. 11.ABD　对于A，∵f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，故A正确；对于B，当x＜0时，－x＞0，则f(x)＝－f＝－＝－e－x－2，故B正确；对于C，f(－1)＝－e－2＝2＞2，故C错误；对于D，当x＜0时，f(x)＝e－x－2，则f'(x)＝－e－x－2xe－x＝e－x，令f'(x)＝0，解得x＝－1或x＝3(舍去)，当x∈时，f'(x)＞0，此时f单调递增；当x∈时，f'(x)＜0，此时f单调递减，则x＝－1是f(x)的极大值点，故D正确. 12.－4　由题意有f，∴f'，∵2是函数f的极值点，∴f'＝2－a＝0，得a＝2，当a＝2时，f'＝2，当x∈时，f'＞0，f单调递增；当x∈时，f'＜0，f单调递减；当x∈时，f'＞0，f单调递增，∴x＝2是函数f的极小值点，符合题意，∴f＝－1××＝－2a＝－4. 13.　由题意，画出圆台的直观图，其中AB为圆台的母线长，D，C分别为上、下底面的圆心，点O为内切球的球心，点E为球O与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：AB＝AE＋BE＝AD＋BC＝r1＋r2，CD＝＝2.因此可得内切球半径r＝＝1，∴内切球的体积为πr3＝π. 14.0　∵函数f＝sin的最小正周期为4π，∴ω＝，∴f＝sin.将函数f的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象.∵所得函数图象的一条对称轴方程是x＝，∴sin＝sin＝cos φ＝±1，∴φ＝kπ.∵φ∈，∴φ＝0.故答案为0. 15.解：(1)在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC， 则BC2＝16＋8－2×4×2×＝40，故BC＝2. 由正弦定理可得， 则sin∠ABC＝. (2)∵∠BAC＝135°，∴0°＜∠ABC＜45°. ∵sin∠ABC＝，∴cos∠ABC＝. ∵AD⊥AB，∴cos∠ABC＝， ∴BD＝， 则CD＝BC－BD＝. 设点A到直线BC的距离为d， ∵S1＝BD·d，S2＝CD·d， ∴＝2. 16.(1)证明： 如图，取PA的中点G，连接GE，GB.∵E为PD的中点，∴GE∥AD且GE＝AD，又BC∥AD，BC＝AD.∴GE∥BC且GE＝BC，∴四边形BCEG为平行四边形，∴CE∥GB.又GB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB. (2)解： 设PB＝AB＝AD＝2BC＝2，取AD的中点N，连接PN，CN.∵△PAD为正三角形，∴PN⊥AD，PN＝.又AN＝BC，AN∥BC，∴四边形ABCN为平行四边形，∴CN∥AB.又AB⊥AD，∴CN⊥AD.又PN∩CN＝N，PN，CN⊂平面PCN，∴AD⊥平面PCN.∵BC∥AD，∴BC⊥平面PCN.又PC⊂平面PCN，∴BC⊥PC， 在Rt△PBC中，PC＝＝PN.∵BC⊂平面ABCD，∴平面PCN⊥平面ABCD.取CN的中点O，则PO⊥CN，∴PO⊥平面ABCD，PO＝.取CD的中点F，以O为原点，OC，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则B(1，－1，0)，P(0，0，)，D(－1，1，0)，C(1，0，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－1，0，).设平面PCD的法向量为＝(x，y，z)，则令z＝1，则＝(，2，1)，又＝(1，－1，－)，设直线PB与平面PCD所成角为θ，则sin θ＝ ，故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 17.解：(1)该品种石榴的平均质量为＝20×＝416，所以该品种石榴的平均质量为416g. (2)由题可知，这7个石榴中，质量在内的频率比为0.010∶0.010∶0.015＝2∶2∶3，∴抽取质量在内的石榴个数分别为2，2，3. (ⅰ)记A＝“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，B＝“这3个石榴恰好来自不同区间”，则P，P， ∴P， 即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为. (ⅱ)由题意得X的所有可能取值为0，1，2，3，则P，P，P，P， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴E＝0×＋1×＋2×＋3×. 18.解：(1)由题意得F， 点F到直线y＝x的距离d＝， ∴p＝2，∴C的标准方程为y2＝4x. (2)如图，设A，B，则x1＝，x2＝， ∴直线OA，OB的斜率之积为 ··＝－2， ∴y1y2＝－8. 由题意知k≠0，由y＝kx＋b得x＝， 代入y2＝4x得y2－＝0， ∴y1y2＝＝－8，∴＝－2. 此时Δ＝＋32＞0，∴＝－2. 19.解：(1)当a＝0时，f＝x－3xln x，定义域为，f'＝－3lnx－2， 当0＜x＜时，f'＞0，当x＞时，f'＜0， ∴f的单调递增区间为，单调递减区间为. f的极大值为f＝3，无极小值. (2)f＝x－a＋2aln x－3xln x，a∈R，定义域为， 当x＝时，f＝－ ≠0， ∴不是函数f的零点. 要使f有两个零点，则方程a＝有两个不同的实数根. 令g(x＞0且x≠)，则直线y＝a与函数y＝g的图象有两个不同的交点. g'，令g'＝0， 解得x＝1或x＝. 当x∈时，g'＞0，当x∈∪时，g'＜0，当x∈时，g'＞0. ∴g在上单调递增，在上单调递减. 当x的取值接近0时，g的值接近0，g的极大值为g＝1，又知x＝时，g＝0，当x∈时，g＜0. 又知g在上单调递减，在上单调递增， ∴g的极小值为g， 当x→时，g(x)→－∞， 当x→时，g→＋∞， ∴函数g的大致图象如图所示. 由图象可知，要满足题设条件，则0＜a＜1或a＞. 故a的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $