20.1.3 利用勾股定理计算、作图 教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

教学目标

课题

20.1 第3课时利用勾股定理作图、计算

授课人

素养目标

1.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明.

2.能利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.

3.在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯，并体会勾股定理的应用价值.

教学重点

利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.

教学难点

转化思想、方程思想、数形结合思想的灵活运用.

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：交流新知，验证旧知

【回顾导入】

在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗?

已知:如图,在 Rt△ABC 和.Rt△A'B'C'中,

求证:△ABC≌△A'B'C'.

证明:在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,

根据勾股定理，

又

∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).

【教学建议】

师生共同画图，

写出已知、求证，引导学生分析：锐角未知，只能通过“SSS”或“SAS”证明，并指定学生代表证明.

设计意图

让学生利用勾股定理证明之前学过的“HL”.

活动二：问题引入，自主探究

探究点 利用勾股定理在数轴上表示实数

我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示 的点吗?

(1)如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示. 的点.想一想，你能画出长为 的线段吗?怎么画?说说你的画法.

答：画一个两条直角边的长都为1的直角三角形，它的斜边长就是

(2)长为 的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗?

答：设斜边( ，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有 ，若a ，b为正整数，则13必须分解为两个完全平方数的和，即 ,则a=2,b=3，所以长为 的线段是直角边长分别为正整数 2 和 3 的直角三角形的斜边长，如图所示.

(3)在数轴上画出表示 的点.

解：①如图，O为数轴原点，在数轴上找出表示3的点 A，则OA=3；

②过点 A 作直线 l 垂直于 OA,在 l 上取点 B,使AB=2;

③以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即为表示 的点.

(4)我们知道了怎么画出斜边长为 的直角三角形，那么怎么画出斜边长为 的直角三角形呢?

【教学建议】

让学生 交 流 讨

论，教师给予适当提示.最后总结在数轴上画表示无理数的点的一般步骤：

(1)利用勾股定理

拆分出两条线段长的平方和等于所求无理数的平方(一般拆分的两条线段的长是正整数，这样作图较方便)；

(2)以原点为直角

三角形斜边的顶点，在数轴上作一条直角边，再作另一条直角边，构造直角三角形；

(3)以数轴原点

为圆心，以斜边长为半径作弧，弧与数轴的交点即为所求的表示该无理数的点(一般所求无理数是正的，所求点就是弧与正半轴的交点).

设计意图

引导学生探究在数轴上画出表示无理数的点.