19.2.1 二次根式的乘法 教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

该教案聚焦二次根式乘法法则及逆用，通过复习二次根式性质，类比整式、分式乘法搭建学习支架，引导学生从旧知过渡到新知探究，梳理前后知识脉络。 此资料以探究式教学为特色，通过三组实例让学生归纳法则培养推理意识，结合长方形菜地面积问题发展应用意识，分层练习与典例讲解提升运算能力。帮助学生规范运算习惯，教师可参考教学步骤与反思优化课堂，提升教学效果。

19.2二次根式的乘法与除法人教版八年级数学下册 19.2.1 二次根式的乘法 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：理解二次根式乘法法则的推导过程，掌握法则√a·√b = √(ab)（a≥0，b≥0），能熟练运用法则进行二次根式的乘法运算和化简，体会“数式通性”的数学思想。 2. 3. 过程与方法：通过从具体实例归纳一般规律的探究活动，培养学生的归纳推理能力和逻辑演绎能力，提升学生灵活运用公式的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：让学生在探究过程中感受数学知识的严谨性，体会数学的简洁美，增强学习代数的自信心，培养规范运算的良好习惯。 6. 二、教学重难点 重点：二次根式乘法法则的推导及正向、逆向应用。 难点：灵活运用法则进行二次根式的化简，明确法则成立的条件（a≥0，b≥0）。 三、教学准备 教师：多媒体课件、例题板书；学生：复习二次根式的概念和性质，预习本节课内容。 四、教学过程 （一）复习导入（5分钟） 1. 提问学生：二次根式有哪些核心性质？引导学生回顾双重非负性、(√a)² = a（a≥0）等知识点，为新课学习铺垫。 2. 类比导入：我们已经学习了整式、分式的乘法运算，二次根式作为一种特殊的代数式，也有相应的乘法法则。今天我们就来探究二次根式的乘法运算。 （二）探究新知（15分钟） 1. 探究规律：课件出示三组计算题，让学生独立计算，观察结果并总结规律。 （1）√4×√9 = ______，√(4×9) = ______；（2）√25×√16 = ______，√(25×16) = ______；（3）√6×√7 = ______，√(6×7) = ______。 2. 归纳法则：学生交流讨论后，教师引导归纳：两个二次根式相乘，先将被开方数相乘，再对所得的积取算术平方根，即√a·√b = √(ab)（a≥0，b≥0），强调a、b非负的重要性，避免出现无意义的情况。 3. 法则逆用：引导学生将法则反过来，得到√(ab) = √a·√b（a≥0，b≥0），说明其用途是化简二次根式，即将被开方数拆成两个非负数的积，把能开得尽方的因数移到根号外。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（乘法运算）：计算（1）√3×√5；（2）2√6×3√2；（3）√2×(-√6)。讲解时强调：系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘，结果化为最简。 例2（化简）：化简（1）√12；（2）√4a²b³（a≥0，b≥0）。引导学生分解被开方数，找出能开得尽方的因数或因式，灵活运用逆用法则化简。 教师板书规范解题步骤，提醒学生注意符号和化简标准，培养严谨的解题习惯。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（计算）：√2×√8、3√5×√10；提高题（化简）：√48、√9x³y（x≥0，y≥0）。学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性问题集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课学习了二次根式的乘法法则及逆用，明确了法则成立的条件，掌握了二次根式乘法运算和化简的方法。师生共同梳理重点，梳理易错点，加深记忆。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固法则应用；拓展作业：思考二次根式乘法与整式乘法的联系，为后续学习铺垫。 五、板书设计 19.2.1 二次根式的乘法 1. 法则：√a·√b = √(ab)（a≥0，b≥0） 2. 逆用：√(ab) = √a·√b（a≥0，b≥0）（化简） 例1：计算 例2：化简 （解题步骤） （解题步骤） 六、教学反思 本节课通过探究活动引导学生归纳法则，基本达成教学目标，但对含字母根式化简的非负性强调不够，部分学生易忽略字母取值范围。后续需增加变式训练，优化练习梯度，满足不同层次学生需求，强化法则本质理解。 第 1 课时 二次根式的乘法 教学设计 教学目标 课题 19.2 第1课时二次根式的乘法 授课人 素养目标 1.理解和掌握二次根式的乘法法则： ,经历法则的探究过程，体会合情推理与演绎推理相互补充的辩证关系. 2.理解和掌握积的算术平方根的性质： ,体会二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质之间的互逆关系. 3.利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行计算和化简，提高学生的运算能力，初步要求计算结果达到求简意识. 教学重点 会利用积的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的乘法运算. 教学难点 二次根式的乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 如图，元元家有一块长方形菜地，长为 m,宽为 m，你能求出菜地的面积吗? 【教学建议】 让 学 生 相互讨 论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调动积极性. 设计意图 利用实际问题引入新课. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 二次根式的乘法法则 1.计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律? 答：规律：(1)被开方数都是正数；(2)左边的两个二次根式的乘积等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的乘积等于右边的一个二次根式的被开方数. 2.你能用字母表示你发现的规律吗? 答：二次根式的乘法法则： 即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 3.(教材P6 例1)利用你发现的规律计算： 解： 【教学建议】 学生口答问题1 的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整.学生讨论问题2，教师板书总结，并提醒 (a≥0,b≥0)可以推广到多个二次根式的情况，如 c≥0).提醒学生二次根式的乘法可以类比单项式的乘法，如果有系数，就将系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘. 设计意图 引导学生观察总结出二次根式的乘法法则. 八年级数学下册7 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 【对应训练】 1.下列各等式中成立的是(D) 2.计算: 3.教材P7 练习第 1题. 设计意图 探究点2 积的算术平方根的性质 把反过来，就得到 ，利用它可以进行二次根式的化简. 1. a，b的取值有什么特点?积的算术平方根的性质和二次根式的乘法法则在用法上有什么区别和联系? 答：a，b都是非负数.积的算术平方根的性质是二次根式的乘法法则的逆用，可以用来化简二次根式. 2.(教材 P7例 2)化简: 解： (. 【对应训练】 教材P7 练习第 2题. 【教学建议】 指定学生代表回答，说明 (a≥0,b≥0)可以推广为右边是多个二次根式的情况，例如 (a≥0,b≥0,c≥0). 引导学生逆向思考，发现积的算术平方根的性质. 活动三：重点突破，提升探究 例1解答教材 P7 例3. 例2解答活动一中的问题. 解： . 故菜地的面积为 【对应训练】 1.化简的结果是(D) 2.计算: 解：( . 3.教材P7 练习第 3题. 【教学建议】 提醒学生：(1)在二次根式相乘的时候就可以考虑因数(式)分解，如由 直接可得 而不必先写成 (2)化简二次根式 时，先找出 ab 中最大的能开得尽方的因数(式)，再按公式化简；(3)能开得尽方的一定要开出来；(4)有带分数的先化为假分数. 设计意图 巩固对二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的理解. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 二次根式的乘法法则是什么?其逆向公式怎么表示?二次根式的乘法运算与化简要注意什么? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P11~12习题19.2第1,5,6,12,13题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 8 名师教学设计 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 板书设计 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时 二次根式的乘法 1.二次根式的乘法法则： 2.积的算术平方根的性质： 教学反思 本节课的内容环环相扣，层层递进，最后要综合运用，前面理解不透就很可能导致后面无法下手，所以要特别注意帮助学生夯实基础.教学中可以多引导学生自己发现总结，互相讨论，以便让他们理解更深刻. 备课素材 解题大招 解题大招一 化简二次根式 (1)对被开方数进行因数或因式分解； (2)分解后把能开得尽方的开出来. 例1 化简二次根式 的结果是(D) B. 解析：根据题意，知 所以x<0，所以原式 ，故选 D. 注意：在利用积的算术平方根的性质化简时，一定不能忽视被开方数均为非负数的条件，不能犯这样的错误： 解题大招二 根据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质确定字母的取值范围 例2 等式 成立的条件是(C) A. x≥4 B.x≥-5 C.-5≤x≤4 D.x≥-5或x≤4 解析：由题意，得 所以-5≤x≤4.故选C. 培优计划 培优点 二次根式乘法法则的灵活运用 例1 设x，y是有理数，且x，y满足等式. 则 的平方根是(A) A.±1 B.±2 C.±3 D.±4 解析：因为x，y为有理数，所以x+2y为有理数.又. 所以 解得 所以 .因为1的平方根是±1，所以 的平方根是±1.故选 A. 例2 已知m 为正整数，若 是整数，则根据 可知m有最小值3×7=21.设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为 3 ，最大值为 75 . 解析：因为 且为整数，所以n的最小值为3. 因为 是大于1的整数，所以 越小 越小，则n越大. 当 时 所以n=75. 经检验，n=75是原方程的解.故n的最大值为75. 故答案为3,75. 八年级数学下册 9 学科网（北京）股份有限公司 $