二次函数压轴题专题----等腰三角形的存在性专题训练2026年九年级中考数学

2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题----等腰三角形的存在性专题训练 1．如图，抛物线经过点A（6，0）、B（0，－4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若抛物线对称轴与x轴交于点C，连接BC，点P在抛物线对称轴上，使△PBC为等腰三角形，请写出符合条件的所有点P坐标．（直接写出答案） 2．如图，抛物线过两点． (1)求抛物线的解析式． (2)M为抛物线对称轴与x轴的交点，N为对称轴上一点，若，求M到AN的距离． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值； （3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值． 4．如图，抛物线 与直线 相交于，两点，且与x轴交于A 、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ① 当时，求P点坐标； ② 是否存在点P使为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．      5．如图，二次函数的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，求出P的坐标，若不存在，说明理由. 6．如图，抛物线经过的三个点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且． （1）求抛物线的对称轴； （2）写出A，B，C三点的坐标（A，B，C三点的坐标只需写出答案），并求抛物线的解析式； （3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线经过点，且顶点坐标为，它的对称轴与x轴交于点C．    (1)求此抛物线的解析式． (2)在第一象限内的抛物线上求点P，使得是以为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标． (3)上述点是否是第一象限内此抛物线上与距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为． （1）求二次函数的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标； (3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 11．如图①，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（－6，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点M ，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． （3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足最大时，求出Q点的坐标． （4）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 12．如图，抛物线y=－++4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC． (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ； (2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个? 13．如图，抛物线y=-x2+（m+2）x-3（m-1）交x轴于A、B，交y轴于C．直线y=（m+1）x-3经过点A． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q为线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于E，连CQ．当S△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）直线y=kx（k＜0）交直线y=（m+1）x-3于P，交抛物线y=-x2+（m+2）x-3（m-1）于点M，过M作x轴的垂线，垂足为D，交直线y=（m+1）x-3于N．△PMN能否为等腰三角形？若能，求k的值；若不能，说明理由． 14．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动，设交直线于点G， (1)求直线的解析式； (2)设的面积为S，求S关于t的函数解析式； (3)在y轴上找一点M，使和都是等腰三角形，直接写出所有满足条件的M点的坐标； (4)过点P作，垂足为E，当P点运动时，线段的长度是否发生改变，请说明理由， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）（2）． 【详解】试题分析：（1）把点（6，0）、（0，－4）代入抛物线得，．可得 ． （2）点在抛物线对称轴上，当时；当以为圆心；以的长为半径画圆交直线点；当以为圆心，以的长为半径画圆交直线两点， 试题解析：∵抛物线经过A（6，0）、B（0，－4） ∴ 1分 ∴ ∴ 3分 ∴ 5分 （2）． 考点：１．待定系数法求二次函数的解析式．２．等腰三角形性质． 2．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）直接用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先确定出抛物线对称轴，用确定出MN及点N坐标，最后用面积公式求解即可； （3）设出点P的坐标，表示出AB，AP，BP，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过两点， ， ， 抛物线解析式为； （2）由有，抛物线解析式为； 抛物线对称轴为， ， ， ， ， ， 为对称轴上一点， ， ， 设M到AN的距离为h， 在中，， ， 到AN的距离； （3）存在， 理由：设点P(1,m)， ∵A(−1,0),B(0,2)， ∴ ∵△PAB为等腰三角形， ∴①当AB=AP时， ∴ ∴m=±1， ∴P(1,1)或P(1,−1)， ②当AB=BP时， ∴ ∴m=4或m=0， ∴P(1,4)或P(1,0)； ③当AP=BP时， ∴ ∴ ∴． 满足条件的点P的坐标为或或或 ． 【点睛】题目属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，注意利用分类讨论思想和数形结合思想求解是解题关键． 3．（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1． 【分析】（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值． （3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值． 【详解】（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4 ∴C（0，4） 当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4 ∴B（4，0） ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点 ∴    解得： ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4 （2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90° ∴OB＝OC ∴∠OBC＝∠OCB＝45° ∵ME⊥x轴于点E，PB＝t ∴∠BEP＝90° ∴Rt△BEP中， ∴， ∴ ∵点M在抛物线上 ∴， ∴ ， ∵PN⊥y轴于点N ∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90° ∴四边形ONPE是矩形 ∴ON＝PE＝t ∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t ∵MP∥CN ∴△MPQ∽△NCQ ∴ ∴ 解得：（点P不与点C重合，故舍去） ∴t的值为 （3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE ∴∠BPE＝∠PBE＝45° ∴∠MPD＝∠BPE＝45° ①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45° ∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾 ②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45° ∵∠AEM＝90° ∴AE＝ME ∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4 ∴A（﹣1，0） ∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t ∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t＝﹣t2+5t 解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去） ③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM 如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G ∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF ∴CF＝CD ∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m ∴    解得： ， ∴直线AM： ∴F（0，t） ∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t ∵tx+t＝﹣x+4，解得：， ∴， ∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45° ∴， ∴ 解得： 综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据． 4．(1)； (2)①或；②或或或． 【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标； ②由E、B、C三点坐标可表示出，和的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点B的坐标为， 把点，代入抛物线解析式，可得， 解得， ∴ 抛物线解析式为． （2）解：①设点P的坐标为 则，， 则 ， ， ∵， ∴ 当时，解得或， 但当时，P与A重合不合题意，舍去， ∴； 当时，解得或， 但当时，P与A重合不合题意，舍去， ∴； 综上可知P点坐标为或． ②设，则，且，， ∴ 当等腰三角形时，则有、或三种情况， 当时，则，解得， 此时P点坐标为； 当时,则，解得或， 此时P点坐标为或； 当时,则，解得或， 当时，E点与B点重合，不合题意，舍去， 此时P点坐标为； 综上可知存在满足条件的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，两点之间的距离公式，等腰三角形的判定等，注意分类讨论思想在数学中的应用． 5．（1）y＝－x2＋4x－6； （2）S△ABC＝6； （3）点P坐标为（-2，0）或或或 【详解】试题分析：（1）把A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式； （2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式求解． （3）分类讨论，进行求解即可. 试题解析：（1）∵的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点， ∴， 解得b=4，c=-6， ∴这个二次函数的解析式为y＝−x2+4x−6 （2）令-x2+4x-6=0 ∴x2-8x+12=0 解得：x1=2 x2=6 ∴C（4，0） ∴AC=2 ∴S△ABC=×2×6=6 （3）点P坐标为（-2,0）或 6．（1）对称轴 （2），， 抛物线的解析式为（3） 【分析】（1）根据抛物线的解析式，利用对称轴公式，可直接求出其对称轴． （2）令，可求出点坐标，由轴可知，关于抛物线的对称轴对称，可求出点坐标，根据可求出点坐标． （3）分三种情况讨论：①以为腰且顶角为，先求出的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出的长，即可求出的坐标；②以为腰且顶角为角，根据的长和的长，求出的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；③以为底，顶角为角时，依据即可求出和的长，可得坐标． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴； （2）令，， ∴点， ∵轴，点B，C关于对称轴对称， ∴点， 又∵， ∴，，点A在x轴上， ∴， 把点A代入解析式， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x轴交于N，与交于M． 过点作轴于， 易得，，，， 以为腰且顶角为角的有1个：△． ∴ 在中， ∴ 以为腰且顶角为角的有1个：△． 在中， ∴ 以为底，顶角为角的有1个，即△． 画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点． 过点作垂直轴，垂足为， ，， ，， ． ． 于是， ． 存在符合条件的点共有3个．． 【点睛】此题考查了用对称轴公式求函数对称轴方程，用待定系数法求函数解析式等基础知识，还结合等腰三角形的性质考查了点的存在性问题，有一定的开放性． 7．(1) (2) (3)不是，第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标为 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是知：，，则，再把A点坐标代入此解析式即可； （2）易知是等腰直角三角形，可得的垂直平分线是直线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直线与抛物线的交点即为点P，解方程组即可求出P点坐标． （3）先求出第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标，再与P点的坐标比较进行判断．满足条件的点一定是与直线平行且与抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线的解析式，设出与平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点P是否重合来判断点P是否是第一象限内此抛物线上与距离最远的点． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴． ∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴此抛物线的解析式为，即． （2）解：当时，， ∴， ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 过点O作的垂线l，交于点H，    ∴平分，， 即l是的中垂线， ∴l与抛物线的交点即为点P． 设直线l解析式为， 则，解得， ∴直线l的解析式为， 解方程组， 解得或（不合题意舍去）． ∴点P的坐标为； （3）解：点P不是第一象限内此抛物线上与距离最远的点． 理由：由（2）知，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得． ∴直线的解析式为． 设与平行的直线的解析式为． 解方程组， 代入消元，得，即． ∵此点与距离最远， ∴直线与抛物线有且只有一个交点． ∴方程有两个相等的实数根． ∴， 解得． ∴， 解得， 此时． ∴第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中． 8．（1），B（0，3）；（2）x＜0或x＞4；（3）P1（0，），P2（，0）． 【分析】（1）将A点坐标代入y1，可得抛物线的解析式，根据自变量为零，可得B点坐标； （2）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解集，观察图象可得到答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，根据直线AB，可得AB的垂直平分线，根据自变量为零，可得P在y轴上，根据函数值为零，可得P在x轴上． 【详解】解：（1）将A点坐标代入，得：﹣16+13+c=0．解得c=3， ∴二次函数的解析式为， ∵当x=0时，=3， ∴B点坐标为（0，3）； （2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4， ∴x＜0或x＞4时，； （3）存在，解答如下： 根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线l，垂足为C， ∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解解析式为， 则有：，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设AB的垂直平分线l的解析式为：， ∵直线l过AB的中点为（2，）， ∴，解得：， ∴AB的垂直平分线l的解析式为， ①当x=0时，y=，P1（0，）， ②当y=0时，x=，P2（，0）， 综上所述：P1（0，），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形． 考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．综合题；4．压轴题． 9．(1)y=-0.5x2+x+4； (2)P（1，0）； (3)存在，Q1（1，1），Q2（1，）Q3（1，-），Q4（1，4+），Q5（1，4-） 【分析】（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式; （2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出； （3）本题要分三种情况进行讨论：①QC=BC，②QB=BC，③QB=QC，分别求出Q点的坐标即可； 【详解】（1）解：∵x2-2x-8=0， ∴（x-4）（x+2）=0． ∴x1=4，x2=-2． ∴A（4，0），B（-2，0）． 又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∴， 解得， ∴所求抛物线的解析式为y=-0.5x2+x+4； （2）解：设P点坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图所示： ∵点B坐标为（-2，0），点A坐标（4，0）， ∴AB=6，BP=m+2． ∵PEAC， ∴△BPE∽△BAC． ∴BP：AB=EG：CO ， ∴EG：4=(m+2):6， ∴EG=， ∴S△CPE＝S△CBP﹣S△EBP BP•COBP•EG． ∴S△CPE（m+2）（4） m2． ∴S△CPE（m﹣1）2+3． 又∵﹣2≤m≤4， ∴当m＝1时，S△CPE有最大值3． 此时P点的坐标为（1，0）． （3）解：存在Q点， ∵BC=＝， 抛物线y=-0.5x2+x+4的对称轴为x＝， ∴可设Q（1，n），则 当BQ=CQ时，则32+n2=12+（n-4）2， 解得：n=1， 即Q1（1，1）； 当BC=BQ=,时，9+n2=20， 解得：n=±， ∴Q2（1，），Q3（1，-）； 当BC=CQ=时，1+（n-4）2=20， 解得：n=4±， ∴Q4（1，4+）, Q5（1，4-）； 综上可得：坐标为Q1（1，1），Q2（1，）Q3（1，-），Q4（1，4+），Q5（1，4-）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键． 10．（1）y=-x2-2x+3；（2）存在，P（-1，）或P（-1，-）或P（-1，6）或P（-1，）；（3）当a=-时，S四边形BOCE最大，且最大值为，此时，点E坐标为（-，） 【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论： ①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标． ②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）． ③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标； （3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE=S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标． 【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(−3,0)， ∴ 解得：. ∴所求抛物线解析式为：y=−x2−2x+3； (2)∵抛物线解析式为：y=−x2−2x+3， ∴其对称轴为， ∴设P点坐标为(−1,a)，当x=0时，y=3， ∴C(0,3),M(−1,0) ∴当CP=PM时,(−1)2+(3−a)2=a2,解得a=， ∴P点坐标为：； ∴当CM=PM时,(−1)2+32=a2,解得， ∴P点坐标为：或； ∴当CM=CP时,由勾股定理得：(−1)2+32=(−1)2+(3−a)2，解得a=6， ∴P点坐标为：P4 (−1,6). 综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或 或P(−1,6)或； (3)过点E作EF⊥x轴于点F,设E(a,−a2−2a+3)(−3<a<0) ∴EF=−a2−2a+3，BF=a+3，OF=−a ∴ ∴当a=时,S四边形BOCE最大,且最大值为. 此时,点E坐标为. 11．（1）y=-x2-2x+6； （2）P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）； （3）当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大； （4）最大值为；E坐标为（-3，）． 【详解】试题分析：（1）将点A（2，0）和点B（-6，0）分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线的解析式； （2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2，再求出M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，6），根据M、C的坐标求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①CP=PM；②CM=MP；③CM=CP； （3）由抛物线的对称性可知QB=QA，故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC|最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到Q点的坐标； （4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标． 试题解析：（1）由题知： ， 解得：， 故所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+6； （2）∵抛物线解析式为：y=-x2-2x+6， ∴对称轴为x=， 设P点坐标为（-2，t）， ∵当x=0时，y=6， ∴C（0，6），M（-2，0）， ∴CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40． ①当CP=PM时，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=， ∴P点坐标为：P1（-2，）； ②当CM=PM时，40=t2，解得t=±2， ∴P点坐标为：P2（-2，2）或P3（-2，-2）； ③当CM=CP时，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12， ∴P点坐标为：P4（-2，12）． 综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）； （3）∵点A（2，0）和点B（-6，0）关于抛物线的对称轴x=-2对称， ∴QB=QA， ∴|QB-QC|=|QA-QC|， 要使|QB-QC|最大，则连结AC并延长，与直线x=-2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=-2的交点， 设直线AC的解析式为y=kx+m， ∵A（2，0），C（0，6）， ∴， 解得， ∴y=-3x+6， 当x=-2时，y=-3×（-2）+6=12， 故当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大； （4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（n，-n2-2n+6）（-6＜n＜0）， 则EF=-n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n， S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF =（n+6）•（-n2-2n+6）+（6-n2-2n+6）•（-n） =-n2-9n+18=-（n+3）2+， 所以当n=-3时，S四边形BOCE最大，且最大值为 此时，点E坐标为（-3，）． 考点：二次函数综合题． 12．（1）A（0,4） C（8,0）；（2）（0，4）、（8-2，）；（3）S=16． 【详解】试题分析：(1)、根据x=0和y=0分别求出点A和点C的坐标；(2)、首先求出点D的坐标，CD的长度和直线AC的解析式，然后分DE=DC，DE=EC和DC=EC三种情况分别求出点E的坐标；(3)、首先设出点P和点Q的坐标，然后列出面积的函数关系式，然后进行求解. 试题解析：(1)、A（0,4） C（8,0） (2)、易得D（3，0），CD=5， 设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则： 解得：； ∴y=-x+4； ①当DE=DC时， ∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴（0，4）； ②过E点作EG⊥x轴于G点， 当DE=EC时，由DG=， 把x=OD+DG=3+=代入到y=-x+4，求出y= 可得； ③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD， 则△CEG∽△CAO， ∴，又OA=4，OC=8，则AC=4，DC=EC=5， ∴EG=，CG=2， ∴（8-2，）； 综上所述，符合条件的E点共有三个：（0，4）、、（8-2，） (3)、如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC与点Q； 设P（m，-+m+4），则Q（m，-m+4）． ①当0＜m＜8时， PQ=（-+m+4）-（-m+4）=-+2m， S=+=×8×（-+2m）=-+16， ∴0＜S≤16； ②当-2≤m＜0时， PQ=（-m+4）-（-+m+4）=－2m， S=-=×8×（－2m）=-16， ∴0＜S＜20；                             ∴当0＜S＜16时，0＜m＜8中有m两个值，-2＜m＜0中m有一个值，此时有三个； 当16＜S＜20时，-2＜m＜0中m只有一个值； 当S=16时，m=4或m=4-4这两个． 故当S=16时，相应的点P有且只有两个 考点：(1)、二次函数的性质；(2)、等腰三角形的性质. 13．（1） y=-x2+2x+3;（2） Q（1，0）（3） k=-1或k=1-． 【详解】试题分析：（1）利用二次函数与x轴的交点求函数的解析式，当y=0时就可以求出点A、B的坐标．再利用直线的解析式求出m的值从而求出二次函数的解析式． （2）要求面积最大时Q点坐标，就应该想到建立有关的表示三角形面积的二次函数求最值，把△CEQ的面积表示出来就可，关键是利用三角形相似求出△BQE的高． （3）根据等腰三角形的判定及性质分情况讨论所成的等腰三角形，首先可以利用直线y=x-3求出于y轴的交点．然后就可以根据情况求出k值． 试题解析：（1）由-x2+（m+2）x-3（m-1）=0， 得x1=m-1，x2=3． ∴A（3，0）B（m-1，0）． ∵直线y=（m+1）x-3过A点， ∴m=0， ∴函数解析式分别为：y=-x2+2x+3，y=x-3； （2）把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3． ∴C（0，3）． 设Q（m，0），过点D作DE⊥x轴于D． 由（1）知：B（-1，0），A（3，0）， ∴AB=4，BQ=m+1 ∵EQ∥AC，∴△BQE∽△BAC， ∴， 即， ∴DE= ∴S△CPD=S△CAP-S△DAP = = = ∴当m=1时，S△CPD有最大值，此时Q（1，0） （3）设直线y=x-3交y轴于点C ∴C（0，-3），A（3，0） ∴OC=OA ∴∠OAC=∠NAD=45° 若△PMN为等腰三角形，且k＜0，则PN=PM． 当PN=PM时，则∠PNM=∠PMN=45° ∵∠ODM=90° ∴OD=DM，设M的坐标为（m，-m） ∴-m=km，k=-1 当PN=MN时， ∵MN∥OC ∴ ∠ACO=∠PN ∴PC=OC=3 过点P作PH垂直y轴于H ∴PH=CP=,CH=PH=,OH=3- ∴P（，3-） 又点P在直线y=kx上 ∴-3=k k=1- 综上，k=-1或k=1-． 考点：二次函数综合题． 14．(1)； (2)； (3)一共四个点，，，，； (4)当P点运动时，线段的长度不发生改变，为定值． 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）求出点A、C的坐标，用待定系数法即可解答； （2）根据题意进行分类讨论：当时，，结合三角形的面积公式，即可解答；当时，，结合三角形的面积公式，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，，②当时，，则，③当时，或即可解答； （4）线段的长度不发生改变．当点P在线段上时，过点Q作于点F，通过证明，得出，再证明，则得出则当点P在线段上时，同理可证，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， ∴， 设直线的解析式， 把代入后得： ， 解得：， ∴直线的解析式； （2）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， （3）解：①当时，如图：， ②当时，， ∴， ③当时，或 ∴或， 综上：，，，； （4）解：线段的长度不发生改变． 证明：当点P在线段上时，过点Q作于点F， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 当点P在线段上时，同理可证， ∴线段的长度不发生改变． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $