相似三角形存在性问题专题课件2026年中考数学中考二轮复习

1 考 考 点 中 前面我们已经学习了太多的求证相似三角形存在性问题，无论题目如何变化，大体的思路都是先确定一组相等角，接着表示出两边成比例或者构造第二组相等角，需要注意的是不同的条件下选择恰当的计算方法． 在之前的模型中，我们总是根据相似得到一组角相等， 然后求点的坐标，好像题型并无太多变化的可能 2 考 考 点 当然，再大的变化都可以利用模型，来实现夹缝中依然可以求生存。 我们上节课介绍了“单动点”类相似问题，这节课我们再来介绍下“双动点”类相似问题。 你试一下能否夹缝中依然求生存． 中 3 考 考 点 其实，对于相似三角形存在性问题，单动点还是双动点并不是重点，在找到一组相等角的前提下，恰当选择表示两边成比例还是继续构造第二组相等角才是关键，在边容易表示的情况下就表示边，在角容易构造的情况下就构造角．题无定法，具体问题具体对待，分析明白每个条件尤其是关键性条件的用意，离得到答案便不远了． 中 4 识 储 备 知 判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 判定4：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，“即A型和X型”。 5 路 分 析 （1）已知相等角构造两边成比例：根据线段位置表示边． 思 （2）已知直角构造直角边成比例： ①直接表示水平或竖直直角边；②化斜为直． （3）已知相等锐角构造直角：直角三角形存在性问题 （4）已知直角构造相等锐角： ①三垂直相似构造旋转角；②直接构造三垂直 6 7 究 探 【2019新疆中考】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1,0），B（4,0），C（0,4）三点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积． 由 B、C 两点坐标易求直线 BC 解析式： y = −x + 4 ， 不难得出∠CPQ=∠BCO=∠OBC， 即在△CPQ 和△ABC 中，∠CPQ=∠ABC． 接下来求角两边对应成比例 y=-x²+4x+3,顶点D（3/2，25/4） 8 究 探 设 P 点坐标为(m , − m+4 )（0<m<4）， 则 Q 点坐标为（m，-m²+4m+3）， 第二种情况，作为课后作业留给大家解决 9 10 究 探 【2018常德中考】如图，已知二次函数的图像过点O（0,0）、A（8,4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3． （1）求该二次函数的解析式； （2）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标． 由题意得在 Rt△AOC 中，AC=4，OC=8， 若△OPQ 与△AOC 相似，则△OPQ 两直角边比为 1：2 或 2：1． 设点：设 P 点坐标为（m，0），则 Q 点坐标为（m,1/4m²-3/2m） 则OP=|m|，PQ=|1/4m²-3/2m| 11 究 探 12 究 探 则OP=|m|，PQ=|1/4m²-3/2m| 13 业 作 【2018绵阳中考】如图，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）过点A（根号3，-3）和点B（3根号3,0）．过点A作直线AC//x轴，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得△AOC的面积是△AOQ面积的三分之一？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14 业 作 【2018绵阳中考】如图，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）过点 A（根3，-3）和点B（3根3,0）．过点A作直线AC//x轴，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使得△AOC的面积是△AOQ面积的三分之一？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15 解 讲 16 解 讲 17 解 讲 （3）抛物线上是否存在点Q，使得△AOC的面积是△AOQ面积的三分之一？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18 究 探 (2018广安中考)如图，已知抛物线y=1/2x²+bx+c与直线y=1/2x+3交于A、B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（-3，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB-MD|的绝对值最大，并求出这个最大值； （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 连接 MC，则 MC=MD，故问题可转化为|MB-MC|的最大值． 由于三角形中，两边之差小于第三边 所以MB-MC ≦ BC，所以最大值是BC 如图当 B、C、M 三点共线时， |MB-MC|=BC=根号2，为最大值 19 究 探 （3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 思路：已知直角构造直角边成比例 考虑到 A（0，3）、C（-3，0）、B（-4，1），易得△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，且两直角边之比AC/BC=3 若△APQ 与△ABC 相似，则AP/PQ=3或PQ/AP=3 考虑到 AP、PQ 均为斜线，并不容易表示， 可转化比例：(斜化直，如图) 过点 P 作 PH⊥y 轴交 y 轴于 H 点，则由相似可得AP/PQ=AH/HP 20 究 探 AP/PQ=AH/HP 21 业 作 如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点B（3.5,0）． （1）求抛物线解析式； （2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积； （3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O、M、N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 22 结 小 ❷ 对于直角三角形而言，从三角函数的角度来看，两直角边对应成比例与有一组锐角三角函数值相等其实是一回事，对于位置特殊一点的（比如直角边与坐标轴平行），直接表示线段计算，而位置比较一般的可以通过（1）表示线段；（2）构造三垂直相似得到结果． ❶ 双动点问题更多与直角三角形相关，若已知直角，则两直角边成比例即可，若直角边与坐标轴平行，则可用点坐标求得，若直角边为斜线，考虑化斜为直． 23 24 究 探 【2019 锦州中考】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-3/4x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 思路2：已知相等角构造直角 考虑到△BDE 和△ACE 有一组对顶角，即∠BED=∠AEC，且∠ACE=90°， 考虑到△BDE 和△ACE 有一组对顶角，即∠BED=∠AEC，且∠ACE=90°， 故△BDE 中只需存在一个直角即可 思路1：让相等角的两边对应成比例，考虑到本讲的主题是利用直角，所以这个方法我们避开。 25 业 作 【2018铜仁中考】如图，已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26 业 作 27 结 小 若已知三角形有一组锐角相等，且其中一个为直角三角形，则另外的那个三角形为直角三角形即满足相似，问题便转化为构造直角，帮助解题． 28 29 究 探 (2018莱芜中考)如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1,0），B（4,0）， C（0,3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； （3）如图2，设AB的中点为F，连接CD、CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 由一元二次方程最值可知 当m=2时，DE最大，为12/5 30 究 探 如图2，设AB的中点为F，连接CD、CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 若△CDE 中有一个角与∠CFO 相等，考虑到△CDE 是直角三角形，所以此问题等价于△CDE 与△COF 相似． ❶ 已有直角相等，可令∠CFO =∠DCE， 则Tan∠CFO =Tan∠DCE=2 所以DE/CE=2 CE=CH-EH 31 究 探 如图2，设AB的中点为F，连接CD、CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 若△CDE 中有一个角与∠CFO 相等，考虑到△CDE 是直角三角形，所以此问题等价于△CDE 与△COF 相似． ❶ 已有直角相等，可令∠CFO =∠DCE， 则Tan∠CFO =Tan∠DCE=2 所以DE/CE=2 CE=CH-EH G 32 究 探 如图2，设AB的中点为F，连接CD、CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 若△CDE 中有一个角与∠CFO 相等，考虑到△CDE 是直角三角形，所以此问题等价于△CDE 与△COF 相似． ❷ 已有直角相等，可令∠CFO =∠CDE， 则Tan∠CFO =Tan∠CDE=2 所以CE/DE=2 CE=CH-EH 本题解题思路的实质是什么？ 90度角相等，然后该角两边对应成比例 33 究 探 如图2，设AB的中点为F，连接CD、CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 情况一：当∠DCE=∠CFO 时，即 tan∠DCE=2 即PB/BC=2 如图，过点 B 作 BP⊥BC 交 CD 延长线于点 P，过点 P 作 PH⊥x 轴于 H 点 34 究 探 如图2，设AB的中点为F，连接CD、CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 情况一：当∠CDE=∠CFO 时，即 tan∠CDE=2，即CB/BQ=2． 如图，过点 B 作 BQ⊥BC 交 CD 延长线于点 Q，过点 Q 作 QG⊥x 轴于 G 点 35 业 作 【2018 乌鲁木齐中考】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-1/4x²+bx+c经过点A（-2，0）、B（8，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D． ①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； ②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标． 36 业 作 (2018盘锦中考 )如图，已知A（-2，0），B（4，0），抛物线y=ax²+bx-1过A、B两点，并与过A点的直线y=-1/2x-1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N． 问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 37 结 小 以上是关于找相似存在性的一点问题，其实变化样式并不多样，方法也是有迹可循． 但近年也出现了一些其他关系相似存在性的问题，任重而道远不能骄傲。 38 我们本节课主要介绍的是“双动点”类问题 下次直播预报： 学校再见 98664.0 $