11.1二次根式的概念同步讲义（题型归纳+知识点梳理+过关小练）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

11.1 二次根式的概念 同步讲义（苏科版） ★题型归纳 题型1.二次根式的识别. 题型2.求二次根式的值. 题型3.求二次根式中的参数. 题型4.二次根式有意义的条件. 题型5.利用二次根式的性质化简. 题型6.过关测试（12题）. ✏知识点梳理 【知识点一、二次根式】 1. 定义：形如的式子叫做二次根式。 2. 举例：如等式子，都叫做二次根式． 【重点点提示】二次根式有意义的条件：，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义． 【知识点二.二次根式的性质】 （1）； （2）； （3）． 【重点提示】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（）； （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义． （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义化简． （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； ＝，＝（）． 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，＝． 【知识点三、二次根式有意义的条件】 1. 单一二次根式：有意义的条件：被开方数a≥0； 例：有意义⟹x-2≥0⟹x≥2。 2. 复合代数式：（含分式、多个二次根式） 须同时满足两个条件： （1） 二次根式：每个被开方数≥0； （2） 分式：分母≠0 例：有意义⟹⟹x≥4且x≠5 【知识点四、最简二次根式】 （1）被开方数是整数或整式；（2）被开方数中不含能开方的因数或因式． 【重点点提示】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2． 【知识点五、同类二次根式】 1.定义：.几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 2.如何判定 （1）将每个二次根式彻底化简为最简二次根式； （2）观察被开方数是否完全一致，系数不影响判定。 【知识点六、易错点提醒】 1.混淆()2与，前者直接得a，后者必带绝对值； 2.化简不彻底：残留能开方的数（如​未化为2​） 3.忽略取值前提：拆分公式时不写a≥0； 4.分母有理化漏乘：去分母根号时，分子分母未同乘因式。 ☘题型解读 【题型1二次根式的识别】 【例1】．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【变式1】.小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【变式2】．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2求二次根式的值】 【例2】．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．二次根式：一般地，形如（______）的式子叫做二次根式，其中，叫作______数． 【变式2】．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【题型3求二次根式中的参数】 【例3】．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是______． 【变式2】．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【题型4二次根式有意义的条件】 【例4】．如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．等式成立的条件是_____． 【变式2】．已知实数满足，求的值． 【题型5利用二次根式的性质化简 【例5】．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．若，，则用含，的代数式表示是_____． 【变式2】．已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． ✏过关小练 一、单选题 1．在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 2．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 5．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，，则的值为__________． 7．已知，则的算术平方根为________． 8．当时，化简：________． 9．2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛．参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为______（结果保留根号）． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)． 11．先化简，再求值：，其中． 12．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1 二次根式的概念 同步讲义（苏科版） ★题型归纳 题型1.二次根式的识别. 题型2.求二次根式的值. 题型3.求二次根式中的参数. 题型4.二次根式有意义的条件. 题型5.利用二次根式的性质化简. 题型6.过关测试. ✏知识点梳理 【知识点一、二次根式】 1. 定义：形如的式子叫做二次根式。 2. 举例：如等式子，都叫做二次根式． 【重点点提示】二次根式有意义的条件：，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义． 【知识点二.二次根式的性质】 （1）； （2）； （3）． 【重点提示】（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（）； （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义． （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义化简． （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； ＝，＝（）． 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，＝． 【知识点三、二次根式有意义的条件】 1.单一二次根式：有意义的条件：被开方数a≥0； 例：有意义⟹x-2≥0⟹x≥2。 2.复合代数式：（含分式、多个二次根式） 须同时满足两个条件： （1） 二次根式：每个被开方数≥0； （2） 分式：分母≠0 例：有意义⟹⟹x≥4且x≠5 【知识点四、最简二次根式】 （1）被开方数是整数或整式；（2）被开方数中不含能开方的因数或因式． 【重点点提示】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2． 【知识点五、同类二次根式】 1. 定义：.几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 2. 如何判定 （1）将每个二次根式彻底化简为最简二次根式； （2）观察被开方数是否完全一致，系数不影响判定。 【知识点六、易错点提醒】 1.混淆()2与，前者直接得a，后者必带绝对值； 2.化简不彻底：残留能开方的数（如​未化为2​） 3.忽略取值前提：拆分公式时不写a≥0； 4.分母有理化漏乘：去分母根号时，分子分母未同乘因式。 ☘题型解读 【题型1二次根式的识别】 【例1】．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】.小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【变式2】．有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 【题型2求二次根式的值】 【例2】．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【变式1】．二次根式：一般地，形如（______）的式子叫做二次根式，其中，叫作______数． 【答案】 被开方 【分析】本题考查了二次根式的定义及对二次根号的认识，根据二次根式的定义即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键. 【详解】解：一般地，形如（）的式子叫做二次根式，其中，叫作被开方数， 故答案为：，被开方． 【变式2】．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 【题型3求二次根式中的参数】 【例3】．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 【变式1】．二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 【变式2】．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 【题型4二次根式有意义的条件】 【例4】．如图是x在数轴上表示的取值范围，满足条件的任意x的值都能使一个二次根式有意义，则这个二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数是非负的． 【详解】解：由数轴可知，． A、二次根式有意义的条件是，则当时，其无意义； B、二次根式有意义的条件是，即，正确； C、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义； D、二次根式有意义的条件是，即，则当时，其无意义． 【变式1】．等式成立的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵要使等式成立，等式两边均需有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2】．已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得到，即，化简，整理后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴， 可化为， 整理得， ， 解得． 【题型5利用二次根式的性质化简 【例5】．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质，立方根．根据二次根式的性质化简，立方根的定义即可求解． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能进行加减运算，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．若，，则用含，的代数式表示是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、含字母的根式化简，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，再用字母表示数即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 【变式2】．已知，且； (1)分别化简x和A； (2)将x的值代入A化简后的结果，求A的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式化简，利用平方差公式化简A； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 则； （2）解：将代入得： ． ✏过关小练 一、单选题 1．在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义， 需根据“形如的式子是二次根式”这一概念判断各选项． 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 故选：D． 2．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 3．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，在数轴上表示不等式的解集，求得不等式的解集是解题的关键； 根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得， ∴解集在数轴上表示，如图， 故选：C． 4．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 5．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可． 本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 故选：A． 二、填空题 6．已知，，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次根式的性质． 根据二次根式的性质求出a、b的值，进而求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 7．已知，则的算术平方根为________． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质和算术平方根的计算． 根据算术平方根和平方的非负性，它们的和为零时，每个都必须为零，从而求出x和y的值，再计算，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 8．当时，化简：________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简．先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 9．2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛．参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，化简二次根式，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 由正方形的性质以及勾股定理求解一条对角线长度，再求两条对角线之和即可． 【详解】解：∵正方形的一组邻边和一条对角线形成等腰直角三角形， ∴一条对角线长为， ∴副骨架的总长为， 故答案为：． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义计算即可； （2）根据分式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分作差，再将除法化为乘法约分化简，然后利用二次根式有意义的条件求出、的值，代入计算求值即可． 【详解】解： ， ， ∴， ， ∴ 原式． 12．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $