20.1.3 利用勾股定理计算、作图 教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第3课时 利用勾股定理作图、计算人教版八年级数学下册 勾股定理的应用（作图+计算） 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：回顾勾股定理的含义（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²），熟练掌握勾股定理的正用、逆用及变形；掌握利用勾股定理作已知长度线段（如√2、√3等无理数长度线段）的方法，能规范完成作图步骤；能结合作图与计算，运用勾股定理解决实际生活及几何中的相关问题，规范书写解题与作图步骤。 2. 3. 过程与方法：通过回顾勾股定理、探究作图方法、分析实际问题、转化为几何模型，培养学生的建模思想、逻辑推理能力、动手作图能力和应用意识，体会“数形结合”“转化”的数学思想，提升作图与计算的综合能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受勾股定理在作图、计算中的广泛应用，体会数学与生活、几何作图的密切联系，激发学生运用数学知识解决问题、动手实践的兴趣，培养严谨的解题、作图习惯和合作探究意识，增强学习数学的实用性认知。 6. 二、教学重难点 重点：勾股定理的正用、逆用及变形应用；利用勾股定理作无理数长度线段的方法（规范作图步骤）；结合作图与计算，运用勾股定理求解相关问题。 难点：利用勾股定理构造直角三角形作图（确定直角边长度，规范作图）；结合作图过程进行计算，灵活运用勾股定理解决作图与计算结合的复杂问题，避免作图不规范、计算失误。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含作图示范、实际问题情境图、几何模型示意图）、板书模板、直尺、圆规、三角板；学生：复习勾股定理的含义及验证方法，预习本节课实际应用场景和作图基础，准备直尺、圆规、三角板，梳理勾股定理的常见变形（如c=√(a²+b²)、a=√(c²-b²)）。 四、教学过程 （一）复习导入（8分钟） 1. 回顾旧知：提问学生：勾股定理的内容是什么？适用条件是什么？引导学生完整表述：直角三角形中，两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²，强调适用条件为直角三角形；回顾勾股定理的常见变形，提问：已知直角三角形斜边和一条直角边，如何求另一条直角边？（a=√(c²-b²)、b=√(c²-a²)）。 2. 情境导入：出示问题——我们能作出长度为1cm、2cm的线段，但如何作出长度为√2cm的线段？引出课题——勾股定理的应用（作图+计算），告知学生：勾股定理不仅能解决计算、测量问题，还能帮助我们作出无理数长度的线段，今天我们就重点学习利用勾股定理作图和计算，掌握二者的结合应用。 3. 铺垫引导：强调核心思路：作图的关键是利用勾股定理，构造直角三角形，使斜边（或直角边）为所求长度；计算的核心是结合勾股定理及其变形，结合作图过程中的边长关系求解，作图与计算相互结合、相互验证。 （二）探究新知（18分钟） 1. 明确核心：梳理勾股定理的作图、计算两大核心应用，强调“作图与计算结合”的重要性： （1）核心思路：作图→构造直角三角形（利用勾股定理确定边长）→ 规范作图；计算→结合勾股定理（正用、逆用、变形）→ 结合作图过程或实际场景求解→ 验证结果；二者结合时，先确定作图方案，再通过计算确定边长，最后完成作图并检验。 （2）注意事项：① 作图时，直尺、圆规使用规范，标注直角符号、边长、所求线段；② 计算时注意平方、开方的准确性，结果需符合实际意义（如边长为正、距离为非负）；③ 作图与计算结合时，要明确作图中的直角边、斜边与计算中各边长的对应关系。 2. 探究一：利用勾股定理作图（重点） 核心：利用勾股定理，构造直角三角形，使斜边为所求无理数长度（或直角边为所求长度），常用整数边长直角三角形（如3、4、5；1、1、√2；1、√2、√3等）。 示例1：作长度为√2cm的线段 步骤：① 作射线AM，在射线AM上截取AB=1cm（直角边a=1cm）；② 过点B作AB的垂线BN，在BN上截取BC=1cm（直角边b=1cm）；③ 连接AC，根据勾股定理，AC=√(AB²+BC²)=√(1²+1²)=√2cm，线段AC即为所求。 示例2：作长度为√3cm的线段 步骤：① 先作出长度为√2cm的线段AC（方法同上）；② 过点C作AC的垂线CD，在CD上截取CD=1cm；③ 连接AD，根据勾股定理，AD=√(AC²+CD²)=√((√2)²+1²)=√3cm，线段AD即为所求。 强调：作图时要规范标注，垂线作图要准确，边长截取要精准，可结合圆规截取等长线段，确保作图规范。 3. 探究二：作图与计算结合应用（结合原有场景拓展） 场景一：作图+测量计算 实例：已知线段AB=5cm，利用勾股定理作出线段AB的垂直平分线，并用计算验证垂直平分线上的点到A、B两点的距离相等。（简要讲解：作图作出垂直平分线，取平分线上一点P，连接PA、PB，计算PA、PB的长度，验证PA=PB）。 场景二：作图+立体图形计算 实例：一个长方体礼盒，长8cm、宽6cm、高10cm，先作出长方体的表面展开图（一种即可），再通过计算求出蚂蚁从顶点A到对角顶点B的最短路径长度（结合作图，明确展开图中直角边的长度，再用勾股定理计算）。 4. 逆用应用：作图+判断直角三角形 实例：已知线段a=3cm、b=4cm、c=5cm，利用勾股定理作图，判断以这三条线段为边的三角形是否为直角三角形（作图构造三角形，计算较短两边的平方和，与最长边的平方对比，验证是否为直角三角形）。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（作图+计算：无理数线段作图）：作长度为√5cm的线段，并写出作图步骤，计算该线段的平方。讲解时强调：① 作图步骤规范（构造直角三角形，直角边为1cm和2cm，斜边即为√5cm）；② 标注清晰，包括直角符号、边长；③ 计算验证：(√5)²=5，与1²+2²=5一致，完成作图与计算的相互验证，规范书写作图步骤和计算过程。 例2（作图+计算：实际应用）：在一块长方形空地ABCD中，AB=3m，BC=4m，现要在空地中作一条线段AE，使AE⊥BC于E，求AE的长度，并作出线段AE，验证AE的长度是否符合计算结果。引导学生分析：长方形中∠B=90°，AE⊥BC则AE=AB=3m，先作图（过A作BC的垂线，交BC于E），再通过勾股定理验证（在Rt△ABE中，AE=√(AB²-BE²)，当BE=0时，AE=AB=3m），实现作图与计算的结合。 教师板书规范的作图步骤和解题步骤，提醒学生注意：① 作图时直尺、圆规使用规范，垂线作图准确；② 计算时找准直角边和斜边，结合作图过程验证结果；③ 作图步骤要清晰，计算过程要完整，避免作图不规范、计算失误。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（作图+简单计算）：作长度为√6cm的线段，写出作图步骤；在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，c=15，求b并作出该直角三角形。提高题（作图+综合计算）：已知三角形三边长为6、8、10，先作出该三角形，再利用勾股定理验证其为直角三角形；一个圆柱底面半径为3cm，高为4cm，先作出圆柱侧面展开图，再计算蚂蚁沿侧面爬行的最短路径长度。学生独立完成，小组内核对答案、检查作图规范，教师巡视指导，针对作图不规范、作图与计算脱节、计算失误等易错点集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了利用勾股定理作图的方法（构造直角三角形，规范步骤），学会了勾股定理的正用、逆用及变形应用，能结合作图与计算解决相关问题；明确了作图与计算的核心是“构造直角三角形”，作图要规范、计算要准确，二者相互结合、相互验证，牢记勾股定理的适用条件和作图注意事项。师生共同梳理解题、作图步骤和易错点，加深记忆。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固勾股定理的作图和计算应用，规范书写作图步骤和解题步骤；拓展作业：作出长度为√7cm的线段，写出作图步骤并计算验证；收集生活中需要结合勾股定理作图+计算的实例（至少1个），尝试完成作图和计算，体会二者的结合应用。 五、板书设计 勾股定理的应用（作图+计算） 1. 勾股定理：直角三角形中，a²+b²=c²（a、b为直角边，c为斜边） 变形：c=√(a²+b²)、a=√(c²-b²)、b=√(c²-a²) 2. 核心：作图+计算（构造直角三角形，相互验证） 3. 勾股定理作图（以√2为例）： ① 作射线，截取1cm线段；② 作垂线，截取1cm线段；③ 连接，得√2线段 4. 常见应用场景： ① 无理数线段作图；② 作图+测量计算；③ 作图+立体图形计算；④ 作图+判断直角三角形 5. 注意：作图规范、计算准确、标注清晰、单位统一 例1：作图+无理数线段计算 例2：作图+实际应用计算 （规范书写作图步骤+解题步骤） （规范书写作图步骤+解题步骤） 六、教学反思 本节课聚焦勾股定理的作图与计算结合应用，新增作图知识点，衔接原有应用场景，通过实例探究、典例讲解，引导学生掌握规范的作图步骤和计算方法，体会二者的结合思路，符合八年级学生的认知规律，基本达成教学目标。但部分学生作图不够规范，垂线作图、线段截取不够精准，标注不完整；在作图与计算结合时，难以快速关联作图中的边长与计算中的直角边、斜边，出现脱节问题；计算时仍存在平方、开方失误。后续需增加作图专项训练，细化作图步骤讲解，强化作图与计算的结合训练，规范作图标注，帮助学生熟练掌握勾股定理的作图与计算应用，提升综合能力。 教学设计 教学目标 课题 20.1 第3课时利用勾股定理作图、计算 授课人 素养目标 1.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明. 2.能利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点. 3.在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯，并体会勾股定理的应用价值. 教学重点 利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点. 教学难点 转化思想、方程思想、数形结合思想的灵活运用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：交流新知，验证旧知 【回顾导入】 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗? 已知:如图,在 Rt△ABC 和.Rt△A'B'C'中, 求证:△ABC≌△A'B'C'. 证明:在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中, 根据勾股定理， 又 ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 【教学建议】 师生共同画图， 写出已知、求证，引导学生分析：锐角未知，只能通过“SSS”或“SAS”证明，并指定学生代表证明. 设计意图 让学生利用勾股定理证明之前学过的“HL”. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 利用勾股定理在数轴上表示实数 我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示 的点吗? (1)如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示. 的点.想一想，你能画出长为 的线段吗?怎么画?说说你的画法. 答：画一个两条直角边的长都为1的直角三角形，它的斜边长就是 (2)长为 的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗? 答：设斜边( ，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有 ，若a ，b为正整数，则13必须分解为两个完全平方数的和，即 ,则a=2,b=3，所以长为 的线段是直角边长分别为正整数 2 和 3 的直角三角形的斜边长，如图所示. (3)在数轴上画出表示 的点. 解：①如图，O为数轴原点，在数轴上找出表示3的点 A，则OA=3； ②过点 A 作直线 l 垂直于 OA,在 l 上取点 B,使AB=2; ③以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即为表示 的点. (4)我们知道了怎么画出斜边长为 的直角三角形，那么怎么画出斜边长为 的直角三角形呢? 【教学建议】 让学生 交 流 讨 论，教师给予适当提示.最后总结在数轴上画表示无理数的点的一般步骤： (1)利用勾股定理 拆分出两条线段长的平方和等于所求无理数的平方(一般拆分的两条线段的长是正整数，这样作图较方便)； (2)以原点为直角 三角形斜边的顶点，在数轴上作一条直角边，再作另一条直角边，构造直角三角形； (3)以数轴原点 为圆心，以斜边长为半径作弧，弧与数轴的交点即为所求的表示该无理数的点(一般所求无理数是正的，所求点就是弧与正半轴的交点). 设计意图 引导学生探究在数轴上画出表示无理数的点. 八年级数学下册 31 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 答：根据( 先画出长为 的线段，再以 和1为直角边的长画直角三角形，则斜边长即为 (5)你能画出斜边长为 (n是正整数)的直角三角形吗?你能在数轴上画出表示 的点吗? 答：类似地，利用勾股定理，可以作出长为 …的线段(如图①).按照同样的方法，可以在数轴上画出表示 ·的点(如图②). 【对应训练】 教材P29练习第1题. 活动三：重点突破，提升探究 例 如图,数轴上点 A 表示的数为1,AB⊥OA,且AB=OA.以原点O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴的负半轴于点C，则点 C 所表示的数为(D) C. 【对应训练】 1.如图，数轴上点 A 所表示的数为a，则a 的值是(B) 2.教材P29练习第2,3题. 【教学建议】 提醒学生解决此 类题需注意：(1)弧与数轴的交点与圆心的位置关系(有时交点在圆心左侧)；(2)作弧时所取的圆心在数轴上表示的数(有时不是0). 设计意图 从不同角度巩固学生对勾股定理的认识. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你会用勾股定理证明“HL”吗?你会在数轴上画出表示无理数的点吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P30~32习题20.1第6,7,8,11,13,14题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 20.1勾股定理及其应用 第3课时利用勾股定理作图、计算 1.利用勾股定理证明“HL”. 2.利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点. 教学反思 本节课的重点和难点是在数轴上画出表示无理数的点，学生之前没有接触过这类题型，教学中教师要引导学生积极地发表自己的看法，梳理所学到的知识，逐步探究，加深对知识的理解和巩固. 32 名师教学设计 学科网（北京）股份有限公司 备课素材 解题大招 解题大招一 利用勾股定理进行几何作图 例1 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在图①的网格中画出长为 的线段AB； (2)在图②的网格中画出腰DE，DF 的长为 ，面积为3的等腰三角形DEF； (3)在图③的网格中画出三边长分别为 , ,2 的三角形，并直接写出其面积为 4 . 解:(1)如图①,由 可以构造一个两条直角边长分别为1和2的直角三角形，则斜边AB 的长为 (2)如图②,由 可以构造一个底边长为6，高为1的等腰三角形DEF. (3)由 可以构造如图③所示的三角形， 此三角形的面积为 例2 在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 和直线l的位置如图所示. (1)将点A 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，请在图①中标出点B，并写出线段AB 的长度： (2)在(1)的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB 的值最小，在图①中保留作图痕迹，并直接写出PA+PB的最小值： (3)在(1)的条件下，C为直线l上的格点，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，请在图②中标出点C，并写出线段AC的长度：2 或2 . 解析:(1)如图①, 故答案为 (2)如图①, 故答案为 (3)如图②，存在两个符合条件的点，分别为 .故答案为2 或2 解题大招二 利用勾股定理解决最短路线问题 例3 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 的最短路程是(B) A.20dm B.25dm C.30dm D.35dm 解析:如图,三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为(3+2)×3=15(dm), 则蚂蚁沿台阶面爬行到点B 的最短路程是此长方形的对角线长. 故蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 的最短路程为 故选B. 八年级数学下册33 学科网（北京）股份有限公司 例4 如图，圆柱形玻璃杯的高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点 A 处，则该蚂蚁从外壁A 处爬到内壁B 处的最短路程为 20 cm.(杯壁厚度不计) 解析：将圆柱体侧面展开，如图所示， 作点A 关于PS的对称点A',连接A'B 交PS 于点C, 则蚂蚁从点A 爬到点C，再爬到点B，爬行的路程最短，最短路程等于A'B的长. ∵PA'=PA=3cm,OQ=5cm,PQ=14cm,PS=32cm, 在 Rt△A'OB 中,可得 故该蚂蚁从外壁A 处爬到内壁B 处的最短路程为 20cm.故答案为20. 例5 如图，长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm. 解析：把长方体按前面、上面展开如图①，由勾股定理可得 把长方体按前面、右面展开如图②，由勾股定理可得 把长方体按左面、上面展开如图③，由勾股定理可得 ∴蚂蚁爬行的最短路径的长是 故答案为 培优计划 培优点 勾股定理与线段和的最小值问题 例 如图①,C为线段BD 上一动点,分别过点 B,D 作AB⊥BD,ED⊥BD,已知AB=5,DE=1,BD=8,连接AC,CE.设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC+CE 的长. (2)当点C 满足什么条件时，AC+CE的值最小?求出这个最小值. (3)根据上述结论，构图求出代数式 的最小值. 解： (2)当A,C,E 三点共线时,AC+CE 的值最小. 如图①,过点A 作AF⊥ED 的延长线于点F,连接AE,AC+CE的最小值即为AE 的长. 易知AF=BD=8,DF=AB=5,∴EF=DF+DE=5+1=6. 在 Rt△AEF 中, ∴AC+CE 的最小值是 10. (3)如图②,作BD=15,过点 B 作AB⊥BD,过点D 作ED⊥BD,使AB=3,DE=5,连接AE 交BD 于点C,设BC=x,则AE 的长即为代数式 的最小值. 如图，过点A 作AF⊥ED 的延长线于点F，可得长方形ABDF， 则DF=AB=3,AF=BD=15,EF=DE+DF=5+3=8, 即 的最小值为17. 学科网（北京）股份有限公司 $