19.2 二次根式的乘除 教学设计 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.2 二次根式的乘除

教材分析

本节课主要学习二次根式的乘除法法则及最简二次根式的概念，通过具体数值的计算探究规律，归纳得出 （ ）和 （ ），并利用逆向形式进行化简，进而引出最简二次根式的两个特征：被开方数不含分母且不含能开尽方的因数或因式。教学过程以问题引导、学生自主计算与观察发现为主，注重从特殊到一般的归纳推理。本节内容承接了算术平方根与实数运算的知识，是后续进行二次根式加减、混合运算以及解方程、化简代数式的基础。掌握这些法则不仅有助于提高学生的运算能力和代数推理能力，也为今后学习勾股定理、一元二次方程、函数等内容提供必要的运算工具，增强数学表达与化归意识。

学情分析

八年级学生已掌握算术平方根、实数概念及基本代数运算，了解 在 时的意义，具备进行简单根式计算的能力，同时这个年龄段的学生抽象思维逐步发展，能够通过具体数值探究发现一般规律，但对符号化表达和公式逆向运用仍需引导，本节课要求学生通过计算具体实例归纳出二次根式的乘除法法则 和 ，并能正用与逆用进行化简，理解最简二次根式的形式要求，帮助学生提升运算能力和逻辑推理水平，为后续二次根式运算及代数化简打下坚实基础。

教学目标

1. 理解二次根式乘法法则 （ ）的推导过程，掌握其正向与逆向应用，提升数学运算和逻辑推理能力，发展符号意识与运算素养。

2. 掌握二次根式除法法则 （ ）并能用于化简，通过观察与归纳发现规律，培养模型观念和数学抽象核心素养。
3. 理解最简二次根式的两个特征，能判断并化简为最简形式，增强规范表达意识，在运算中提高数学运算的准确性与严谨性。
4. 运用二次根式运算法则解决实际问题，体会数学与现实的联系，提升应用意识和综合解决问题的能力。

重点难点

重点：

掌握 、 ，会化简二次根式。

难点：

理解法则推导，能准确将二次根式化为最简形式。

课堂导入

课堂导入设计

同学们，我们已经认识了二次根式这个新的“实数成员”。现在来看一个实际问题：有两个电视塔高度分别是 km和 km，它们的信号传播半径分别是 km和 km，那这两个半径的比值 该怎么简化呢？

要解决这个问题，我们得先搞清楚二次根式的乘除运算有什么规律。接下来我们就通过几组具体的计算，一起探究二次根式的乘、除法法则，学会之后就能轻松化简这类式子啦！

二次根式的乘法法则

探究新知

（一）知识精讲

同学们，让我们一起来探究二次根式的乘法法则。首先观察以下计算：

计算下列各式，并观察结果：

1. ，
2. ，
3. ，

 

通过观察这些计算结果，我们可以发现一个重要的规律：两个二次根式相乘，等于被开方数相乘后再开方。也就是说， ，其中 ， 。

这个规律就是二次根式的乘法法则。我们可以用数学表达式表示为：
 

 

特别地，这个法则还可以反过来使用，即：

这个形式在化简二次根式时非常有用。