上海市建平中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

建平中学高一期中数学试卷 2026.04 一.填空题 1.已知向量a=(,3),b=(m,6),若a∥b,则m= 3 2.已知0为锐角，且cos8=亏则tanx+8)= 3.已知i是虚数单位，则1+i+2+i3= 4.已知向量a与万的夹角为7，a=(2,0),则a在i方向上的数量投影为 5.函数f(x)=tanox(0>0)的图像的相邻两支曲线截直线y=元所得线段长为艺， 则实数0= 6.已知sinx=- 2 3'xe[π 3弧]，则x= 7.已知平面上两点4(2,3)，B(4,-3),P为直线AB上一点，且P=PB,则点P的坐 标为 8.已知向量a、b满足|a=1,|b=2,且(2a+b)⊥(2b-),则ab= 9.欧拉是18世纪最杰出的数学家之一，在数学的许多分支中可以经常见到以欧拉命名的 常数、公式和定理，平面几何欧拉定理的内容是：设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径 为r,外心与内心的距离为d,则d2=R2-2Rr,若某直角三角形的斜边长为10，其外心 与内心的距离为d,则d的最小值为 10.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建 筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进 人5o D 100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°， 159 若CD=40米，山坡对于地平面的坡度为0，则0= (精确到0.1°) 1.若函数f)=sin(@x+孕(o>0)在区间亏)上至少有两个零点，则实数0的取 值范围是 12.已知点C是△OAB所在平面上一点，且满足OC=1OA+(1-2)OB(0≤1≤1)，D 为线段4B中点，且O11O丽，丽=4，若0元0D=分，则OC的取值范图是一 二. 选择题 13.向量a=(3,4)的单位向量是（) A.(6,8) B.(8,6) C. D. l4.要得到函数y=tan(2x+乃)的图像，只需要将函数y=tan(2x)的图像() A.向左平移”个单位长度 B.向右平移严个单位长度 5 5 C.向左平移云个单位长度 D.向右平移云个单位长度 10 10 l5.已知函数f(x)=tan(sinx)+tan(cosx),则下列说法正确的是() A.π是f(x)的一个周期 π B.f八闭在(20)上不单调 C.x∈(0，)时，f()>tan(simx+cos)D.f)图像既有对称轴又有对称中心 16.设x,x2,x,x4∈R,且xx4-x25=2,令h(,x2,x,x)=4x+4x+x+x+xx +x2x4,则h(x,x2,x3,x4)的最小值为() A.2W15 B.210 C.8 D.10 三.解答题 17.已知函数f(x)= V3 sin xco+号cos2x- 1 2 4 (1)求函数f(x)的单调递减区间； )若+爱-.0<a受求2名： .3如图，在△ABC中，ABIACE10,(AB,AC=2,AD=3DB,P为直线C 上一点，且满足P=mAC+AB. 2 (1)求m的值； (2)求AP|的最小值. P 19.如图，己知等边三角形ABC的边长为4，以顶点C为圆心，4为半径作圆弧，设P是 弧AB上的动点（包括端点）. A (1)求阴影部分的面积； (2)求(PA+PB)·PC的取值范围. 20. R,函数/①=c0s2x+c0sx+1-a,xE (1)当a=1时，求函数f(x)的值域； (2)讨论函数f(x)的零点个数； 3π (3)若函数f(x)恰有两个零点x,x2,证明：x+x2< 2 21.对于-个向量组a,a2,a,…,an（neN且n之3)，令Sn=a+a2+a+…+an, 如果存在am,m∈{L,2,3,,n仍，使得|am2Sn+kan|（k∈Z),则称am是该向量组 的“k一向量”. (1)设an=(2n,x-n),n∈N且n≥1，若a是向量组a,a2,4的“-3-向量”，求实 数x的取值范围； 2)若a=(sim3,cos s),n∈N且n≥1，则向量组a,a,a,,aa(ieN且 3 i≥1)是否存在“1一向量”？若存在，求出“1一向量”；若不存在，请说明理由； (3)若向量组4，a2,a中的每一个向量均是它的“-1一向量”，且a,=(sinx,cosx), a2=(2cosx,2sinx),设在平面直角坐标系中有一点列P,,…,n,…,n∈N且n≥3， 满足R为坐标原点，PE=a4,且P1(i∈N且i≥1)与P,关于点R对称，P2与 P1关于点P2对称，求Po2,Po2s|的最大值. 参考答案 一.填空题 1.2 2 3.0 4.2 5.4 6.π+arcsin 2- 7. 8.-2 9.52-5 10.23.8° 1. 4）2 【11题】点t=ox+ 所以的数g(t)=sint在 4 4 2 π0，π 2 上至少有两个个点，所以m+T 4 (2 4 故0>2。当 424 1<02 5ππ0<2r时，必有3r<0+4,此附 4 当2r≤0+花<3r时，必有4z<m+ ,此时 1511 -<0< 24 4 @+刀时，即手≤0时， 当3≤2+4 11 2 (+w 4 区间长度超过2π， 必至少有两个零点，综上程引（程+ C 【12题】因为0C.OD=】,所以OC在OD上的数量投影 为 二。 当且仅当0与A重合时10C|趋近最小值4当C与 B A重合时|OC取到最大值1，如图。 二。选择题 13.C 14.C 15.D 16.A 【16题】构造向量a=(x,x),6=(s,x4),则h=41aP+1那+a-i,了=1a51sin0 号-EL,所以a6上。所以h24ab+ab82os22 sine sin 三.解答题 17.解：(1)f(=2 1 sinxcosx+ 2 令 +2k≤2x+≤3+2k,解得+k≤x 2 62 2π+k元， 6 3 因此f()的单调递诚区间为[天+kx 2 3 +kπ，k∈Z。 (2) 由题意知 n[a+}s2a-9.g即csa- 2W2 3 3 1 因为0<a< ,所以0<2a<π，所以sin2a= 3 所以cos π_2W6+1 6 66 4 1 :1)由题意可知AB=AD,所以AP=mAC+AB=mAC+ 3 、1 因为P,C,D三点共线，所以m= (2)由(1)可知，Ap=AC+AB, 3 所以丽-C+号-cP+好+写c丽，因为 2π 下AB,AC三，所以AC·BAC AB cos2=-5,所 亚-C+号-}目衣+分到c- (传c4+分到-5，对c+分亚c-2西 3 当且仅当C5,西卡2店时取等号，所以1P≥ 215 3Γ -5= 3 3 即严色5所以AP的藏小多灯 3 1 π 19.(1)设阴影部分面积为S，则S=S扇形Ac-SMBC= 2x4-8-45 2 3 4 3 (2)法一：以C为坐标原点，CB为x轴， 过C作垂直于CB的直线为y轴，建立直角坐标系。 D 设∠PCB=0,B∈ 则A(2,2W3),B(4,0),P(4cos日，4sin0),， B PA=(2-4c0s0,23-4sin0),PB=(4-4cos0,-4sin0),PC=(-4cos0,-4sin), (PA+PB).PC=(6-8cos0,23-8sine).(-4cos0,-4sin0)=-24cos0-83sin0+32 65cmo:引，图%0numo哥[ 所以(PA+PB)·PC的取值范围为[32-16V3,8]。 法二：取AB中点D,再取CD中点M,则PA+PB=2PD 则(PA+PB)P℃=2PD.PC=2(PMP-|MCP)=2(PMP-3)，由对称性可知， 当点P位于弧AB中点时PMin=4-V5，当点P与点A或B重合时|PMlx=√万， 所以(PA+PB)·PC的取值范围为[32-16V3,8]。 20.(1)f(x)=-cos2x+cosx=cosx+cox- ·，令t=cosx,t∈(-l,0)， 3 则f四=8=1+1-2，因为80的值域为 42 即f(x)的值域为 [ 1 (2)易知f(x)=cos2x+C0sx+ -a,令t=cosx,t∈(-l,0), 1 则f(x)=g(t)=t2+t+ 2a,令80=0，则P+1=a-2te(-109。 1 20政。<-即a<政a2时，(*)无解，故正 2 4 11 当a- ,即a=时，(*)仅一解1= ，故f(x)仅有一个零点； 2 4 2 <a< 4 故f(x)有两个零点。 (3)若f(x)恰有两个零点x,x2，令t=c0sx,42=C0sx2, 所以4为方程+i=a-2的两个根，所以有+板=cos+cos名=-1， 所以cos2x+c0s2x2+2c0sxc0s2=1，由于x,七2 所以cosx<0,cosx2<0,所以COS COSx2>0,所以cos2x+cos2x2<1, cos2x <1-cos2x2 sin2x2 cos2 3π 所以cosx>coS 上单调递减， 2 -3因为y=cosx在( 3π 所以x< 3π -x2，即x+x2< 21.(1)由题意可知4≥S-3a，即回≥a+a-2a，因为a=(2,x-1), a2=(4,x-2),a=(6,x-3),所以a+a2-2a=(-6,3),所以V36+(x-3)2≥V36+9, 解得x≥6或x≤0，即x的取值范围是(-o0,0]U[6,+o)。 (2) 由题意可得=in2+cos2n =1, 因为an+6= 3 a,a,a,…,an以6为周期。若存在”1一向量”am，则只需S5+as1, a-停到停--a〔兽引(=w 所以a+a2+4+a4+a,+a=0，所以S6+5=a+a+a+a4+a=(0,-l1), 故只s+-m+(c-=2-2 co1,oss1, 3 93 当且仅当m=1,5,6,7,11,12,…,6t-5,6t-1,6t,.(t∈N且t≥1)时符合要求， 即m=6t或6t+1或6t+5,且1≤m≤6i+5, 故存在"1向量"，且为a,4,a6，其余均与这三者重复。 (3)由题意可知a≥-a,回2尽，-a回≥尽-a, 4≥+a2-24,4≥+a-284,4≥+4-24， 三式相加化简可得5≤0，即S,=a+a2+a=0, 所以a,=-a1-a2=(-sinx-2cosx,-cosx-2sinx)，设P(x,y,), 则有 (x21241)=2(,）-(x2),① (2+22+2）=2(x3,y2)-(12),② 可得(x2+2,2+2)=2(x2,y2)-2(x,4)+(x,y2)③， 将③累加可得(x2,y2+2)=2[(x,2)-(x,)]+(x,2）, 代入②可得(x12)=2i[(x,)-(x,)】+(x,), 所以B41B42=(x2+2,y242）-(241,y21）=4i(x2-,32-）=4iRB=4iā， =(-sinx-2cosx)2+(-cosx-2sinx)2=5+4sin2x 所以当x=年+k(keZ☑时，回=3，所以P,RmL=4×1013x3=12156.