第7章 相交线与平行线 单元练习卷 2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版（2025）七年级下学期《第7章 相交线与平行线》单元练习卷（同步热搜卷） 一．选择题（共15小题） 1．（2026•福州模拟）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，若∠AOC＝35°，则∠BOE的度数为（　　） A．125° B．135° C．65° D．55° 2．（2025秋•南京月考）对于下列四个说法． ①连接两点的线段叫做两点之间的距离； ②过两点有且只有一条直线； ③两个相等的角是对顶角； ④如果AC＝BC，则点C是线段AB的中点． 其中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2025秋•云岩区校级月考）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB于O，若∠DOB＝30°，则∠DOF＝（　　） A．30° B．120° C．60° D．50° 4．（2025秋•天宁区校级月考）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，下列结论：①OE⊥OC；②∠BOC与∠AOE互余；③∠BOE与∠BOD互补；④∠AOC﹣∠BOC＝2∠EOB．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026春•渭源县期中）为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段AB，AC，AD如图所示，村委会选择AB路段到的河边，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 6．（2025秋•丰南区期末）如图所示，嘉琪的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线是（　　） A．A→D→B B．A→E→F→B C．A→F→B D．A→C→B 7．（2025秋•西宁期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，那么点C到AB的距离是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 8．（2025秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．内错角相等 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．互补的角是邻补角 9．（2026春•同步）如图，∠1与∠2不是同位角的有（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．③④ 10．如图，下列推理中正确的是（　　） A．∵∠1＝∠4，∴AD∥BC B．∵∠2＝∠3，∴AD∥BC C．∵∠A+∠ABC＝180°，∴AB∥DC D．∵∠C+∠ABC＝180°，∴AD∥BC 11．（2025秋•抚州期末）如图，AB∥DE，点C在DE上，AC平分∠BCD，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 12．（2025秋•眉山期末）已知直线AB∥CD，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP．下面结论正确的个数为（　　） ①如图1，若∠APC＝α，∠PAB＝β，则∠PCD＝360°﹣α﹣β； ②如图2，点Q在AB，CD之间，当∠QAP＝∠QAB，∠QCP＝∠QCD，则∠APC+2∠AQC＝360°； ③如图2，点Q在AB，CD之间，当∠QAP＝2∠QAB，∠QCP＝2∠QCD，则∠APC+3∠AQC＝360°； ④如图3，∠PAB的角平分线交CD于M，且AM∥PC，点N在直线AB，CD之间，连接CN，MN，∠PCN＝n∠NCD，，n＞1，则∠P和∠N的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于0°且小于180°的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2025秋•河源期末）下列命题中，真命题是（　　） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 14．（2025春•西湖区校级单元）下列现象中是平移的是（　　） A．将一张纸对折 B．观光电梯的上下移动 C．飞碟的快速转动 D．翻开书中的每一页纸张 15．（2025秋•乐清市校级期中）如图，点C，D在线段AQ上，射线DP⊥CQ，连结PC，PQ，将△PCQ沿着QC边向左平移得△BAC，记AB的长为m，CB的长为n．若AC＝4，AD＝5，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．mn B．m﹣n C．m2+n2 D．m2﹣n2 二．填空题（共10小题） 16．（2025秋•雁江区期末）若∠A与它的余角相等，则∠A为 　 　 度；若∠B与它的补角相等，则∠B为 　 　 度． 17．（2025秋•随县期末）如图，点A，O，E在同一条直线上，CO⊥AE于点O，∠BOD＝90°．有如下4个结论：①∠AOC＝90°；②∠AOB＝∠COD；③∠AOB与∠DOE互为余角；④∠BOC与∠AOD互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号有　 　 ． 18．（2026春•同步）如图，A，D是直线l1上的两点，B，C是直线l2上的两点，且AB⊥BC，CD⊥AD． （1）点A到直线l2的距离是线段　 　 的长； （2）点A到点B的距离是线段　 　 的长； （3）点C到直线l1的距离是线段　 　 的长； （4）点C到点A的距离是线段　 　 的长． 19．（2026春•同步）（1）如图，∠1和∠B是直线　 　 和　 　 被直线　 　 所截得的　 　 角； （2）∠2和∠A是直线　 　 和　 　 被直线　 　 所截得的　 　 角； （3）∠B和∠ACB是直线　 　 和　 　 被直线　 　 所截得的　 　 角． 20．（2025秋•南关区校级期中）如图，点M、N在直线EF上，点G在直线CD上，点H在直线AB、CD之间，连结MG交AB于点K，连结NH交AB于点J，交MG于点P，连结GH，当∠FMG＝∠MKA＝∠MGC时，下列四个结论： ①∠GMJ+∠MJH＝∠GHN+∠MGH； ②∠NHG＝∠NJB+∠HGC； ③∠MPH＝∠GMJ+∠GHN； ④AB∥CD． 其中正确的结论是 　 　 ．（填序号） 21．（2026•天桥区一模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是　 　 °． 22．（2025秋•兴隆台区校级期末）将一副直角三角板如图摆放，已知AB∥CD，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列四个结论①∠EFN＝150°；②GE∥MP；③∠AEG＝∠PMN；④∠BEF＝75°．其中正确的是　 　 （填序号）． 23．（2025秋•寻乌县期末）命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”是　 　 ．命题．（填“真”或“假”） 24．造桥选址问题 一般选用　 　 的方法，利用平移前后对应线段长度　 　 ，把未知的线段转化到同一条直线上，再结合“　 　 ”解决问题． 25．（2025秋•任城区校级期末）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长等于　 　 ． 三．解答题（共5小题） 26．（2025秋•浦东新区期中）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD＝70°． （1）求∠AOC和∠AOD的度数； （2）求∠BOE的度数． 27．（2025秋•天宁区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，OF⊥AB，∠COF＝50°，求：∠EOD的度数． 28．（2025秋•四川校级期中）如图，在港口A的正东方向3海里处有一艘搜救艇B，正南方向4海里处有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． （1）若搜救艇B与轮船C之间的距离为12海里，搜救艇D与轮船C之间的距离为13海里，求搜救艇D到直线BC的距离； （2）当轮船C航行到搜救艇D的正东方向时，恰好在搜救艇B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇的速度一样，则救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援才能更快到达轮船出事点？ 29．（2025秋•新民市期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点（不与端点重合），CD与EF相交于点G，连接DE．若∠CGE＝∠B+∠BCD，∠B＝∠DEF．求证：DE∥BC． 30．（2025秋•昭平县期中）探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 2025-2026学年人教版（2024）七年级下学期《第7章 相交线与平行线》单元练习卷（同步热搜卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．（2026•福州模拟）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，若∠AOC＝35°，则∠BOE的度数为（　　） A．125° B．135° C．65° D．55° 【解答】解：由条件可知∠EOD＝90°，∠AOC＝∠BOD＝35°， ∴∠BOE＝∠EOD+∠DOB＝125°， 故选：A． 2．（2025秋•南京月考）对于下列四个说法． ①连接两点的线段叫做两点之间的距离； ②过两点有且只有一条直线； ③两个相等的角是对顶角； ④如果AC＝BC，则点C是线段AB的中点． 其中，正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：①连接两点的线段的长度叫两点的距离，故错误； ②过两点有且只有一条直线，故正确； ③相等的角不一定是对顶角，故错误； ④若点A、B、C共线时，AB＝BC，则点B是AC的中点，否则不是，故错误． 故选：B． 3．（2025秋•云岩区校级月考）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OF⊥AB于O，若∠DOB＝30°，则∠DOF＝（　　） A．30° B．120° C．60° D．50° 【解答】解：∵OF⊥AB于点O， ∴∠BOF＝90°， ∵∠DOB＝30°， ∴∠DOF＝∠BOF+∠DOB＝90°﹣30°＝60°． 故选：C． 4．（2025秋•天宁区校级月考）如图，已知A，O，B三点在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD，下列结论：①OE⊥OC；②∠BOC与∠AOE互余；③∠BOE与∠BOD互补；④∠AOC﹣∠BOC＝2∠EOB．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①∵OC平分∠BOD，OE平分∠AOD， ∴∠EOD∠BOD，∠COD∠AOD， ∴∠EOD+∠COD（∠BOD+∠AOD）， 又∵A，O，B三点在同一直线上， ∴∠BOD+∠AOD＝180°， ∴∠EOD+∠COD＝90°， 即∠EOC＝∠EOD+∠COD＝90°， ∴OE⊥OC， 故结论①正确； ②∵∠EOC＝90°， ∴∠BOC+∠AOE＝180°﹣∠EOC＝90°， ∴∠BOC与∠AOE互余， 故结论②正确； ③∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴∠BOE与∠AOE互补， ∵∠BOD与∠AOE不一定相等， ∴∠BOE与∠BOD不一定互补， 故结论③不正确； ④∵OC平分∠BOD，OE平分∠AOD， ∴设∠AOE＝∠DOE＝α，∠BOC＝∠DOC＝β， ∴∠AOD＝2α，∠BOD＝2β， ∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝2α+β，∠EOB＝∠DOE+∠BOD＝α+2β， ∴∠AOC﹣∠BOC＝2α+β﹣β＝2α，2∠EOB＝2α+4β ∴∠AOC﹣∠BOC≠2∠EOB， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②，共2个． 故选：B． 5．（2026春•渭源县期中）为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段AB，AC，AD如图所示，村委会选择AB路段到的河边，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【解答】解：这样做的道理是垂线段最短． 故选：A． 6．（2025秋•丰南区期末）如图所示，嘉琪的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线是（　　） A．A→D→B B．A→E→F→B C．A→F→B D．A→C→B 【解答】解：根据两点之间线段最短可得A→F→B是最近的路线， 故选：C． 7．（2025秋•西宁期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，那么点C到AB的距离是（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．2.4 【解答】解：过C作CD⊥AB于D， ∵∠ACB＝90°， ∴△ABC的面积AB•CDAC•BC， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴5×CD＝3×4， ∴CD＝2.4， ∴点C到AB的距离是2.4． 故选：D． 8．（2025秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．内错角相等 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．互补的角是邻补角 【解答】解：根据题意可得： A．利用平行线的性质得两直线平行，内错角相等，故该选项不符合题意， B．同角的余角相等，说法正确，故该选项符合题意， C．如所有的直角都相等但不一定是对顶角，故该选项不符合题意， D．互补的角不一定是邻补角，故该选项不符合题意， 综上所述：B选项符合题意， 故选：B． 9．（2026春•同步）如图，∠1与∠2不是同位角的有（　　） A．①③ B．②③ C．①② D．③④ 【解答】解：根据同位角的定义，∠1与∠2不是同位角的有①②， 故选：C． 10．如图，下列推理中正确的是（　　） A．∵∠1＝∠4，∴AD∥BC B．∵∠2＝∠3，∴AD∥BC C．∵∠A+∠ABC＝180°，∴AB∥DC D．∵∠C+∠ABC＝180°，∴AD∥BC 【解答】解：对于选项A， ∵∠1＝∠4， ∴AB∥DC，不能得出AD∥BC， 故该选项不正确，不符合题意； 对于选项B， ∵∠2＝∠3， ∴AD∥BC， 故该选项正确，符合题意； 对于选项C， ∵∠A+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC，不能得出AB∥DC， 故该选项不正确，不符合题意； 对于选项D， ∵∠C+∠ABC＝180°， ∴AB∥DC，不能得出AD∥BC， 故该选项不正确，不符合题意， 故选：B． 11．（2025秋•抚州期末）如图，AB∥DE，点C在DE上，AC平分∠BCD，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【解答】解：∵AB∥DE，∠1＝55°， ∴∠ACD＝∠1＝55°（两直线平行，内错角相等）， ∵AC平分∠BCD， ∴∠BCD＝2∠ACD＝2×55°＝110°， ∵AB∥DE， ∴∠2＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°（两直线平行，同旁内角互补）， 故选：D． 12．（2025秋•眉山期末）已知直线AB∥CD，点P在直线AB，CD之间，连接AP，CP．下面结论正确的个数为（　　） ①如图1，若∠APC＝α，∠PAB＝β，则∠PCD＝360°﹣α﹣β； ②如图2，点Q在AB，CD之间，当∠QAP＝∠QAB，∠QCP＝∠QCD，则∠APC+2∠AQC＝360°； ③如图2，点Q在AB，CD之间，当∠QAP＝2∠QAB，∠QCP＝2∠QCD，则∠APC+3∠AQC＝360°； ④如图3，∠PAB的角平分线交CD于M，且AM∥PC，点N在直线AB，CD之间，连接CN，MN，∠PCN＝n∠NCD，，n＞1，则∠P和∠N的关系为（用含n的式子表示，题中的角均指大于0°且小于180°的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，如图1， ∵∠PAB＝β， ∴∠APQ＝180°﹣β， ∵∠APC＝α， ∴∠CPQ＝α﹣180°+β， ∴∠PCD＝180°﹣∠CPQ＝180°﹣α+180°﹣β＝360°﹣α﹣β； 故①正确，符合题意； ②点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，如图2， ∴∠PAB+∠APM＝180°，∠PCD+∠CPM＝180°， ∴∠PAB+∠PCD+∠APC＝360°，即∠APC＝360°﹣（∠PAB+∠PCD）， 同理：∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ， ∵∠QAP＝∠QAB，∠QCP＝∠QCD， ∴， ∴∠APC＝360°﹣（∠PAB+∠PCD）＝360°﹣2（∠BAQ+∠DCQ）＝360°﹣2∠AQC， ∴∠APC＝360°﹣2∠AQC， 即∠APC+2∠AQC＝360°， 故②正确，符合题意； ③过点P作PM∥AB，过点Q作QN∥AB，则PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，如图2， ∴∠PAB+∠APM＝180°，∠PCD+∠CPM＝180°， ∴∠PAB+∠PCD+∠APC＝360°，即∠APC＝360°﹣（∠PAB+∠PCD）， 同理：∠AQC＝∠BAQ+∠DCQ， ∵∠QAP＝2∠QAB，∠QCP＝2∠QCD， ∴， ∴∠APC＝360°﹣（∠PAB+∠PCD）＝360°﹣3（∠BAQ+∠DCQ）＝360°﹣3∠AQC， ∴∠APC＝360°﹣3∠AQC，即∠APC+3∠AQC＝360°， 故③正确，符合题意； ④过点P作PE∥AB，则PE∥AB∥CD，过点N作NF∥AM，如图3， ∵PE∥AB， ∴∠APE+∠PAB＝180°，即∠APE＝180°﹣∠PAB， ∵PE∥CD， ∴∠CPE＝180°﹣∠PCD， ∴∠APC＝360°﹣（∠PAB+∠PCD） ∵AM∥PC， ∴NF∥PC， ∴∠CNF＝∠PCN， ∵NF∥AM， ∴∠FNM＝∠AMN， ∵AB∥CD， ∴∠BAM＝∠AMC， ∵AM平分∠BAP， ∴， ∵∠AMC＝180°﹣∠AMF， ∴， ∵，∠AMN+∠NMD＝∠AMF ∴， ∴， ∵∠PCN＝n∠NCD，∠PCN+∠NCD＝∠PCD， ∴， ∴， ∴∠MNC＝∠CNF﹣∠FNM， ∴， ∵， ∴BAP＝360°﹣2∠AMF， ∴∠APC＝360°﹣（∠PAB+∠PCD）＝360°﹣（360°﹣2∠AMF+∠PCD） ＝2∠AMF﹣∠PCD， ∵AM∥PC， ∴∠PCD＝∠AMF， ∴∠APC＝2∠AMF﹣∠AMF＝∠AMF， ∴， ∴， 故④正确，符合题意． 综上，正确的有4个， 故选：D． 13．（2025秋•河源期末）下列命题中，真命题是（　　） A．同角的余角相等 B．同位角相等 C．一个正数的平方根总是正数 D．如果两角相等，那么这两个角是对顶角 【解答】解：根据真假命题的判断及各选项相关知识点逐项分析判断如下： A、同角的余角相等，正确，故A为真命题，符合题意； B、同位角相等需两直线平行，否则不一定相等，故B为假命题，不符合题意； C、正数的平方根有正负两个，不总是正数，故C为假命题，不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），故D为假命题，不符合题意； 故选：A． 14．（2025春•西湖区校级单元）下列现象中是平移的是（　　） A．将一张纸对折 B．观光电梯的上下移动 C．飞碟的快速转动 D．翻开书中的每一页纸张 【解答】解：A．将一张纸对折，是轴对称，不是平移，不符合题意； B．观光电梯的上下移动，是平移，符合题意； C．飞碟的快速转动，不是沿某一直线方向移动，不属于平移，不符合题意； D．翻开书中的每一页纸张，不是沿某一直线方向移动，不属于平移，不符合题意； 故选：B． 15．（2025秋•乐清市校级期中）如图，点C，D在线段AQ上，射线DP⊥CQ，连结PC，PQ，将△PCQ沿着QC边向左平移得△BAC，记AB的长为m，CB的长为n．若AC＝4，AD＝5，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．mn B．m﹣n C．m2+n2 D．m2﹣n2 【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M， 由平移可知， PC＝AB＝m，AC＝CQ，BM＝PD，AM＝CD． 因为AC＝4，AD＝5， 所以CD＝5﹣4＝1． 在Rt△PCD中， PD2＝PC2﹣CD2＝m2﹣1． 因为CM＝4﹣1＝3， 则在Rt△BCM中， BM2＝BC2﹣CM2＝n2﹣9， 所以m2﹣1＝n2﹣9， 则m2﹣n2＝﹣8， 即m2﹣n2的值不变． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 16．（2025秋•雁江区期末）若∠A与它的余角相等，则∠A为 　45　 度；若∠B与它的补角相等，则∠B为 　90　 度． 【解答】解：若∠A与它的余角相等，则∠A为45度； 若∠B与它的补角相等，则∠B为90度． 故答案为：45；90． 17．（2025秋•随县期末）如图，点A，O，E在同一条直线上，CO⊥AE于点O，∠BOD＝90°．有如下4个结论：①∠AOC＝90°；②∠AOB＝∠COD；③∠AOB与∠DOE互为余角；④∠BOC与∠AOD互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号有　①②③④　 ． 【解答】解：由CO⊥AE且A、O、E共线，可知∠AOC＝90°，故①正确，符合题意； 在点O周围作简单的“坐标式”分析可得AO⊥CO且BO⊥DO，则∠AOB＝∠COD，故②正确，符合题意； 继续利用坐标式分析可得：∠AOB+∠DOE＝90°，它们互为余角，故③正确，符合题意； 同理可得：∠BOC+∠AOD＝180°，它们互为补角，故④正确，符合题意； 综上，①②③④均成立； 故答案为：①②③④． 18．（2026春•同步）如图，A，D是直线l1上的两点，B，C是直线l2上的两点，且AB⊥BC，CD⊥AD． （1）点A到直线l2的距离是线段AB 的长； （2）点A到点B的距离是线段AB 的长； （3）点C到直线l1的距离是线段CD 的长； （4）点C到点A的距离是线段AC 的长． 【解答】解：（1）点A到直线l2的距离是AB的长； 故答案为：AB； （2）点A到点B的距离是AB的长； 故答案为：AB； （3）点C到直线l1的距离是CD的长； 故答案为：CD； （4）点C到点A的距离是线段AC的长； 故答案为：AC． 19．（2026春•同步）（1）如图，∠1和∠B是直线CE 和BA 被直线BD 所截得的　同位　 角； （2）∠2和∠A是直线CE 和BA 被直线AC 所截得的　内错　 角； （3）∠B和∠ACB是直线CA 和BA 被直线BD 所截得的　同旁内　 角． 【解答】解：（1）如图，∠1和∠B是直线CE和BA被直线BD所截得的同位角； 故答案为：CE，BA，BD，同位； （2）∠2和∠A是直线CE和BA被直线AC所截得的内错角； 故答案为：CE，BA，AC，内错； （3）∠B和∠ACB是直线CA和BA被直线BD所截得的同旁内角； 故答案为：CA，BA，BD，同旁内． 20．（2025秋•南关区校级期中）如图，点M、N在直线EF上，点G在直线CD上，点H在直线AB、CD之间，连结MG交AB于点K，连结NH交AB于点J，交MG于点P，连结GH，当∠FMG＝∠MKA＝∠MGC时，下列四个结论： ①∠GMJ+∠MJH＝∠GHN+∠MGH； ②∠NHG＝∠NJB+∠HGC； ③∠MPH＝∠GMJ+∠GHN； ④AB∥CD． 其中正确的结论是 　①②④　 ．（填序号） 【解答】解：∵∠FMG＝∠MKA＝∠MGC， ∴AB∥CD∥EF，故④正确； ∵∠GMJ+∠MJH＝180°﹣∠MPJ，∠GHN+∠MGH＝180°﹣∠HPG，∠MPJ＝∠HPG， ∴∠GMJ+∠MJH＝∠GHN+∠MGH，故①正确； 过点H作HQ∥AB， ∴AB∥HQ∥CD， ∴∠AJH＝∠NHQ，∠QHG＝∠HGC， ∵∠NHG＝∠NHQ+∠GHQ＝∠AJH+∠HGC＝∠NJB+∠HGC，故②正确； ∵∠MPH＝180°﹣∠MPJ＝180°﹣（180°﹣∠GMJ﹣∠MJP）＝∠GMJ+∠MJP， ∵∠GHN不一定等于∠MJP， ∴∠MPH＝∠GMJ+∠GHN不一定成立，故③不正确， 故答案为：①②④． 21．（2026•天桥区一模）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是　65　 °． 【解答】解：如图， ∠3＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠3+∠1＝60°+55°＝115°， ∵直尺的对边平行， ∴∠2＝180°﹣（∠3+∠1）＝180°﹣115°＝65°（两直线平行，同旁内角互补）． 则∠2的大小是65°， 故答案为：65． 22．（2025秋•兴隆台区校级期末）将一副直角三角板如图摆放，已知AB∥CD，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列四个结论①∠EFN＝150°；②GE∥MP；③∠AEG＝∠PMN；④∠BEF＝75°．其中正确的是　①②③④　 （填序号）． 【解答】解：根据题意，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°， ∴∠EGF＝∠MPN＝90°，∠EFG＝30°，∠PMN＝∠PNM＝45°， ∵∠EFG+∠EFN＝180°， ∴∠EFN＝150°，所以结论①正确； ∵∠MPN+∠MPG＝180°，∠MPN＝90°， ∴∠MPG＝90°， ∵∠EGF＝∠MPG＝90°， ∴GE∥MP（内错角相等，两直线平行），所以结论②正确； 如图所示，延长NG交AB于点H， ∵AB∥CD，∠PNM＝45°， ∴∠GHE＝∠PNM＝45°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EGP+∠EGH＝180°，∠EGF＝90°， ∴∠EGH＝180°﹣90°＝90°， ∴∠HEG＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠AEG＝∠PMN，所以结论③正确； ∵∠AEG+∠GEF+∠BEF＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°，所以结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 23．（2025秋•寻乌县期末）命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”是　假　 ．命题．（填“真”或“假”） 【解答】解：命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”缺少了在同一平面内， 故命题是假命题； 故答案是：假． 24．造桥选址问题 一般选用　平移　 的方法，利用平移前后对应线段长度　不变　 ，把未知的线段转化到同一条直线上，再结合“　两点之间，线段最短　 ”解决问题． 【解答】解：造桥选址问题，一般选用平移的方法，利用平移前后对应线段长度不变，把未知的线段转化到同一条直线上，再结合“两点之间，线段最短”解决问题． 故答案为：平移；不变；两点之间，线段最短． 25．（2025秋•任城区校级期末）如图，将周长为16的△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长等于　22　 ． 【解答】解：∵将周长为16的△ABC沿BC方向平移3个单位长度得△DEF， ∴AD＝CF＝BE＝3，AC＝DF， ∴AB+BC+AC＝16， ∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+AC+2CF＝16+2×3＝22． 故答案为：22． 三．解答题（共5小题） 26．（2025秋•浦东新区期中）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠BOD＝70°． （1）求∠AOC和∠AOD的度数； （2）求∠BOE的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOC与∠BOD是对顶角， ∴∠AOC＝∠BOD＝70°， ∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°， ∴∠AOC＝70°，∠AOD＝110°； （2）∵OE平分∠AOC， ∴， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣35°＝145°， ∴∠BOE＝145°． 27．（2025秋•天宁区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠EOD，OF⊥AB，∠COF＝50°，求：∠EOD的度数． 【解答】解：∵∠COF＝50°，OF⊥AB， ∴∠COA＝40°， ∴∠BOD＝∠COA＝40°， ∵OB平分∠EOD， ∴∠EOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°． 28．（2025秋•四川校级期中）如图，在港口A的正东方向3海里处有一艘搜救艇B，正南方向4海里处有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． （1）若搜救艇B与轮船C之间的距离为12海里，搜救艇D与轮船C之间的距离为13海里，求搜救艇D到直线BC的距离； （2）当轮船C航行到搜救艇D的正东方向时，恰好在搜救艇B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇的速度一样，则救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援才能更快到达轮船出事点？ 【解答】解：（1）连接BD，如图1所示： 依题意得：AB＝3海里，AD＝4海里，BC＝12海里，DC＝13海里，∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：DB5（海里）， 在Rt△BCD中，DB2+BC2＝52+122＝169，DC2＝132＝169， ∴DB2+BC2＝DC2， ∴△BCD是直角三角形，即∠DBC＝90°， ∴DB⊥BC， ∴搜救艇D到直线BC的距离5海里； （2）过点C作CE⊥直线AB于点E，如图2所示： ∴∠CEA＝90°， ∵点C在点D的正东方向，又恰好在搜救艇B的东南方向， ∴∠CDA＝90°，∠CBE＝45°， ∴∠CEA＝∠CDA＝∠BAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形， ∴CE＝AD＝4海里，CD＝AE， 在△BCE中，∠CEA＝90°，∠CBE＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴BE＝CE＝4海里， ∴AE＝AB+BE＝7（海里）， ∴CD＝AE＝7海里， 由勾股定理得：BC（海里）， ∵， ∴CD＞BC， 又∵两艘搜救艇的速度一样， ∴搜救艇B到轮船C所用的更短， ∴救援指挥部应派遣搜救艇B前往救援． 29．（2025秋•新民市期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点（不与端点重合），CD与EF相交于点G，连接DE．若∠CGE＝∠B+∠BCD，∠B＝∠DEF．求证：DE∥BC． 【解答】解：∵∠ADC是△BCD的一个外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD． ∵∠CGE＝∠B+∠BCD， ∴∠ADC＝∠CGE， ∴AB∥EF， ∴∠B＝∠EFC， ∵∠B＝∠DEF， ∴∠EFC＝∠DEF， ∴DE∥BC． 30．（2025秋•昭平县期中）探究题： 已知：AB∥CD． （1）如图1，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （2）如图2，点E在AB与CD之间，问∠A、∠C与∠E有什么关系？请说明理由． （3）如图3，点E在AB与CD之外，此时∠A、∠C与∠E又有什么关系？直接写出结论． （4）如图4，∠E+∠G与∠A+∠F+∠C之间有何关系？直接写出结论． 【解答】解：（1）∠A+∠C＝∠AEC，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A＝∠AEF， ∴∠C＝∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEF+∠CEF， ∴∠A+∠C＝∠AEC； （2）∠A+∠C+∠AEC＝360°，理由如下： 过点E作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD，∠A+∠AEF＝180°， ∴∠C+∠CEF＝180°， ∴∠A+∠C+∠AEF+∠CEF＝360°， ∴∠A+∠C+∠AEC＝360°； （3）∠A＝∠C+∠E，理由如下： 如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DME． ∵∠DME＝∠C+∠E， ∴∠A＝∠C+∠E； （4）∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G，理由如下： 过点F作FH∥AB， 由（1）知， ∠A+∠EFH＝∠E，∠HFG+∠C＝∠G， ∴∠A+∠EFH+∠HFG+∠C＝∠E+∠G， ∴∠A+∠EFG+∠C＝∠E+∠G． 考点卡片 1．直线的性质：两点确定一条直线 （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线． （2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． 2．线段的性质：两点之间线段最短 线段公理 两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短． 简单说成：两点之间，线段最短． 3．两点间的距离 （1）两点间的距离 连接两点间的线段的长度叫两点间的距离． （2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离． 4．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 5．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 6．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 7．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 8．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 9．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 10．点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 11．同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 12．平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 13．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 14．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 15．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 16．生活中的平移现象 1、平移的概念 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 17．平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　 ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $