专题02 实数（期末3大知识点汇编）2025-2026学年人教版数学七年级下册

七年级数学期末总复习讲义 第2课 实数 知识点梳理 考点01平方根 考点02立方根 考点03实数 知识点01 平方根 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么a叫做这个数x的平方； 这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 平方运算和开平方运算是互逆关系。 ２.平方根的符号记法 一个正数 的有两个平方根，记作:，其中叫做　a　的正的平方根,“” ； 叫做a的负的平方根；　 3. 平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是０； （3）负数没有平方根. 因为负数没有平方根，所以 有意义的条件是ａ. 4.算术平方根 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 叫作 a 的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为． 被开方数越大，对应的算术平方根就越大（这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据）。 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济南·期末）宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（    ） A．0到之间 B．到1之间 C．1到之间 D．到2之间 【答案】B 【分析】先由得到，再由不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ， ， ． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期末）4的算术平方根是（   ） A． B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义；如果一个数x的平方等于，那么数x叫做a的平方根，可以表示为，其中正的平方根叫做a的算术平方根，据此可得答案． 【详解】解：∵算术平方根为非负数，且， ∴4的算术平方根是2， 故选：D． 3．（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 4．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：， ∵， ∴平方根为． 故选：C． 5．（24-25七年级下·四川南充·期末）已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6．（24-25七年级下·云南丽江·期末）若a，b满足，则的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的应用，算术平方根，根据偶次幂，算术平方根均为非负数，它们的和为0时，由此解出a和b的值，再代入计算，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则______． 【答案】25 【分析】本题考查平方根定义和性质，根据平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，可得和互为相反数，再根据互为相反数的两个数和为0，求得m的值，再得出的值，从而得出x的值. 【详解】解：∵正数x的两个不同的平方根是和 ∴和互为相反数 ∴ 解得 则 ∴. 故答案为25. 8．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）若m、n满足，则______． 【答案】4 【分析】本题考查平方数与算术平方根的非负性以及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质是解决本题的关键． 根据平方数与算术平方根的非负性求出、的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵，且， ， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 9．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）实数4的算术平方根是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用能力，运用算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数4的算术平方根是2， 故答案为：2． 10．（24-25七年级下·广东·期末）若，则_____． 【答案】1 【分析】此题考查代数式的求值，算术平方根的非负性及绝对值的非负性，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性是解题的关键．根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 11．（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【答案】(1) ，这个正数是100 (2) 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求的值；再将代入平方根表达式，平方后得到这个正数； （2）先计算的值，再求其平方根． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． 12．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 13．（24-25七年级下·广东广州·期末）天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式来估计，其中h（单位：米）是眼睛离海平面的高度． (1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是米，他想看到距离岸边大约10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 【答案】(1)5千米 (2)米 【分析】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义． （1）将代入，即可求解； （2）根据题意代入求出h的值，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以（舍）或， 答：能看到5千米远； （2）解：当时，可得， 解得， （米）． 则观望台至少离海平面高为米． 14．（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 15．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，；（2）见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）如图所示： 知识点02 立方根 1.定义 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根,记作：； 求一个数的立方根的运算，叫做开立方； 2. 立方根的性质 互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。 =- 3. 立方根的小数点移动规律 被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，立方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根，立方根的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是9 B．立方根等于它本身的数有两个，0和1 C．是49的算术平方根 D．4是16的一个平方根 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，立方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、立方根等于它本身的数有三个，0和，原说法错误，不符合题意； C、是49的平方根，原说法错误，不符合题意； D、4是16的一个平方根，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的性质，熟悉概念是解题的关键． 本题可根据立方根、算术平方根的性质，分别对各选项进行分析判断． 【详解】解：选项A：对于，因为， 所以，那么，该选项正确． 选项B：对于， ， 则，因为， 所以，该选项错误． 选项C：先计算，则， 因为， 所以，该选项错误． 选项D：因为， 所以，该选项错误． 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·期末）下列叙述正确的是（   ） A． B．的算术平方根是 C．64的立方根是 D．没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，注意平方根与算术平方根的不同． 根据平方根的定义判断A，D选项；根据算术平方根的定义判断B选项；根据立方根的定义判断C选项． 【详解】解：A、选项，，故A选项错误； B、选项，的算术平方根是，故B选项正确； C、选项，64的立方根是4，故C选项错误； D、选项，，9的平方根是，故D选项错误； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）的倒数为_____；的立方根是_____． 【答案】 【分析】先把化为假分数，再求倒数；先把化简，再求立方根． 【详解】解：∵， ∴的倒数为； ∵， ∴的立方根为． 6．（24-25七年级下·江西赣州·期末）若x是25的算术平方根，y是的立方根，则的值为________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义，分别求出x和y的值，然后计算它们的乘积即可得到答案． 【详解】解：∵x是25的算术平方根，y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）一个正方体的体积是16，则它的棱长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据一个正方体的体积是16，则它的棱长是，即可作答． 【详解】解：∵一个正方体的体积是16，且棱长棱长棱长体积， ∴它的棱长是， 故答案为： 8．（24-25七年级下·河北沧州·期末）某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，求一个数的立方根，列一元一次方程解决问题，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 根据平方根的定义列出，然后求解，再求立方根即可． 【详解】解：根据平方根的性质得， 解得， ∴a的立方根为：， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是______； ______． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键．仿照题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵；， ∴是两位数， ∵19683的个位数是3， ∴的个位数是7． ∵；， ∴是两位数， ∵110592的个位数是2， ∴的个位数是8． 如果划去110592后面的三位592得到数110，而，， 由此确定的十位数是4， 所以， 所以． 故答案为：，； 10．（2024七年级下·上海·专题练习）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·期末）已知的算术平方根是4，的立方根是3，则的平方根是____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，立方根、平方根及算术平方根的定义，求出m、n的值是解答本题的关键． 根据算术平方根及立方根的定义，求出m、n的值，代入可得出的平方根． 【详解】解：由题意得，， 即， 解得：， ， 的平方根是． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，，则 _______（保留两位小数）． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据“一个数的小数点向右（或左）移动3位，其立方根的小数点向右（或左）移动1位”进行判断即可． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的平方根是，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3． ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 14．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若， (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)2或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据平方根、立方根求得m、n的值，然后分两种情况求的值即可； （2）由的值为2或，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或． （2）解：由（1）得的值为2或． 当时，的平方根为； 当时，无平方根． 综上，的平方根为． 15．（23-24七年级下·浙江台州·期末）对于立方根，我们曾经得出以下规律：被开方数扩大（缩小）1000倍，立方根扩大（缩小）10倍，即若，则．下面我们来证明这一规律． 证明：，两边立方得_________， （__________）3， ． 应用：已知， 则___________，___________． 【答案】a；；； 【分析】本题主要考查了有理数的乘方法则，立方根，熟练掌握题干中的方法，并熟练运用是解题的关键．利用有理数的乘方法则和立方根的意义解答即可． 【详解】解：，两边立方得， ， ． 应用：已知， 则，． 16．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可； （）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根等于它本身， ∴或或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的立方根是或或 1. 实数的概念及分类知识点03 实数 （1） 相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。 （2） 实数的分类 （3） 实数与数轴上点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据） 1. 实数的运算 （1） 实数的相反数 数 a 的相反数是 -a . 如：-（-）=. （2） 绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （3） 加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3可以省略“”，写成“3”. 例：3+2=（3+2）=5 （乘法分配律） 易错题：+ （不属于乘法分配律） （4） 实数的乘方、开方运算 (a0)，=a (a0) ； ，=a . 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）的相反数是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】的相反数是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数：，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，立方根，算术平方根．根据无理数是无限不循环小数，进行判断每个数是否为无限不循环小数，即可作答． 【详解】解：和都是可分化分数的小数，是有理数， ，4是有理数， 是分数，是有理数， （每相邻两个1之间依次多1个0），，都是无限不循环小数， ∴无理数的个数是3个， 故选：C 3．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）下列各数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 把化简后根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∵最小的是， 故选C． 4．（24-25七年级下·陕西安康·期末）下列四个数中，是无理数的是（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解： A、 2是整数，属于有理数，不符合题意； B、0是整数，属于有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、 ，是整数，属于有理数，不符合题意． 故选C． 5．（24-25七年级下·吉林白山·期末）在实数、、0、、、中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了实数的分类，以及有理数的概念． 根据有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，判断每个数是否满足定义，并统计符合定义的个数，即可解题． 【详解】解：∵是无理数（5不是完全平方数）， （分数）是有理数， 0（整数）是有理数， 是无理数， （整数）是有理数， （有限小数）是有理数， ∴有理数有4个， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）请写出一个小于的无理数：______．（写出一个正确答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用算术平方根对无理数的大小进行估算，从而得到小于的无理数即可． 【详解】解：， ， 即为小于的无理数．（答案不唯一） 7．（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 8．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数，，和中，无理数有______个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1），根据定义判断即可． 【详解】解：，是有理数；是无理数；是有限小数，是有理数；是无限不循环小数，是无理数． 因此无理数有 2 个． 故答案为 2． 9．（24-25七年级下·陕西安康·期末）请写出一个比小的整数：________．（写一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握夹逼法是解题的关键，利用夹逼法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴比小的整数可以为4； 故答案为：4（答案不唯一） 10．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）比较大小：2________（填“＜”，“＞”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·广东阳江·期中）化简：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值表示数到原点的距离，总是非负的．负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：根据绝对值的定义，一个数的绝对值总是非负的．是负数，其绝对值为它的相反数，即． 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25七年级下·吉林白山·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根，算术平方根以及化简绝对值，正确化简计算每一项是解题的关键． 分别计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： 13．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）计算：． 【答案】π 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、绝对值、算术平方根、立方根等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 先用绝对值、算术平方根、立方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及幂运算、立方根、绝对值以及有理数的加减运算．需要分别计算各项：负一的幂、立方根、绝对值，然后按照运算顺序进行合并．解题关键是掌握各项的计算方法：注意，，以及由于，所以． 【详解】解：原式． 15．（24-25七年级下·广东中山·期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足，那么就称点为“中山点”． (1)判断点是否为“中山点”，并说明理由； (2)若点是“中山点”，求k的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点”，求p，q的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)，． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法、点的坐标及二次根式的运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题意得到，，求出，，然后代入求解判断即可； （2）根据“中山点”的定义得到，，表示出，，然后根据列方程求解即可； （3）首先解方程组得到，然后根据题意得到，，表示出，，根据得到，然后根据p，q为有理数求解即可． 【详解】（1）解：∵点 ∴， ∴， ∴ ∴点是“中山点”； （2）解：若点是“中山点”， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得； （3）解： 得，， 解得， 将代入②得，， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点”， ∴，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵p，q为有理数， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·广东广州·期末）已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空： ， ， ； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)5；2； (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，无理数的估算，求一个数的算术平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出a、b的值，再根据算术平方根的定义求出m的值即可； （2）根据无理数的估算方法估算出m的取值范围，进而确定x、y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴， ∵m是的算术平方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴m的整数部分为2，小数部分为，即， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $七年级数学期末总复习讲义 第2课实数 知识点梳理 考点01平方根 考点02立方根 考点03实数 知识点01 平方根 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么a叫做这个数x的平方； 这个数x叫作a的平方根或二次方根。求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 平方运算和开平方运算是互逆关系。 2.平方根的符号记法 一个正数a的有两个平方根，记作：士Va,其中+Va叫做a的正的平方根，“+√” 简写“”： -Va叫做a的负的平方根； 3.平方根的性质 (1)正数有两个平方根，它们是互为相反数； (2)0的平方根是0； (3)负数没有平方根， 因为负数没有平方根， 所以a 有意义的条件是a≥0. 4.算术平方根 正数a有两个平方根，其中正的平方根√叫作a的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为6 被开方数越大，对应的算术平方根就越大（这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据）。 真题汇编 1/9 一、单选题 1.(2425七年级下山东济南期末)宽与长之比为5-的长方形称为黄金长方形，估算5-1的取值 2 2 范围在() A.0到；之间B.到1之间 c.1到之间 D. 3到2之间 2 2.(24-25七年级下.吉林白山期末)4的算术平方根是() A.±2 B.3 C.1 D.2 3.(24-25七年级下，吉林期末)已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为() 1 A.2025 B.0 C.-2025 D. 2025 4.(24-25七年级下·内蒙古乌兰察布期末) ⑧1的平方根为（） V16 A.士 B. 3 3 D. 4 2 5.(24-25七年级下四川南充期末)已知√6≈2.45，√0.6≈0.77，则√0.06≈() A.0.0077 B.0.077 C.0.0245 D.0.245 6.(24-25七年级下·云南丽江·期末)若a,b满足(a-1)2+√b+2=0,则a-b的值是() A.-1 B.1 C.3 D.-3 二、填空题 7.(24-25七年级下·云南丽江期末)已知正数x的两个不同的平方根是2-m和3m+4,则x=· 8.(24-25七年级下湖北宜昌期末)若m、n满足(m-2)2+n-14=0,则Vm+n= 9.(24-25七年级下·湖南长沙期末)实数4的算术平方根是 10.(24-25七年级下广东期末)若x-2+y-1=0,则(y-x)04= 三、解答题 11.(24-25七年级下·内蒙古乌兰察布期末)己知一个正数的平方根是2a-4与-3-a, (1)求a的值和这个正数 (2)求3a+4的平方根 12.(24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔期末)观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算√5×9+4=-；V16×20+4=-· 2/9 (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：一 (3)计算：V1x5+4-√2×6+4+√3×7+4-√4x8+4+…+V2021x2025+4. 13.(24-25七年级下·广东广州期末)天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s(单位：千米)可用公 式g-125h来估计，其中h(单位：米)是眼睛离海平面的高度. (1)如果小天站在岸边观察，当眼晴离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？ (2)若小天登上岸边的一个观望台A,已知小天眼晴离观望台地面的高度是1.6米，他想看到距离岸边大约10 千米处的一个货轮B,则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？ 14. (24-25七年级下广西南宁期末)(1)填表： m 0 0.000001 0.0001 0.01 100 10000 … √m 0 0.001 0.1 100 (2) 规律归纳： ①若正数m的小数点向左（或右）移动 位，则√m的小数点就相应地 移动 位 ②当m>1时，若正数m越大，则√m也越大 (3)尝试运用：已知√169=13，√m=1300,求m的值； (4)灵活应用：当m≥0时，比较√m和m的大小. 15.(24-25七年级下·糊南株洲期末)【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形 纸片，可以得到一个边长为√2的大正方形，如图1所示。 ④ ③ ③ ⑤ ② 、④ ② ② ④ ① ⑤ ① ③ ① ③ ② 图1 图2 图3 【类比迁移】(1)如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方 形（图3）.图3中拼成的大正方形的面积是_，边长是 【猜想验证】(2)猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形.己知如图4放置的两个正 方形，其边长分别为α，b,请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想.在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的 3/9 位置以及线段长度（用，b表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框 画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）· b 图4 图5 知识点02 立方根 1.定义 一般地，如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根，记作：； 求一个数的立方根的运算，叫做开立方； 2.立方根的性质 互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。 a=-Va 3.立方根的小数点移动规律 被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。 真题汇编 一、 单选题 1.(24-25七年级下·湖北黄冈期末)下列各式正确的是() A.√36=6 B.8=-2 C.-62=6 D.(-7)3=7 2.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末)下列说法正确的是() A.√⑧1的平方根是9 B.立方根等于它本身的数有两个，0和1 C.±7是49的算术平方根 D.4是16的一个平方根 3.(24-25七年级下湖北宜昌期末)下列各式正确的是() 4/9 A.--8=2 B.V-32=-3 C. -2=-1 D.V16=±4 4.(24-25七年级下·全国期末)下列叙述正确的是() A.±0.25=0.5 B.0.25的算术平方根是0.5 C.64的立方根是±4 D.(-3没有平方根 二、填空题 5.(24-25七年级下.甘肃临夏期末)-2的倒数为；64的立方根是 6.(24-25七年级下江西赣州期末)若x是25的算术平方根，y是-8的立方根，则y的值为 7.（24-25七年级下.甘肃武威期末)一个正方体的体积是16，则它的棱长是 8.(24-25七年级下·河北沧州期末)某正数的两个不相等的平方根分别是a-2和18+a,则a的立方根 为 9.（24-25七年级下·湖北荆州期末)我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有 一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.众人惊奇，忙问计算奥妙.你知道华 罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 103=1000;1003=1000000, 59319是两位数， 59319的个位数是9， 59319的个位数是9. 如果划去59319后面的三位319得到数59，而3=27,43=64，由此确定59319的十位数是3，所以 3V59319=39. 阅读以上材料，19683的个位数是：-110592= 10.(2024七年级下·上海.专题练习)计算：-27= 11.(24-25七年级下，全国期末)已知m+2的算术平方根是4,2m+n+1的立方根是3，则m-n的平方根 是 12.(24-25七年级下·湖南长沙.期末)已知0.250047≈0.630,2.50047≈1.36，则V250.047≈ 5/9 (保留两位小数)· 三、解答题 13.(24-25七年级下陕西商洛期末)己知3a+1的平方根是±4,2b-1的立方根是3. (1)求a、b的值： (2)求a+2b的平方根 14.(24-25七年级下·湖北黄石·期末)若m2=36,n2=-64 (1)求m+n的值； (2)求m+n的平方根。 15.(23-24七年级下·浙江台州·期末)对于立方根，我们曾经得出以下规律：被开方数扩大（缩小）1000 倍，立方根扩大（缩小）10倍，即若a=b,则1000a=10b.下面我们来证明这一规律。 证明：：a=b,两边立方得 =b3, .1000a=1000b3=10b×10b×10b=( )3, .1000a=10b 应用：已知5≈1.4423,30≈3.1072， 则3000≈ ，-0.03≈ 16.(24-25七年级下·湖北十堰·期末)某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发 现的结果，内容如下：“我们知道，当a+b=0时，a+b=0也成立.因为Q是a3的立方根，b是b的立方 根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数.” (1)若1-2x+5=0,则x的值是_ (2)若x-2+2=x,y-1+-2x=0,求x+y的立方根. 知识点03 实数 在 1.实数的概念及分类 (1)相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。 (2)实数的分类 ①按定义分类： ②按性质分类： 6/9 正有理数 有理数 0 有限小数或无限循环小数 正实数 实数 负有理数 实数0 正无理数 无理数 负实数 无限不循环小数 负无理数 (3)实数与数轴上点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。（这是实数大小比较的依据） 1.实数的运算 （1)实数的相反数 数a的相反数是-a 如：6)后 (2)绝对值 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 a,当a>0时： al= 0,当a=0时； 一a,当a<0时. (3)加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 3×V2可以省略“×”，写成“32” 例：32+22=(3+2)252 (乘法分配律) 易错题：5+反≠3+2 (不属于乘法分配律)》 (4)实数的乘方、开方运算 √a2=aa≥0)， ()2aa≥0： Va雨=a(3)2-a 真题汇编 一、单选题 1.(24-25七年级下湖北武汉期末)√5的相反数是() 7/9 A.-5 B.5 C.5 D.5 5 2.（24-25七年级下·陕西商洛期末)在实数：3.14159,64,1.010010001…（每相邻两个1之间依次多1 个0)，8,421，n.2号申，无理数的个数是（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(24-25七年级下·陕西商洛·期末)下列各数中，最小的是() A.-2 R C.-V36 D.⑧ 4.(24-25七年级下·陕西安康·期末)下列四个数中，是无理数的是() A.2 B.0 C.-万 D.-8 吉林白山期末)在实数5、2、0、36、-山4红 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.（24-25七年级下·湖北武汉·期末)请写出一个小于4的无理数： (写出一个正确答案即可) 7.(24-25七年级下河北张家口期中)对于实数P,我们规定：用{NP}表示不小于√D的最小整数.例 如：{V4=2,{5=2.现在对72进行如下操作：72-1次→{V72=92*){V5=3诚→{5=2 ,即对72只需进行3次操作就变为2.类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最 大值为 8。(2425七年级下陕西商洛期未)在实数一6，子-3.141和5中，无理数有一个 9.(24-25七年级下·陕西安康期末)请写出一个比√17小的整数： ·(写一个即可) 10.(24-25七年级下·湖南怀化期末)比较大小：2 √6（填“<”，“>”或“=”）. 11.(24-2七年级下广东阳江期中)化简：V2 三、解答题 12.(24-25七年级下·吉林白山期末)计算：-27+√-4+V2-1-√2. 13.(24-25七年级下.甘肃武威期末)计算：π-2+√16+-8. 8/9 14.(24-25七年级下陕西商洛期末)计算：-1225+8-V5-3. 15.(24-25七年级下广东中山期末)中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义： 如果实数m,n满足8m-6n=5,那么就称点P(1+n,1-2m为“中山点. (1)判断点A -小是香为山点，并说要理南： (2)若点B(k,3)是“中山点”，求k的值； y+9=0 (3)己知p,q为有理数，且关于x,y的方程组 、的解为坐标的点C(x,y)是中山点”，求p, x-2y=3p+2 9的值， 16.(24-25七年级下广东广州期末)己知2a-1的平方根是3,25+b的立方根是3，m是a+b的算术平 方根。 (1)填空：a=-,b=-,m=_: (2)若m的整数部分是x,小数部分是y,求y-x的值. 9/9