精品解析：广东珠海市第九中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

珠海市第九中学2025-2026学年度第二学期八年级期中数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 3. 下列条件中，使不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及根据角的比例算出最大的角与90°作比较逐一判断即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，故是直角三角形，故A不符合题意； 由题意：令，则，， ∴，，， ∴，故是直角三角形，故B不符合题意； ，故是直角三角形，故C不符合题意； 由，则： 最大的角，故不是直角三角形，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理来判断直角三角形及直角三角形的定义是解题的关键． 4. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 有一组邻边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】利用矩形的性质和菱形的性质可求解． 【详解】∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分， ∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分， 故选：A． 【点睛】本题考查的是矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解决本题的关键. 5. 一个正方形的面积为8cm，则它的对角线长为（　　） A. 2cm B. 2cm C. 4cm D. 3cm 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的面积可得其边长，再由其边长，进而可得其对角线的长． 【详解】解：∵正方形的面积为8cm， ∴其边长为cm， ∴它的对角线长为：cm， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，要熟练掌握正方形的性质． 6. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质和求出底角为，再由求出，证明，最后利用含角的直角三角形性质得． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∵在中，，， ． 7. 如图，一圆柱体底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，沿将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，沿将圆柱侧面展开， 由题意得，， 线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程， 在中，由勾股定理得， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故选：D． 8. 如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先根据勾股定理求出的长度从而得到的长度，再减去即可得到答案，解题的关键是用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴点A表示的实数是， 故选C． 9. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　） A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到PE= AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴PE=AD，PF=BC， ∵AD=BC， ∴PE=PF， ∴∠PFE=∠PEF=25°， ∴∠EPF=130°， 故选C． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当 ________________ 时，二次根式 有意义． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵二次根式有意义， ∴x+2≥0，解得x≥-2． 故答案为≥-2． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，注意二次根式中的被开方数是非负数． 12. 正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了变量和常量：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．在关系式中，4是固定不变的常数，与a是变量，因此常量为4． 【详解】解：正方形的周长与边长之间的关系为，其中4是常数，与a是变量， 故答案为：4． 13. 在平行四边形中，如果，则______． 【答案】 125 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，可求出的度数，再利用平行四边形对边平行，邻角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得， ． 14. 在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为___________． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x，则 （1）若8是直角边，则第三边x是斜边， 由勾股定理得，，解得：； （2）若8是斜边，则第三边x为直角边， 由勾股定理得，，解得． 所以第三边长为10或． 故答案为：10或． 15. 如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，运用代数推导思想，解题关键是建立面积与边长平方的联系，易错点是面积公式或代数推导的逻辑失误；解题思路是通过勾股定理将正方形面积转化为直角三角形边长的平方，进而推导阴影部分面积． 【详解】解：设的三边为，，， 由题意得，，；由勾股定理， 已知，即，整理得， 解得， 阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度， 所以阴影面积为． 故答案为：． 三．解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【详解】略． 18. 某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 四．解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）99 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ∴． 【小问2详解】 解：， ， ． ∴． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一条线段，使线段； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．， 【答案】（1） 如图①中，线段即为所求． （2） 如图②中，即为所求． （3） 如图③中，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）由勾股定理可知，直角边为1和4的直角三角形，其斜边长为，据此作图． （2）构造两直角边均为，斜边为2的直角三角形即可（答案不唯一）． （3）构造三边分别为，，的直角三角形即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： （2）利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 五．解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 我们知道直角三角形的三边长满足，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程： 如图①，在锐角中，过点A作于点D． 在中， 在中， 由上面两个等式，等量代换得： ； 所以，化简为 ； （1）请你补充完成上面横线上所缺的过程； （2）善学小组在探究中发现，如图②，当为钝角三角形（为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由； （3）如图③，在四边形中，，求该四边形的面积；敏学小组的思路是连接，过点D作于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形的面积． 【答案】（1）； （2） 解：，理由如下： 如图2，作交的延长线于点D，则． 在中，． 在中，． ∴．即， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由．．可得，然后作答即可； （2）作交的延长线于点D，则．由勾股定理得，．．则．整理得； （3）如图3，连接，作于点F．由勾股定理得，．由题意知，是锐角三角形，则，即，解得．．根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，． ∴， 所以，化简为： ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，作于点F． 由勾股定理得，． 由题意知，是锐角三角形， ∴，即，解得． ∴． ∴． 23. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ， ， ∵点E绕点C逆时针旋转得到点， ∴, ∵， ， ， ， ∴, ∴四边形的形状都是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （2），理由如下： 连接， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴是的中点，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，直角三角形的特征量，等腰直角三角形的特点，推理证明即可． （3）取的中点M，取的中点N，连接，，，，利用三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点M，取的中点N， 连接，，，， ∴, ∵， ∴， 根据（2）得，， ∴，，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是的中点，， ∴，，， ∴， ∴， 过点M作于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征量，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握正方形性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，三线合一性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市第九中学2025-2026学年度第二学期八年级期中数学试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的值是（ ） A. 4 B. C. 2 D. 8 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，使不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 菱形和矩形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 有一组邻边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 5. 一个正方形的面积为8cm，则它的对角线长为（　　） A. 2cm B. 2cm C. 4cm D. 3cm 6. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，一圆柱体底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　） A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 10. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当 ________________ 时，二次根式 有意义． 12. 正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 13. 在平行四边形中，如果，则______． 14. 在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为___________． 15. 如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为_____． 三．解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形． 18. 某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 四．解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求作图． （1）在图①中，画一条线段，使线段； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．， 21. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： （2）利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 五．解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 我们知道直角三角形的三边长满足，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程： 如图①，在锐角中，过点A作于点D． 在中， 在中， 由上面两个等式，等量代换得： ； 所以，化简为 ； （1）请你补充完成上面横线上所缺的过程； （2）善学小组在探究中发现，如图②，当为钝角三角形（为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由； （3）如图③，在四边形中，，求该四边形的面积；敏学小组的思路是连接，过点D作于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形的面积． 23. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $