精品解析：上海市川沙中学2025-2026学年第二学期高一数学期中试卷

上海市川沙中学2025学年第二学期高一数学期中试卷 （满分100分，考试时间90分钟 ） 一、填空题（本大题共12题，每题3分） 1. 函数的最小正周期为______． 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 3. 复数满足，则__________. 4. 向量平行于，则实数的值为__________. 5. 求函数的定义域_______ 6. 向量在方向上的数量投影为__________. 7. 已知，若、满足，且的最小值为，则________. 8. 已知：二次方程（）有实数根，则的值是__________. 9. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 10. 图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 11. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是__________. 12. 已知平面向量满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为__________. 二、选择题（本大题共4题，每题3分） 13. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的（ ） A. B. C. D. 15. 在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）若，求实数的值. 18. 关于的方程． （1）若是方程的一个虚根，求的值； （2）若，是方程的两个虚根，且，求的值． 19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记 （1）试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积. （2） 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？ 20. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； （3）在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”. （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间； （3）在（2）条件下： ①写出函数（）的解析式； ②当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2025学年第二学期高一数学期中试卷 （满分100分，考试时间90分钟 ） 一、填空题（本大题共12题，每题3分） 1. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 2. 若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为________. 【答案】平行或相交 【解析】 【分析】根据直线共面的定义可得出结论. 【详解】若空间中两条直线、确定一个平面，则、平行或相交. 故答案为：平行或相交. 3. 复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 所以. 4. 向量平行于，则实数的值为__________. 【答案】4 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 5. 求函数的定义域_______ 【答案】 【解析】 【分析】由，求解即可. 【详解】∵函数有意义，, ∴函数的定义域为. 故答案为： 6. 向量在方向上的数量投影为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量在向量上的数量投影的定义求解. 【详解】因为，， 所以在方向上的数量投影为. 7. 已知，若、满足，且的最小值为，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可. 【详解】若、满足，则函数在、处取到最值， 的最小值为，所以，解得. 故答案为：4. 8. 已知：二次方程（）有实数根，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简所给方程，根据复数相等的概念列方程组，解方程组求得的值，再求复数的模即得. 【详解】因为二次方程（）有实数根， 所以，即 根据复数相等得，解得， 所以. 9. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 10. 图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于， 所以且，其中, ， 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即，故，取得的最小值为； 的取值范围是． 故答案为：． 11. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有5个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，求得，得到函数的零点，转化为与的图象交点个数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数， 可得，可得函数为偶函数，其图象关于轴对称， 因为有5个零点，所以必有一个零点为， 则，可得， 所以函数的零点， 等价于函数与的图象在上的交点个数， 令 由，可得， 要使得函数与的图象在上有5个交点， 则满足，解得，即实数的范围为. 故答案为：. 12. 已知平面向量满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】对两边平方有有解，再利用基本不等式可得，进而求得面积的最大值即可 【详解】设，因为，故，则，显然，对两边平方有，即有解，因为，当且仅当，即时取等号.故 ，则面积的最大值为，当且仅当时取等号. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，每题3分） 13. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线的概念结合充分必要条件求解 【详解】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”； ∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件， 故选：A. 14. 下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】说明函数，的图象与函数，的图象的关系，判断其周期以及单调性，判断A，B；根据，脱掉函数的绝对值符号，判断其单调性，根据即可判断D；由于时，，判断出在上是单调减函数，即可判断C． 【详解】由于可以由函数的图象保持x轴上方部分不动，将x轴下方部分翻折到x轴上方而得到，故其周期为， 由于时，是单调减函数，故A不正确； 又时，是单调增函数，故B正确； 由于时，，令，解得， 则在上是单调减函数，故C不正确； 由于时，是单调减函数，故D不正确； 故选：B． 15. 在中，，，为中点，点在上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则 设，， 则， 当时， 16. 如果对一切正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式恒成立转化为恒成立.构造函数，利用基本不等式可求得，于是问题转化为恒成立．通过参变分离结合基本不等式求解即可得到答案. 【详解】对一切正实数，不等式恒成立恒成立， 令，则， ∵，当且仅当时取“＝”， ； 所以，即恒成立． ， 所以恒成立 令,则，恒成立. 令,，则． 因为，，则，当且仅当时等号成立. 所以. 所以. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）运用平面向量数量积的运算性质，得到，由已知向量与的夹角和模即可求得结果； （2）将转化为，求解即可. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 得：； 【小问2详解】 因为，所以； 得：， 解得：. 18. 关于的方程． （1）若是方程的一个虚根，求的值； （2）若，是方程的两个虚根，且，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）把虚根代入方程，利用复数相等列方程组求求的值； （2）根据虚根成对定理设，，利用已知条件结合韦达定理求的值． 【小问1详解】 为方程的虚根， 则有，得， 解得； 【小问2详解】 设，，，可得， 则，， ，所以，所以， 由韦达定理可得，所以． 19. 如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口 的两条公路 ， 之间建造三角形的花园，已知 为 ，花园的另外两个顶点分别在 ， 两点（沿着公路且异于点 ，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道 ，已知观景通道长 ， 记 （1）试用 表示出 ， ，以及此花园 的面积. （2） 为多少时，花园 的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1），，； （2）；. 【解析】 【分析】（1）已知三角形中的两角一边，用内角和定理和正弦定理可表达剩余两边； （2）表达面积，应用余弦定理和基本不等式可得解. 【小问1详解】 在种，由已知可得，， 由正弦定理可知，， 则整理可得：，， 面积. 【小问2详解】 因为，当有最大值时，三角形的面积最大， 由已知及余弦定理，可得 则，即，此时，，为等腰三角形，， . 20. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴方程； （3）在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可解决问题； （2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求对称轴即可； （3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等式解出即可. 【小问1详解】 由图可知， ，则，， 所以，. 所以，即 又，所以当时，， 所以. 【小问2详解】 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得：， 再向右平移个单位长度得到： ， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. 【小问3详解】 由，得， 由，得， 所以， 所以. 又，得， 所以. 由题可知， 得，解得， 所以存在，使得成立. 21. 若函数满足且（），则称函数为“函数”. （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间； （3）在（2）条件下： ①写出函数（）的解析式； ②当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值. 【答案】（1）不是“函数” （2）；在上的单调增区间为， （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验即可求解； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由如下： 由， ， ， 所以， 所以不是“函数”； 【小问2详解】 因为，所以的周期为， 又，所以， 当时， ， 当时， ， 当时， ，， 所以， 由 ，， 当时， ，所以在上单调递增， 由 ，， 当时， ，， 所以在上单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调增区间为，； 【小问3详解】 ①由（2）得：， ②当，函数的图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $