2026年九年级数学中考复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》考前冲刺专题训练

2026年九年级数学中考复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》考前冲刺专题训练 1．已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝ax2+k（a＞0，k＜0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），其顶点为C，点P为线段OC上一点，且PC＝OC．过点P作DE∥AB，分别交抛物线于D，E两点（点E在点D的右侧），连接OD，DC． (1)直接写出A，B，C三点的坐标；（用含a，k的式子表示） (2)猜想线段DE与AB之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)若∠ODC＝90°，k＝﹣4，求a的值． 3．如图，二次函数与轴交于，两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合． (1)求二次函数的表达式； (2)①求证：； ②求的最小值； 4．如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； (3)是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y=x-ax+b交x轴于A、B两点（点B在点A 的右边），交y轴的正半轴于C点． （1）若OC=2，∠OBC=30°，试确定a、b的值；       （2）若b=1，求证：△OAC∽△OCB． 6．如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式和点B的坐标； (2)点D是线段（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则点Q的坐标为 ； (3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，请直接写出新抛物线的顶点坐标为及 的最小值为 ． 7．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值； (3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，： ，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由． (4)已知点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段上一动点，过点P作轴于点C，交抛物线于点D． (1)若抛物线的解析式为，设其顶点为M，其对称轴交于点N． ①求点M和点N的坐标； ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，请直接写出点Q的坐标； ③是否存在点P，使四边形为菱形？并说明理由； (2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线C：y=x+4x+4(0＜＜2)， （1）当C与x轴有唯一交点时，求C的解析式； （2）若=1，将抛物线C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C，抛物线C与x轴相交于M、N两点（M点在N点的左边），直线y=kx（k＞0）与抛物线C相交于P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍，求k的值； （3）若A（1，y），B（0，y），C（－1，y）三点均在C上，连BC，作AE∥BC交抛物线C于E，求证：当值变化时，E点在一条直线上． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过A，B两点，且与x轴的负半轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)请判断的形状，并说明理由； (3)若点D为直线上方抛物线上的一个动点， ①连接交于点E，求的最大值： ②过点D作x轴的垂线交于点P，交x轴于点Q，若点F是的中点，是否存在以点B，D，P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线经过两点，与轴交于两点． (1)求抛物线的解析式： (2)点为第四象限抛物线上一动点，点横坐标为，直线与交于点，连接． ①如图1，若时，求的值： ②如图2，直线与抛物线交于点，连接．问：是否为定值？若是，请求出这个定值：若不是，请说明理由． 12．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． (3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+m﹣1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，若A点坐标为(x1，0)，B点坐标为(x2，0)（x1≠x2）． （1）求m的取值范围； （2）如图1，若x12+x22＝17，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，请解答下列两个问题： ①如图1，请连接AC，求证：△ACB为直角三角形． ②如图2，若D(1，n)在抛物线上，过点A的直线y＝﹣x﹣1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 14．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． (1)则点A的坐标为_________，点B的坐标为_________，点C的坐标为_________； (2)设点，（其中）都在抛物线上，若，请证明：； (3)已知点M是线段上的动点，点N是线段上方抛物线上的动点，若，且与相似，试求此时点N的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 2．(1)点A、B、C的坐标分别为、、(0，k) (2)DE＝AB，理由见解析 (3)a＝ 【分析】（1）对于y=ax2+k，令y=ax2+k=0，解得，令x=0，则y=k，即可求解； （2）求出点P的坐标为（0，k），则当yP=k时，则yP=k=ax2+k，解得，则，进而求解； （3）证明△ODP∽△DCP，得PD2=OP•PC，即可求解． 【详解】（1）对于y＝ax2+k，令y＝ax2+k＝0，解得x＝±，令x＝0，则y＝k， 故点A、B、C的坐标分别为（﹣，0）、（，0）、（0，k）； （2），理由： ∵， 则，故点P的坐标为， 当yP＝k时，则yP＝k＝ax2+k， 解得，则， 由点A、B的坐标得：； （3）当k＝﹣4时， 由（1）（2）知，OP＝3，PC＝4﹣3＝1，， ∵∠ODP+∠CDP＝90°，∠CDP+∠DCP＝90°， ∴∠ODP＝∠DCP， 又∠OPD=∠DPC=90° ∴△ODP∽△DCP， ∴ ∴PD2＝OP•PC， 即（）2＝3×1，解得a＝． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、三角形相似等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先证明，得到，由折叠的性质可知，则，再由，即可证明；②由折叠的性质可得，由相似三角形的性质得到，则，进而推出当时，最小，求出，则，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）证明：①∵点C是二次函数的顶点，O、A关于二次函数对称轴对称， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵， ∴； ②由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴要使最小，即要使最小， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， ∵二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①当时，线段的长最大值为，②证明见详解 (3)或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案；② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图3.2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3.3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 5．（1）；（2）见解析 【分析】（1）在中，解直角三角形即可求得，进而求得的坐标，进而待定系数法求二次函数解析式即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为．二次函数的解析式可以为，根据已知条件可得，又根据两边成比例夹角相等即可证明 【详解】解：（1）， ． ． 代入， 得 解得 （2）设点的坐标为，点的坐标为． ∴二次函数的解析式可以为． ， ． ， ． ． 又， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．(1)； (2)或 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当时，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可； （3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是的最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点． 【详解】（1）解：∵点A，C坐标分别为， ∴，解得： ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似， ∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形， 又∵轴，直线交直线于点N， ∴，即点N不与点O是对应点． 故分为和两种情况讨论： ①当时， ∵轴， ∴轴，即在x轴上， 又∵点Q在抛物线上， ∴此时点B与点Q重合， 作出图形如下： 此时， 又∵， ∴，即此时符合题意， ∴此时点Q的坐标为 ②当时，作图如下： ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即此时符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的横坐标为q，则，， ∴， ∴， 解得： (舍去)， ， ∴， ∴点Q的坐标是综上所述：点Q的坐标是或； （3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点， 作出图形如下： 由平移的性质得：，的值最小就是的最小值， ∴点在直线上运动， 作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， ∴， ∴， 设直线的解析式是： ， 将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 令，解得：， ∴点， 即平移的距离是， 又∵， ∴平移前的抛物线的坐标是， ∴新抛物线的顶点坐标为，即． 故答案是：，． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决． 7．(1)抛物线的表达式为 (2)；周长最小值 (3)时，取得最大值为； (4)存在， 【分析】（1）将点和点代入待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求得点的坐标，根据抛物线的性质以及轴对称的性质，可得点即为抛物线对称轴与的交点，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）过点作轴交的延长线于点，设，则，证明，根据：，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，则得出关于的解析式，根据二次函数的性质，求得当时，线段取得最大值，进而得出，根据菱形的性质可得，建立方程，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得： ∴； （2）解：∵， 对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为； ∵关于对称， 如图所示，连接交于点，连接，则点即为所求， ∵ ∴当共线时，的周长最小， ∴当时，，则； ∵，，， ∴,， ∴的周长为； （3）解：如图所示，过点作轴交的延长线于点， 设， ∵轴，的纵坐标等于的纵坐标， ∴的横坐标为，即 ∴， ∵，， ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∵： ∴ ∴当时，即时，取得最大值为； （4）解：依题意，设，则 ∴ 则当时，线段取得最大值 则， 又 ∴ ∵点是抛物线对称轴上一点，设，依题意，四边形是菱形， ∴ ∴ 解得： ∴ 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．(1)①，，②，③不存在，理由见解析 (2)存在，或． 【分析】（1）①函数的对称轴为：，故点，将代入直线解析式可得的坐标，从而得解； ②设抛物与x轴左侧的交点为，则点A与R关于抛物线的对称轴对称，连接并延长交抛物线的对称轴于点Q，则点Q为所求，即可求解 ③四边形为菱形，首先，即，解得：或(舍去)，故点，而，即可求解； （2）分为直角、为直角两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①函数的对称轴为：，故点， 当时，，故点； ②设抛物线与轴左侧的交点为，则点与关于抛物线的对称轴对称， 连接并延长交抛物线的对称轴于点，则点为所求，    将、的坐标代入一次函数表达式：并解得： 直线的表达式为：，当时，，故点； ③不存在，理由： 设点，则点，    ， 四边形为菱形，首先， 即，解得：或(舍去)， 故点，而， 故不存在点，使四边形为菱形； （2）当点的横坐标为1时，则其坐标为：，此时点、的坐标分别为：、 ， ①当为直角时，以、、为顶点的三角形与相似，    则，，则， ，， 则，故点； ②当为直角时，以、、为顶点的三角形与相似， 则轴，则点、关于抛物线的对称轴对称，故点， 综上，点的坐标为：或， 设抛物线的表达式是，将点A、B、D的坐标分别代入抛物线的表达式可得： ， 解得 ， 所以得， 或者有 ， 解得 ， 所以得：， 所以存在，抛物线的解析式为：或为所求． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形的性质、三角形相似等知识点，解题的关键是会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，灵活运用相似比表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 9．（1）；（2）；（3）证明详见解析． 【详解】试题分析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，可知有两个相等的实数根，据此求出a的值； （2）设P（，），Q（，），得到、为方程－1=kx的两根，∴=－1 ∴=－，=2，进而得到k=； （3）作CD⊥y轴于D，作AQ⊥x轴于Q，作EG⊥AQ于G，则△AEG∽△BCD，设E(，) ，得到关于的等式，解得的值，即可得到点E所在的直线关系式． 试题解析：(1)抛物线C与x轴有唯一交点，即当y=0时，有两个相等的实数根，此时，解得：a=，因为0＜＜2，所以a=1，所以抛物线C的解析式为； （2）设P（，），Q（，），则：=－4，∴=－4，且、为方程－1=kx的两根，∴=－1 ∴=－，=2，∴k=． (3) 作CD⊥y轴于D，作AQ⊥x轴于Q，作EG⊥AQ于G，则△AEG∽△BCD，∴，设E(，) ，∴="a+4+4a" ，="4a" ，=a－4+4a，=a+4+4a，∴，∵≠1，∴=－2，即E点在直线x=－2上． 考点：二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的综合应用． 10．(1) (2)为直角三角形，理由见解析 (3)①的最大值为1；②D坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，然后利用勾股定理的逆定理计算即可解题； （3）①设点D的坐标为，则点，可以表示的长，然后利用二次函数求比值的最大值即可； ②分和两种情况，利用平行线的性质进行解题即可． 【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ，解得， 故抛物线的表达式为． （2）为直角三角形．理由如下： 令得， 解得（舍去） ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形． （3）①过点D作y轴的平行线交于点P， 则，即，    设点D的坐标为，则点， 则， ∴， ∵，故存在最大值，此时的最大值为1． ②∵点D是的中点， 在中， 即为等腰三角形， ∵ ∴， ∵， ∴． 若以点B，D，P为顶点的三角形与相似，    则i），即， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：（舍去）， ∴D坐标为； ii），即 由第一种情况可知， ∴ 解得：（舍去）， ∴D坐标为； 综上所述，D坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、相似三角形判定与性质、平行线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握二次函数的性质，相似三角形性质与判定以及正确添加辅助线是解答此题的关键． 11．(1) (2)①；②是定值，定值为，理由见解析 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①先求出A、B两点坐标；作轴于点H，证明，得出，设，用含t的代数式表示出，代入求出t值即可；②利用待定系数法依次求出直线和的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立，求出点E的坐标，再根据，即可证明是否为定值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①由（1）知， 令，则，解得， ∵点A在点B的左侧， ∴． 如图，作轴于点H， 若，则， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C为在抛物线的第四象限上， ∴设， ∴， ∴，化简得，解得， ∵点C在第四象限上， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②是定值，定值为，理由如下： 设直线的解析式为, 将代入, 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴． 设直线的解析式为, 将代入, 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点E的横坐标为， ∴点E的纵坐标为：， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查主要考查了二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式、求抛物线与坐标轴的交点、求抛物线与直线的交点、利用坐标求三角形的面积等知识点，正确作出辅助线、并掌握数形结合思想是解题的关键． 12．(1)二次函数的解析式为： (2)点D的坐标为或 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点D作于H，根据抛物线的对称性求出，设，根据，得出，则，解方程得，，即可求解； （3）结合可求直线的解析式，联立直线与抛物线可得，结合与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线的解析式为，联立直线与抛物线可得，进而，得出，过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K，证明，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解. 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：过点D作于H， 抛物线交y轴于点， ∵、B关于直线对称， ∴． 设． ∵， ∴，即 ∴ ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点D的坐标为或． （3）解：与的数量关系为：． 理由如下：设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴ 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∵与抛物线有唯一交点F， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴． 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∴，即， ∴， ∴． 过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K， 则， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， ∴． 13．（1）m＞﹣；（2）y＝﹣x2+x+2；（3）①见解析；②存在，P(，0)或(﹣，0) 【分析】（1）利用根的判别式，若有两个实根，则； （2）利用一元二次方程两根与系数的关系，又x12+x22＝17，即可求解； （3）①求出A，B，C三点坐标，计算得出AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，根据勾股定理逆定理即可求解； ②分△PBD∽△BAE、△PBD∽△EAB两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）△＝（）2﹣4×（﹣）（m﹣1）＝+2m﹣2＝2m+， 由题可得2m+＞0， ∴m＞﹣； （2）∵x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2（m﹣1）， 又x12+x22＝17， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝17∴32+4（m﹣1）＝17， ∴m＝3， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2； （3）①证明：令y＝0，﹣x2+x+2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0） 令x＝0，y＝2， ∴C（0，2）， ∴AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25 ∴AC2+BC2＝AB2∴△ACB为直角三角形； ②根据抛物线的解析式易知：D（1，3）， 联立直线AE、抛物线解析式：，解得或， ∴E（6，﹣7）， ∴tan∠DBO＝1，即∠DBO＝45°，tan∠EAB＝1，即∠EAB＝45°， ∴∠DBA＝∠EAB， 若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况： ①△PBD∽△BAE； ②△PBD∽△EAB． 易知BD＝3，EA＝7，AB＝5， 由①得：，即，即. 由②得：，即，即PB＝，OP＝OB﹣BP＝﹣， ∴P（，0）或（﹣，0）． 【点睛】本题是一道关于二次函数的综合题目，涉及到的知识点有二次函数的图象及其性质，根的判别式，求根公式，相似三角形的判定定理及其性质，二元二次方程组的应用等，掌握以上知识点是解此题的关键． 14．(1)（1，0），（4，0），(0，2)； (2)证明见解析； (3)点N的坐标为（，）或（3，2）． 【分析】（1）分别令和，即可求出点A、B、C的坐标； （2）由题意，结合，利用作差法即可求出，即可得到结论成立； （3）过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥GN于点H，先求出直线BC的函数表达式为，然后分成两种情况进行分析：①CN：MN=1：2或②CN：MN=2：1，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵与x轴交于点A、B，与y轴交于点C． 令，则； ∴点C的坐标为（0，2）； 令，则， 解得：或； ∴点A为（，0），点B为（4，0）； 故答案为：（，0），（，0），（0，2）； （2）解：∵，由题意得 =． ∵， ∴． ∴． （3）解：过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥GN于点H． 由点B、C的坐标分别为（4，0），(0，2)， 易得直线BC的函数表达式为． 设点N的坐标为（n，），则GN=n，GC=． 当∠CNM=90°时，易得△CNG∽△NMH． ①△CMN中CN：MN=1：2， 则易得NH=2()=，HM=2 n． ∴点M的坐标为（，）． 该点在直线BC上，则有=． 解得：（舍去）， ． 此时可得点N坐标为（，）． ②若△CMN中CN：MN=2：1， 则易得NH=()=，HM=n． 所以点M的坐标为（，）． 可得=（）+2． 解得：（舍去）， ． 此时可得点N坐标为（3，2）． 综上所述，点N的坐标为（，）或（3，2）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用作差法比较大小，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，运用分类讨论、数形结合的思想进行解题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $