二次函数中平行四边形的存在性问题2026年中考数学复习专项

二次函数中平行四边形的存在性问题2026中考数学复习专项 1．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求出点M的横坐标． 2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． (3)点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标； 3．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交于点M，当t为何值时，线段的长最大，并求其最大值，和此时点P的坐标； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于． (1)求二次函数的解析式； (2)点在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点的坐标； (3)若点D在对称轴上，抛物线上是否存在点，使，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点，连接，点P是抛物线上的一个动点，点M是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式． (2)若以点C，B，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标． (3)若，直接写出点P的横坐标为_______． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．       备用图 (1)求该抛物线的函数解析式． (2)在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值． (3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知，如图，抛物线的图像经过与．    (1)求抛物线解析式； (2)已知四边形为平行四边形，其中、两点在线段上，、两点在直线上方的抛物线上． ①若轴，求线段的取值范围； ②若，求点的坐标． 9．如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点D是抛物线上的一个动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)当的面积等于的面积的时，求的值； (4)在（）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线恰好经过A、B两点且与x轴交于另一点C（在点A左侧）． (1)求抛物线解析式； (2)如图（1），点D是抛物线上在第一象限上的一点，点E是平面内一点，四边形ADBE是平行四边形，当的面积为时，求出点D的坐标； (3)如图（2），点D是抛物线上在第一象限上的一点，点F是平面内一点，四边形DBCF是平行四边形，连接CD交AB于点M，AB交DF于点N，设的面积表示为，的面积表示为，的面积表示为，求的最大值． 11．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，C的坐标分别为，，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)若的平分线交于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点A作的垂线交于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由． 12．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：抛物线的解析式为 (2)点在第二象限内的抛物线上，交于点，若与相似，求点的坐标； (3)如图2，点在对称轴上，过点任作直线（不同于对称轴）交抛物线于、两点，点为对称轴上的一个定点，以、为邻边作平行四边形，若在的旋转变化过程中，点始终落在抛物线上，求点的坐标． (4)（选做，不计总分）若平行四边形的面积为，请直接写出直线的函数解析式为 ． 13．如图，抛物线交轴于和两点，与轴交点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，连接，是的中点，过点作直线轴，垂足为，交抛物线于点F．过点作于点，与轴交于点，求线段的长； (3)连接，点为线段上一动点，点在轴上，在右侧作平行四边形． ①如图②，当平行四边形为菱形，且点在抛物线上时，求点的坐标； ②如图③，当点为的中点时，连接，求的最小值． 14．如图，抛物线过点，点P在抛物线上，且横坐标为m，抛物线P、Q之间的部分（包括P、Q点）图象记为M． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求图象M最高点与最低点纵坐标的差． (3)点B坐标为，以为对角线构造平行四边形，轴，过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分．当时，求平行四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)存在， (3)满足题意的点M的横坐标为2或或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）连接，交对称轴于点P，连接，当B、C、P三点共线时，的周长有最小值，从而求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再把代入即可求解； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出点M的横坐标即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下： 连接，交对称轴于点P，连接， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴； （3）解：，， 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍），或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得（舍），或， ∴； 当为平行四边形的对角线时， ∴， 解得或， ∴或 综上所述，满足题意的点M的横坐标为2或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、轴对称的性质、平行四边形的性质及中点坐标公式、解一元二次方程，熟练掌握轴对称的性质、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质是解题的关键． 2．(1) (2) (3)，或， 【分析】（1）把，代入，求出的值，即可作答． （2）过点E作轴，交于点F，求出一次函数直线的解析式，设，利用铅垂高×水平宽×等于，代入数值计算化简，结合二次函数的图象性质，即可作答． （3）设，结合平行四边形的性质：对边平行且相等，运用点的平移性质列式计算即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴把，代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图：过点E作轴，交于点F， 设直线的解析式为 把，代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； 设， 则 故 ∵点E是第四象限内抛物线上的动点， 即 ∴，开口向下，当时，有最大值，即； （3）解：∵ ∴对称轴直线； ∵点在抛物线的对称轴上，点在轴上， ∴设 ∵以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形， ∴当四边形是平行四边形时，如图： ∵，， ∴点向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点B， 则向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点 即 解得， 此时，； ∴当四边形是平行四边形时，如图： ∵，， ∴点向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点B， 则向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点 即 解得， 此时，； 综上：满足条件为：，或， 【点睛】本题考查了二次函数与特殊平行四边形综合，二次函数的图象性质与面积最大值、平行四边形的性质、平移性质、待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性强，熟练运用分类讨论是解决第（3）小问的关键 3．(1) (2)当， 有最大值，且最大值为，点； (3)以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为或或，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式、二次函数与线段及特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． （1）将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，根据即可求解； （3）由题意得，；若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则；设，则，根据即可求解； 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则， ∴ ； ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； 此时，即点； （3）解：∵， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与直线相交于点B， ∴， ∵， 若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， 解得：（舍）， ∴或或， ∴点E的坐标为或或． 4．(1) (2) (3)、或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接与对称轴交于点P，确定，此时有最大值，直线与对称轴的交点即为P点； （3）设，分点E在对称轴左侧和右侧两种情况利用中点坐标公式结合平行四边形的性质列式求出点E的横坐标，即可得出点E的纵坐标，即可解决问题 【详解】（1）将，，代入，得： ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴， 连接与对称轴交于点P， ∴，此时有最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴， 当时， ∴； （3）①当点E在对称轴右侧，若为的对角线时， ∵，，， 由中点坐标公式得，， 解得，， ∴ ∴； 若为的边时， ∵，，， 由中点坐标公式得，， 解得，， ∴ ∴； ②当点E在对称轴左侧，若为的边时， ∵，，， 由中点坐标公式得，， 解得，， ∴ ∴； 综上，点E的坐标为、或 5．(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）根据．可求得，设抛物线的表达式的抛物线为：，将代入即可求解； （2），为定值，故求出的最大值即可求解；根据即可求解； （3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点的坐标，继而根据即可求解； 【详解】（1）解：∵，． ∴ 设抛物线的表达式的抛物线为：， 将代入可得： 解得： ∴ （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； ∵，为定值 ∴此时也最大 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令可得，即 联立，解得： ∴ ∴ （3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线， 由（2）可得， 设 若四边形为平行四边形，则， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 则，即 ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键． 6．(1)抛物线的解析式为 (2)或或 (3)点P的横坐标为 【分析】（1）将点的坐标代入表达式，求出抛物线的解析式； （2）根据题意分是平行四边形的边或对角线两种情况讨论，然后根据平行四边形的性质列方程求出点P的坐标； （3）设与x轴的交点为N，过点N作于Q，运用三角函数来表示线段的长度，，求出过点C、P的直线的函数表达式，再联立方程组，求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点和点，交y轴于点， ∴可列出以下方程组：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵以点C，B，P，M为顶点的四边形是平行四边形，且，， 设， ①如图所示，当为平行四边形的边时， ∴由平行四边形的性质可得，，即 解得， ∴将代入得， ∴； ②如图所示，当为平行四边形的边时， ∴由平行四边形的性质可得，，即 解得， ∴将代入得， ∴； ③如图所示，当为平行四边形的对角线时， ∴由平行四边形的性质可得，，即 解得， ∴将代入得， ∴； 综上所述，点P的坐标或或； （3）解：设与x轴的交点为N，过点N作于Q，设，，如下图所示， 在中，， 在中，，， ∴， 又∵在中，， ∴，， ∵， 代入后可求得， ∴， 设过点C、P的直线的函数表达式为， ∵函数过点，， ∴，解得， ∴函数表达式为， 联立方程组， ， 解得或， ∵当是，点P与点C重合， ∴， 即点P的横坐标为； 【点睛】本题主要考查抛物线和几何结合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质和三角形函数等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．(1)； (2)存在，点P的坐标为，的面积最大值为； (3)存在，N点坐标为或或． 【分析】（1）将点，代入抛物线的函数解析式求解，即可解题； （2）过点P作轴，交于点Q，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，表示出，利用二次函数的最值，得到的最大值，推出点P的坐标，进而得到的面积最大值； （3）根据以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况讨论，①当，为对角线时，②当，为对角线时，③以，为对角线时，利用平行四边形对角线互相平分的性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点，代入中， 有，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为，把，代入， 可得，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 点P在直线的下方， ， ， 当时，有最大值，最大值为4， 此时点P的坐标为， 的面积最大值为； （3）解：存在，理由如下： 点N是对称轴上的一点，点P是抛物线上一点， 设N点坐标为，P点坐标为， 以点B，C，P，N为顶点的平行四边形： ①当，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为； ②当，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为； ③以，为对角线时， ，且，解得，， 此时N点坐标为． 综上，N点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 8．(1) (2)①；② 【分析】（1）把代入，求出的值即可； （2）先求出直线的解析式，再作与平行且与抛物线有唯一公共点，求得解析式为，联立方程组，求出交点坐标即可求出的取值范围；②根据平行四边形的性质可得，作辅助等腰直角三角形，设，则点，代入可得：，解方程求得，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的图像经过与， ∴把代入，得，， 解得，， 所以，抛物线的解析式为：； （2）①设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 设与平行 与抛物线有唯一交点的直线解析式为， 与抛物线联立方程得， 整理得， ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， ∴ ∵是平行四边形一边， ∴线段的取值范围为； ②过作轴于点E，则    ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 设的延长线交x轴于点R，则 过点作于点，则四边形是矩形， ∴, 设 则， ∴ 解得，， ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、平行四边形的性质等知识点． 9．(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)的值为； (4)存在，点的坐标为或或或． 【分析】（）把、代入列方程组求出的值即可； （）连接交抛物线的对称轴于点，连接，先求得直线的函数表达式为，根据轴对称的性质和两点之间线段最短证明点与点重合时， 的周长最小，求出此时点的坐标即可； （）作轴于点，交于点，求出直线的函数表达式，则 ，再用含的代数式表示的长及 的面积，根据的面积等于的面积的列方程求出的值即可； （）先证明当点的纵坐标与点的纵坐标相等或互为相反数, 且时，以点为顶点的四边形是平行四边形，按点在轴上方或点在轴下方分类讨论，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点，代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点，代入关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线，且直线垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴当点与点重合时，， 此时，可知的值最小， 在中，的边为定值， ∴当的值最小时，则的周长最小， 由抛物线的解析式为，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， ∴； （3）解：如图，作轴于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去），， ∴的值为； （4）解：存在，设， 当时，， 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∵点与点关于抛物线的对称轴直线对称， ∴点， ∵， ∴，； 如图，四边形、四边形都是平行四边形，点的纵坐标， ∴， 整理得， 解得，， ∴，， 作轴于点，轴于点，轴于点， 则，，，， ∵，，， ∴， ∴， 同理 ∴，， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论等数学思想的运用等知识与方法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．(1) (2)D点坐标为 (3) 【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平行四边形的性质，得到的面积为，过点D作轴交于P，利用，列出方程进行求解即可； （3）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，利用平行线分线段成比例，得到，进而得到，过点C作轴，交直线于点，证明，得到，进而将转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：对函数，当，得；当，得； ∴， 将A、C点坐标代入抛物线解析式得 ，解得； ∴抛物线解析式为； （2）∵ ∴， 连接，过点D作轴交于P， 设，则 ∴ ∴ 解得：， ∴所求D点坐标为； （3）∵， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴过点C作轴，交直线于点，则，， ∴， ∵， ∴，             ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，属于中考压轴题．涉及二次函数的图像与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 11．(1) (2)点P坐标为 (3)、或 【分析】（1）由平行四边形的性质求点坐标，根据抛物线经过点、、用待定系数法求解析式． （2）由平分易证得，故有，求得点坐标，进而求得直线解析式．求抛物线对称轴为直线，即求得点坐标．作点关于轴的对称点点，由于点在轴上运动，故有，所以当点、、在同一直线上时，最小．用待定系数法求直线解析式，即求得与轴交点的坐标． （3）设与相交于点，且的横坐标为，即能用表示、的长，由于点，根据勾股定理可得，把代入解方程即求得的值即求得点坐标．待定系数法求直线解析式，令时求的值即为点坐标．故可得，且点、关于直线对称．由于以点，，，为顶点的平行四边形中，、固定，以为平行四边形的边或对角线进行分类讨论．①以为边时，可得，且，故可得点横坐标为3或11，代入抛物线解析式即求得纵坐标．②以为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得点在抛物线对称轴上，求顶点即可． 【详解】（1）平行四边形中，，， ，轴， ，，即， 设抛物线经过点、、， ，解得：， 抛物线解析式为； （2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，即， 直线解析式为， 直线交抛物线对称轴于点，对称轴为直线：， ， 点与点关于轴对称，点在轴上， ，， 当点、、在同一直线上时，最小， 设直线解析式为， ，解得：， 直线， 当时，解得：， 当的值最小时，点坐标为． （3）存在满足条件的点，，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形． 设与相交于点，如图2， 于点，， ， ， ， 解得：（舍去），， ， 设直线解析式为，    解得：， 直线， 当时，，解得：， ， ，点、关于直线对称， ①当为以点，，，为顶点的平行四边形的边时，如图2， 则，， 点在抛物线对称轴：直线上， 或，即或3， 当时，， 当时，， 或， ②当为以点，，，为顶点的平行四边形的对角线时，如图3， 则、互相平分， 直线平分，点在直线上， 点在直线上，即为抛物线顶点， ， ， 综上所述，点坐标为、或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，轴对称求最短路径，解二元一次方程，勾股定理，解一元二次方程．其中第（2）题由轴对称求最短路径和第（3）题已知平行四边形的两顶点固定、求另两个顶点位置，都是函数与几何综合题里的常考题型． 12．(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可； （3）设，，待定系数法求得直线的解析式为，代入得出，进而根据平行四边形的性质以及平移的性质得出，代入抛物线解析式，得出，进而求得，即可求解； （4）根据已知得，则，结合，求得的值，代入直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 故答案为：． （2）解：在中，令，则，即， ∵，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵与相似， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立，可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为，纵坐标为 ∴； 当时，，即， ∴， 过点作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）； 此时点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 代入， ∴， 设， ∵到向右平移个单位，向下平移个单位长度， ∴将向右平移个单位，向下平移个单位长度得到， ∴， 又∵在抛物线上， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得： ∴； （4）解：∵，， ∴， 设，， 由（3）可得直线的解析式为， ∵平行四边形的面积为， ∴， ∴， 又∵， 当时，，解得：或， 当时，，解得：或， 又∵直线的解析式为， ∴或， 故答案为：或． 13．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）通过设交点式，再代入点坐标可解得的值，进而可得解析式； （2）先求顶点，由中点坐标公式知，，再导角证明，从而，进而得．把代入中，可得，即，故； （3）①由待定系数法可得直线的表达式为，设，再表示出，．故．根据，可得，故，当时，平行四边形为菱形，故，解得或（不合题意，舍去），故点坐标为，； ②作关于轴的对称点，连接，以、为邻边构造平行四边形，如图③所示，故，当且仅当、、三点共线时取等号，根据平移的性质求出点，故，即的最小值为． 【详解】（1）解： 抛物线交轴于和两点， 故设，代入点，得， 解得， 故， （2）由可知顶点， 是的中点， ,， ，， ， ， ． ． 把代入中，可得，即， 故． （3）①由待定系数法可得直线的表达式为， 设， 把代入中，可得， 即，． ． ， ， ， 当时，平行四边形为菱形， 故，整理可得， 因式分解可得， 解得或（不合题意，舍去）， 当时， ∴点坐标为； ②作关于轴的对称点，连接，以、为邻边构造平行四边形， 如图③所示， 故，当且仅当、、三点共线时取等号， 点为的中点， ，由平移的性质可知点到点向右平移了1个单位，向上平移了2个单位， 故点坐标在基础上也向右平移了1个单位，向上平移了2个单位， 即， 故， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形，中点坐标，一次函数的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，因式分解，线段和最值，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解题关键． 14．(1) (2)16 (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行四边形的性质，运用数形结合和分类讨论的思想； （1）运用待定系数法将坐标代入解析式即可求出； （2）运用二次函数的性质可得抛物线的顶点坐标为，即图象最高点为顶点，其纵坐标为4，再求得，P点为图象最低点，其纵坐标为，即可求得答案； （3）当时，，，由平行四边形性质可得：，，设A点坐标为，则，直线l将平行四边形的面积分成的两部分，根据直线l与交点D的位置进行分类讨论，分别利用三角形的面积占平行四边形面积的来建立方程求解. 【详解】（1）解：把代入中得： ， 解得， ∴抛物线解析式为. （2）解：在中，当时，， ∴ 如图所示: ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当时，图象最低点为P，最高点为顶点 ∴当时，， ∴图象M最高点与最低点纵坐标的差为. 故答案为：16. （3）解：当时，， ∵以为对角线构造平行四边形，轴， ∴， 设，则， ∴， ∵过C作x轴的垂线l，直线l将平行四边形的面积分成的两部分， ∴分两种情况： 当直线l与的交点在线段上时，如图， ∴， ∴， 解得， ∴； 当直线l与线段相交于点E时，如图， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， 即， 解得， ∴； 综上所述，当时，平行四边形的面积为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $