5.2 第一课时 勾股定理 课件 2025-2026学年 湘教版数学八年级上册

勾股定理 祁阳市浯溪第二中学 刘沁 学习目标 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些历史 文化背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的 思想.（重点） 2. 会用勾股定理进行简单的计算 .（难点） 情境导入 我国古代数学名著《周髀算经》，把直角三角形较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦，并提出“勾三股四弦五”(如图). 这本著作还指出：勾与股的平方和等于弦的平方. 对于这一结论，古人称为勾股算法. 赵爽 汉代数学家 新知探究 《周髀算经》之谜 观察 猜想 验证 归纳 相传2500年前，古希腊数学家毕达哥拉斯去朋友家作客，看到了他朋友家用等腰直角三角形砖铺成的地面（如右图）： A B C 试问正方形 A、B、C 的面积之间有什么样的数量关系？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 观察右侧两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 ) ，在网格中有一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？ 补 割 探究直角三角形三边的关系 A的面积 B的面积 C的面积 A,B,C的面积关系 直角三角形三边的数量关系 4 9 13 9 25 34 一直角边2+另一直角边2=斜边2 新知探究 《周髀算经》之谜 观察 猜想 验证 归纳 猜想 由上面的几个例子，我们不难得到这样的猜想： 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b， 斜边长为c，那么a2+b2=c2. （即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.） 解谜之行 新知探究 《周髀算经》之谜 观察 猜想 验证 归纳 证法1：让我们跟随我国汉代数学家赵爽来证明命题吧. 赵爽弦图动态证明 验证 解谜之行 汉代数学家 赵爽 a b c 赵爽弦图 a b c 证法2 毕达哥拉斯证法 如图，图中有四个全等的直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 证明：∵ S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab ∴ a2+b2+2ab=c2+2ab ∴ a2 +b2 =c2 验证 解谜之行 毕达哥拉斯的动态证明 – GeoGebra 新知探究 《周髀算经》之谜 观察 猜想 验证 归纳 文字语言： 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90° ∴ a2 + b2 = c2 直角三角形的性质定理： （勾股定理/毕达哥拉斯定理） 公式变形： 勾股定理反映了直角三角形三边的关系，成为沟通几何和代数的桥梁. 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”. “赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学家的骄傲，2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，就是以此图为原型设计的. 典例精析 例1 在△ABC 中，已知∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c. （1） 若a = 1，b = 2，求c. （2） 若a = 15，c = 17，求b. （2） 根据勾股定理得，b2 = c2 － a2 = 172 － 152 = 64. 因为b > 0，所以b = 8. 【课本第166页 例1】 典例精析 例2 如图，已知在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10， AD是底边BC上的高线，求 AD的长. 解：根据等腰三角形的性质定理得，AD 也是底边 BC 上的中线. 因为AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC， 所以BD＝ BC＝5. 在Rt△ADB中， 由勾股定理得，AD2＋BD2 ＝AB2, 故AD的长为12. 【课本第166页 例2】 课堂练习 【课本第166页 练习 第1题】 1. 当直角三角形的三边长都是正整数时，称这三个数为勾股数. 如：3，4，5都是正整数，且32 + 42 = 52，所以3，4，5 是勾股数. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） （A） 5，12，13 （B） 6，8，10 （C） 7，24，25 （D） 8，15，16 D 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k (k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 课堂练习 【课本第166页 练习 第2题】 2. 求下图中各直角三角形未知的边长. 课堂练习 【课本第166页 练习 第3题】 3. 已知Rt△ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2 cm，另一直角边BC 长6 cm，求AC 的长. 解：设直角边 AB 的长为 a cm，则斜边 AC 的长为（a + 2）cm， 在Rt△ABC 中，由勾股定理可得，AB2 + BC2 = AC2， a2 + 62 =（a +2）2， 解得 a = 8. 所以 AC = 8 + 2 = 10（cm）. 故 AC 的长为10cm. 课堂小结 a2 + b2 = c2 “知二求一” 数形结合 扩充数域 勾股定理的内容 勾股定理的用途 勾股定理的意义 布置作业 基础巩固： 《学法大视野》本课时内容 能力提升： 查阅资料，了解其他证明勾股定理的方法，并小组分享 12288.0 28896.0 $