江苏省常州高级中学2025-2026学年高一下学期数学周练（9）

**基本信息** 高一下数学周测涵盖立体几何（正四面体异面直线成角、正方体截面）、三角函数（二倍角、函数值域）、解三角形（外接圆、中线）等核心内容，通过基础题（如复数运算）、提升题（如异面直线存在性）分层设计，考查空间观念、运算能力与推理能力，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数运算、空间直线关系、三角函数求值|基础巩固，如第2题辨析线线垂直与相交的条件关系| |多选题|3题|立体几何共面判定、正方体展开图|考查推理能力，如第9题判断三线共面命题真伪| |填空题|3题|三角函数值域、正方体截面面积、解三角形|结合几何直观，如第13题动态截面面积计算| |解答题|5题|正方体截面作图与证明、解三角形综合、托勒密定理应用|创新应用，如第19题引用托勒密定理解决最值问题，体现文化传承与模型意识|

江苏省常州高级中学高一下学期数学周练习(9) 一、单选题 1. 若复数 , 则z·=( ) A.1 B.2 C. D.5 2. 空间中两条直线a,b, 则“a⊥6” 是“a 与b 相交”的( ) A、充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知 , a ∈(0,π), 则 等 于 ( ) A. B. C. D. 4. 如图1,在正四面体A-BCD 中 ，M,N 分别是BC 与AD 的中点，设AM 和CN 所 成角为α, 则 cosα 的 值 为 ( ) 图 1 图 2 A. B. C. D. 5. 如图2,连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，该正八面体的所有棱中，互 为异面直线的棱共有() A.12 对 B.18 对 C.24 对 D.48 对 6. 已知：, 则tan2α= ( ) A. B. D. 7. 已知a,b 是异面直线，若直线m 上任意一点到a,b 的距离都相等，则这样的直 线m ( ) A. 存在且只有一条 B. 存在且只有两条 C. 存在无数条 D. 不存在 8. 在斜三角形ABC 中 ，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2AE,AD与 CE 交 于点O, 若AB=AC,且 AB·AC=λAD·EO, 则λ的值为( ) A.12 B.6 C. D. 二、多选题 9. 下列命题是真命题的是() A. 若△ABC 的三条边所在的直线分别交平面α于P,Q,R 三点，则P,Q,R 三点 共线 B. 若直线a,b 是异面直线，直线b,c 是异面直线，则直线a,c 是异面直线 C. 若三条直线a,b,c 两两平行且分别交直线L于A,B,C 三点，则这四条直线共 面 D. 对于三条直线a,b ,c, 若a⊥c,b⊥c, 则a//b 10. 如图所示是一个正方体的展开图，则在原正方体中，下列结论正确的是() A.ABI/CD B.AB⊥CG C. EF 与AB 异面 D.EF 与DG 所成角为60° 11. 在△ABC 中 ， , D 是AC 的中点，则( ) B. △ABC 的面积为 C.b≥ D. 三、填空题 12. 函数f(c)=cos2x-3sinx+1的值域是 . 13. 如图，已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1,点 K 在棱A₁B₁ 上运动，过A, C,K 三点作正方体的截面，若K 为棱A₁B₁的中点，则截面的面积为 14. 设钝角△ABC三个内角A,B,C = , c=3, 则 b= 四 、解答题 15. 如图，在正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD 所对应的边分别为a,b,c,若a=2,bsinA 中 ，点M 、N 、P 分别为A₁D₁ 、D₁C₁ 和BC 边的中点. (1)画出过M 、N 、P 三点的截面(保留作图痕迹); (2)若正方体的棱长为2,求截面的面积； (3)证明：直线AC/ /平面MNP 16. 在△ABC 中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA+sinB=a+b- 1, 且△ABC 的外接圆半径R=1. (1)求a+b 的值； (2)若c=, 求sinA 的值。 17. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，B⊥AC,AB=4,AC=4,AA₁= ,点E,F 分别为棱BC,A₁B 的中点. (1)证明：直线EF//平面AA₁C₁C; (2)求异面直线EF 与B₁C₁ 所成的角的大小. 18. 在锐角△ABC 中，角A,B, C 所对的边分别为a,b,c, 且c= 2. (1)求角C 的大小；(2)求b的取值范围； (3)边AB 的中点为D, 求中线CD 的长度的取值范围. 19. 如图，在平面四边形ABCD 中 ，AB=1,BC=2. (1)希腊数学家克罗狄斯·托勒密(Ptolemy) 所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原 理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘 积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料. ①若AB⊥BC,BD=2, 求 2AD+CD 的最小值； ②若△ACD 为正三角形，则当线段BD 的长取最大值时，求∠ABD. (2)当△ACD 为正三角形时，求△ABD 面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $