2026年九年级数学中考复习 二次函数与特殊四边形综合压轴题 考前冲刺专题训练

2026年九年级数学中考复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》考前冲刺专题训练 1．在热播的《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战．一次，他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)如图（1），若点P是第一象限内抛物线上的一动点，象征着哪吒和敖丙在飞行中的某个位置．当点P到直线的距离最大时，求的面积． (3)备用图（2），若哪吒站在抛物线上的一点M处，点N是抛物线对称轴上一点，点N象征着哪吒在探索未知的旅程中遇到的新伙伴．是否存在以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出哪吒站点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)求证：△AOC∽△COB； (2)过点C作CDx轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ＝AC． 3．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为、、，将此三角板绕原点O逆时针旋转，得到三角形． (1)一抛物线经过点、、B，求该抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形的面积是面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上有一动点M，对称轴上有一动点N，求当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时点N的坐标． 5．如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线． (1)已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式； (2)如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若； ①求直线的关联抛物线的表达式； ②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由； 6．已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点， (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 7．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且． ①求点E的坐标． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．    (1)如图1，当时，求证：为直角三角形； (2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若． 直接写出n的值． 9．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线的对称轴上，若线段绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． (3)连结，H是抛物线上一动点，过点H作的平行线交x轴于点F，是否存在以点A、C、H、F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出满足要求的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点左侧），与轴相交于点．已知点坐标为，，面积为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，为新抛物线对称轴上一点，为平面内一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，且顶点为，点，为该二次函数的图象上两点，点横坐标为． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，若点在轴左侧，且，求点的坐标； (3)如图2，若平行于轴，过点作交于点，设，，求与的函数关系式； (4)若点位于点左侧，、两点间的水平距离为，以为对角线作矩形使其各边分别与轴或轴平行，若矩形的周长与抛物线上、两点间纵坐标的最大值相等，求的值． 13．已知抛物线：经过点，与x轴交于、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知，以为顶点作平行四边形，若两点都在抛物线上，求两点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿轴平移，使其顶点在轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于两点，过的直线与抛物线都只有唯一公共点，求证：点在定直线上运动． 14．已知抛物线的顶点为点． （1）求证：不论为何实数，该抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线，求的值和点坐标； （3）如图，直线与（2）中的抛物线并于两点，并与它的对称轴交于点，直线交直线于点，交抛物线于点．求当为何值时，以为顶点的四边形为平行四边形．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)4 (3)存在，M为或或 【分析】（1）将A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c即可； （2）过作轴于，交于，过点作于，根据几何关系知最大时，最大，设出P的坐标，表示出，根据二次函数性质求出其最大值后即可； （3）分三种情况讨论：以为对角线，以为对角线，以为对角线，利用平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式即可求解． 本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，等腰直角三角形，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度．体现了对数学几何直观、运算能力、推理能力的核心素养要求． 【详解】（1）解：将代入，得， 将代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）过作轴于，交于，过点作于，如图： 在中，令，得，解得或， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， 利用勾股定理可得， 当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入，得， ， ∴直线解析式为， 设，则， ， ∴当时，最大为2， 此时，； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设而， ①以为对角线，则的中点重合，如图∶ ∴，解得， ∴； ②以为对角线，则的中点重合，如图∶ ，解得， ， ③以为对角线，则中点重合，如图∶ ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为或或． 2．(1)证明见解析 (2)经过秒或秒时，PQ＝AC 【分析】（1）可先根据抛物线的解析式求出A，B，C的坐标，然后看OA，OC，OB是否对应成比例即可； （2）根据抛物线的对称性可知：AC=BD，四边形ABDC为等腰梯形，那么本题可分两种情况进行求解： ①当四边形APQC是等腰梯形，即四边形PQDB是平行四边形时，AC=PQ，那么QD=PB，可据此来求t的值． ②当四边形ACQP是平行四边形时，AC=PQ，那么此时AP=CQ，可据此求出t的值． 【详解】（1）解：当y=0时，即=0， 得， 当x=0时，y=－2． ∴ A（1，0），B（4，0），C（0，－2）． ∴OA=1，OB=4，OC=2， ∴，， ∴ ． 又∵∠AOC=∠BOC ∴△AOC∽△COB． （2）设经过t秒后，PQ=AC．由题意得：AP=DQ= t ∵A（1，0）、B（4，0） ∴AB=3，     ∴BP=3－t， ∵CDx轴，点C（0，－2）   ∴点D的纵坐标为－2． ∵点D在抛物线y=上 ∴D（5，－2）    ∴CD=5    ∴CQ=5－t     ① 当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时，PQ=AC． 即t=5－t      ∴t=． ② 连结BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时，PQ=BD=AC 即t=3－t       ∴t=． 所以，经过秒或秒时，PQ=AC． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 3．(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 4．(1) (2) (3)，， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到点、的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）作，设出点坐标，分割法表示出四边形的面积，根据四边形的面积是面积的4倍，列出方程进行求解即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）存在， 设，连接， ∵，， ∴， ∵四边形的面积是面积的4倍， ∴ ， 解得， ∴，即； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∵、， 当A，B，M，N四点围成的图形为平行四边形时，分3种情况讨论； ①当为对角线时，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当为对角线，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为对角线，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 5．(1)：y= (2)①直线的关联抛物线；②； 【分析】（1）分别将、代入，求出、两点坐标，根据旋转的性质可得，由此求出的坐标，再用待定系数法求的表达式； （2）①连接、，易得是等腰直角三角形，由此计算出，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得的长，利用勾股定理求出，从而得点的坐标，再利用待定系数法求的表达式； ②根据四边形是平行四边形，可得，，过点作直线于点，证明，可得，所以点的横坐标为，进而可以求出点的坐标． 【详解】（1）解：， 当时，， ； 当时，即，解得， ， 由旋转的性质可知，， ． 设的解析式为， ，解得， 直线的关联抛物线； （2）解：①如图，连接、， 为中点，为中点， 由旋转的性质可知：，， 是等腰直角三角形， 为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， 直线，当时，， 点，即． 由旋转的性质可知，， 点． 在中，， ， 设的解析式为， ， 解得， 直线的关联抛物线； ②如图，点在直线上运动，点在抛物线上， 四边形是平行四边形， ，， 过点作直线的垂线于点， ， ， ,， ， ， 点的横坐标为， ； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 6．(1) (2) (3)点G的坐标为或或 【分析】本题考查求二次函数的解析式与一次函数的解析式，二次函数与一次函数的性质，一元二次方程，二元一次方程组，菱形的性质，勾股定理中两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）由抛物线经过点和，得到二元一次方程组，求解即可； （2）先求出，设点，求出直线的解析式为得到，分别求出，，列方程求解即可； （3）先求出直线的解析式为，设，分类讨论：①当为对角线时，②当为边，为边时，③当为边，为对角线时，有，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴ 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点， 令，得， ∴解得或， 即． 设点，其中 ∵直线过点， ∴设直线的解析式为，将代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得 ， ∴， 即． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 即， ， 解得或2或， ∵， ∴， 当时，， ∴． （3）设直线的解析式为， 将分别代入，得 ， ∴直线的解析式为， ∵F在直线上， ∴设， ①当为对角线时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴F、G关于y轴对称， ∴点F的纵坐标为， 解得， 即， ∴； ②当为边，为边时，如图 ∵四边形是菱形，且在y轴上， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，， ∴， 则， ∴． 当时，， ∴， 则， ∴． 如图所示 ∴点G的坐标为或； ③当为边，为对角线时，有，如图 此时点F与点B，E重合，不符合题意， 或此时点F与点C，E重合，不符合题意，如图所示 综上所述，点G的坐标为或或． 7．(1)； (2)四边形是平行四边形；理由见解析 (3)①；②点的坐标为或或． 【分析】（1）将点代入，再由对称轴可得，分别求出、的值即可求解； （2）求出直线的解析式，设，则，则，求出，，即可判断四边形是平行四边形； （3）过点作轴的垂线，过点作轴交于点，过点作轴的垂线，可得，再由，设，则，求出，，设，分三种情况讨论：当时，由，求出或；当时，，此时无解；当时，的中点，由，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 对称轴为直线， ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：四边形是平行四边形 令，则， ， 令，则， 或， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，的长度最大， ，， ，， ， 平行于 四边形是平行四边形； （3）解：①过点作轴的垂线，过点作轴交于点，过点作轴的垂线， ∵轴， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍）或， ； ②存在点，使得为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 设， 当时，， ， 或； 当时，， 此时无解； 当时，的中点， ， ， ， 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 8．(1)见解析 (2)满足条件的点P的坐标为，， (3) 【分析】（1）由，可得抛物线解析式，再分别令，，求得，，，再利用两点间的距离公式求得，，，再根据勾股定理逆定理即可得出结论； （2）由（1）可知，，设出点P坐标，再根据平行四边形的性质分类讨论：当直线时，当点P在点Q的左侧时，当点P在点Q的右侧时；当直线与直线相交时，求出点P坐标即可； （3）设出点D坐标，利用相似三角形的相似比表示，再由由一元二次方程根与系数的关系表示，进而找到b与a的关系，代入抛物线求值即可． 【详解】（1）证明：当时，， 令，，解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形． （2）解：由（1）可知抛物线的对称轴为，抛物线解析式为， ∵，， 设点， ①当直线，点P在点Q的左侧时（如图所示）， 当平移到的位置时，四边形为平行四边形， 此时，即，． ，此时点P坐标为，    当点P在点Q的右侧时（如图所示） 同理可得：，． ，此时点P的坐标为， ②当直线与直线相交时，如图所示： 此时点P到y轴的距离等于点B到对称轴的距离． 即． ，此时点P的坐标为．    综上所述，满足条件的点P的坐标为，，． （3）解：设点D坐标为， ∵，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∴， 将点，代入得， ，解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、三角形相似与平行四边形的性质、两点间的距离公式，综合运用数形结合分类讨论思想是解题的关键． 9．(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． （）由点的坐标可知的长，根据，即可得出点的坐标，再根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （）根据抛物线求得对称轴直线，设点的坐标为，过作对称轴于，过作对称轴于，分当时，时，①当时，利用相等的边角关系即可证出，由此即可得出点的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出值，由此即可得出点的坐标；②当时，，结合图形找出点的位置，由此即可得出点的坐标，综上即可得出结论； （）假设存在，设点的坐标为，分点在轴上方和下方两种情况考虑，根据平行四边形的性质结合点的坐标即可表示出点的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出值，从而得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和， ∴设抛物线的交点式为， ∵抛物线与轴交于点，且， ∴点坐标为代入， 得，即， 解得， ∴抛物线的解析式为， 展开可得； （2）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，设， 如图，过作对称轴于，过作对称轴于， ①当时， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵对称轴于， ∴， ∴， 在与， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴的坐标为， ∵在抛物线上， ∴把代入， 得：或(舍去）， ∴ ②当时，要使，则重合， ∵， ∴， ∴， 综上点P的坐标或． （3）解：假设存在，设点的坐标为，以点为顶点的平行四边形分两种情况 (如图)： ①当点在轴上方时，则，，， ∴代入抛物线， 得， 解得：或(舍去）， ∴， ②当点在轴下方时，则，，， ∴代入抛物线， 得， 解得：，， ∴或， 综上：或或， ∴存在以点为顶点所组成的四边形是平行四边形； 10．(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 11．(1)； (2)面积最大值为，点P的坐标为； (3)点的坐标为或或或，见解析． 【分析】（1）根据题意先求出，，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． （2）过点作轴平行线，交直线于点，连接，，再利用待定系数法求得直线解析式为：，故可设，，根据三角形面积可得，即可求得面积最大值为，点P的坐标为． （3）根据抛物线移动可得新抛物线的解析式为：，即新抛物线的对称轴为直线，设，分成当线段为菱形的对角线时、当线段为菱形的边时的两种情况，再当线段为菱形的边时，分成、的两种情况分别讨论，结合勾股定理，菱形的性质和二次函数的性质即可求解， 【详解】（1），，， ，， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴平行线，交直线于点，连接，，如图所示： 设直线解析式为：， 将，代入上式，可得， 解得：， ∴直线解析式为：， 故可设，， ∵，， ∴， ∴， ∴面积最大值为，点P的坐标为． （3）解：，该抛物线向左移动个单位， 新抛物线的解析式为：， 新抛物线的对称轴为直线， 设； 当线段为菱形的对角线时，， ，， ，， ，解得， ， ，， ，， ； 当线段为菱形的边时， ，， ，，， ①当时， ，即， 或； 或； 直线为， 当时，， 在直线上，不合题意，舍去， ，， ，， ； ②当时， ，即， 或； 或； ，， ， 或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，菱形的性质和二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得直线的解析式为，过点作轴交延长线于点，过，两点分别作，分别交于，两点，得出点坐标为，点坐标为，进而根据，解方程，即可求解； （3）依题意得出，根据点坐标为，进而得出根据，即可求解； （4）依题意，点坐标为，，分别表示出，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数， ， 解得， ． （2）设直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 过点作轴交延长线于点， 过，两点分别作，分别交于，两点， 点坐标为，点坐标为， ， ， 解得，， ∵点在轴左侧，， ． （3）解：，， ， ∵点坐标为， ，， ， ，． （4）解：依题意，点坐标为，， ，， 当时，矩形的周长， 当时，矩形的周长， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， 当时，两点间抛物线上点纵坐标的最大值为， ①当时，解得，（舍） ②当时，解得（舍） ③当时，解得（舍） ④当时，解得，（舍） 综上所述：或． 13．(1) (2)或或， (3)证明见解析 【分析】（1）将、两点代入抛物线得，解得，从而得到解析式为； （2）已知、，分两种情况：①若为平行四边形的边；②若为平行四边形的对角线，由平行四边形性质及点的平移，列方程求解即可得到答案； （3）抛物线向左平移1个单位，求出抛物线，设解析式为，联立方程组，由根与系数的关系可得，，设解析式为，联立方程组，由根与系数的关系求出，，则直线解析式为：，同理解析式为：，联立方程组，求出点坐标为即可求解． 【详解】（1）解：抛物线：经过点，与x轴交于， 将、两点代入抛物线得，解得， 解析式为； （2）解：、， 若以为顶点作平行四边形，两点都在抛物线上，分两种情况: ①若为平行四边形的边，设， 由点的平移得， 将D点代入抛物线得：，解得， ； ②若为平行四边形的对角线，设， 由平移得， 将D点代入抛物线得：，解得或， 或，； 综上所述，或或，； （3）解：， 要求沿着轴（即左右平移），且平移后的抛物线顶点在轴上， 抛物线向左平移1个单位， 抛物线，设解析式为，联立方程组， ， ，， 设解析式为，联立方程组，可得， ，， ，， 直线解析式为：； 同理，设解析式为，联立方程组，可得， ，， ，， 直线解析式为：； 联立方程组，解得， ，， 点坐标为， 点在定直线上运动． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，用待定系数法求函数解析式，联立方程组的方法求函数交点坐标，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14．（1）详见解析；（2），点坐标为；（3）或或时，可使得为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）从的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得； （2）根据抛物线的对称轴来求的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点的坐标； （3）根据平行四边形的性质得到：． 需要分类讨论：①当四边形是平行四边形，，通过解该方程可以求得的值； ②当四边形是平行四边形，，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：（1）， ∵不论为何实数，总有， ， ∴无论为何实数，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根， ∴无论为何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点． （2）抛物线的对称轴为直线， ，即， 此时，抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； （3）为顶点的四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形（直线在抛物线的下方），如图所示，    由已知， ， ， ， ①当四边形是平行四边形， ， 整理得，， 解得（不合题意，舍去），； ②当四边形是平行四边形， ， 整理得， 解得，， 综上，或或时，可使得为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $