核心考点培优03：解三角形8大重点题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优03：解三角形8大重点题型 (高一复习全国通用) 题型一 正余弦定理解三角形 4 题型二 正余弦定理边角互化 6 题型三 三角形解的个数与三角形的形状判断 8 题型四 正余弦定理求三角形的周长面积（基础型） 11 题型五 正余弦定理求三角形的周长面积（综合型） 13 题型六 角平分线中线高线的计算 16 题型七 三角形周长面积的最值与范围 20 题型八 结合复杂的三角恒等变换 26 思维导图 1.正弦定理：，（为外接圆半径） 变式： (边化角) (角化边) 2.余弦定理： (求边)； (求角) 3.三角形面积以及相关公式： ， 4.射影定理： 对于任意，有，如图 5.若是锐角三角形的两个内角，则 6.在斜中， 7.在中， 三角形解的个数：②从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 8.角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 9.张角定理 10.中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明: 在和中,用余弦定理有: 经典重现+变式提升 题型一 正余弦定理解三角形 方法点拨： 常考结论： 已知两角一边/两边及对角，用正弦定理 已知两边及夹角/三边，用余弦定理 大边对大角： 解题方法： 已知两角一边：用内角和求第三角，再用正弦定理求边 已知两边及夹角：用余弦定理求第三边，再用正弦/余弦定理求角 已知三边：用余弦定理求角，优先求最大角 刷经典·悟方法 【例1】 （25-26高一下·陕西西安·期中）记的内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C．的外接圆的周长为 D．为锐角三角形 【答案】BCD 【详解】由正弦定理得，解得，故A错误； 由余弦定理得，整理得： ，解得或（舍去）， ，故B正确； 设三角形外接圆半径为，则， 外接圆周长为：，故C正确； ， 最大边为，对应角， 由余弦定理， 故最大角为锐角，则为锐角三角形，故D正确． 【变式1-1】 （25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，利用正弦定理，求得，结合，即可求解. 【详解】在中，因为， 由正弦定理知，可得， 又因为，可得，所以或. 【变式1-2】 （25-26高三下·湖南长沙·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】C 【分析】应用余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 由余弦定理得，化简得 则或. 【变式1-3】 （25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，已知，则角为_________． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得， 又因为，所以. 题型二 正余弦定理边角互化 方法点拨： 知识梳理 正弦定理可实现边与对应角正弦值的互换 余弦定理可将角转化为边的关系 常考结论： 边化角：，， 角化边：， 解题方法 全为边的等式：用余弦定理化为角的关系，或用正弦定理化为正弦关系 全为角的等式：用正弦定理化为边的关系，再化简 刷经典·悟方法 【例2】 （2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得： 又因为在中，所以 所以 所以 所以 所以又因为 所以 所以 所以 故选:A. 【变式2-1】 （2026·山西晋中·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理边化角计算即可. 【详解】由正弦定理， 由边化角得. 【变式2-2】 （2026·四川遂宁·模拟预测）中，内角的对边分别为，若，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据正弦定理结合两角和的正弦公式即可得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得，即， 所以，即， 又因为是的内角，所以，得，即， 由正弦定理得，所以，即， 故D正确. 【变式2-3】 （25-26高二下·云南·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 因， 故， 即，即，故. 题型三 三角形解的个数与三角形的形状判断 方法点拨：(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. (3)SSA解的个数（以已知为例）： ①：一解 ；②：一解（等腰三角形） ③：：两解 ；：一解（直角） ：无解 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据 刷经典·悟方法 【例3】 （25-26高一下·陕西·期中）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（   ）个 （1）    （2） （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于（1），，由正弦定理得， 因为且，所以为锐角，所以只有一解， 对于（2），，因为， 所以三角形有两个解； 对于（3），， 由余弦定理可得， 则，所以三角形有唯一解； 对于（4），， 由余弦定理可得， 所以唯一，同理唯一，所以三角形有唯一解， 综上，（1）（3）（4）有唯一解，共3个. 【变式3-1】 （25-26高三·全国·一轮复习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 【变式3-2】 （25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，，那么此三角形（    ） A．解的个数不确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 【答案】B 【分析】借助正弦定理计算即可判断. 【详解】由正弦定理可得，即， 由，显然无解，故此三角形无解. 【变式3-3】 （25-26高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形. 故选：D 题型四 正余弦定理求三角形的周长面积（基础型） 方法点拨：知识梳理 周长： 面积公式：， 海伦公式：（） 常考结论：已知两边及夹角，直接用求面积； 已知三边，用海伦公式或余弦定理求角再求面积 解题方法： 周长：利用正弦定理或余弦定理求出未知边，再求和 面积：优先用，无夹角时先求角再计算 刷经典·悟方法 【例4】 （2026·河南开封·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【详解】（1）因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． （2）因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故的周长为． 【变式4-1】 （25-26高一下·山东青岛·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理边化角，求出角，利用公式求面积即可. 【详解】由余弦定理得，又 得，又， 从而，又，所以 从而的面积. 【变式4-2】 （25-26高一下·河北邯郸·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________. 【答案】/ 【分析】先应用余弦定理得出，再应用同角三角函数得出正弦值，最后应用面积公式计算求解. 【详解】由余弦定理得：，所以， 所以. 【变式4-3】 （25-26高三下·陕西西安·月考）在中，内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系求出即可求出. （2）根据三角形的面积公式及余弦定理求出，即可得出结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，整理可得 且，所以. （2）因为的面积为，所以，得， 又，由余弦定理得，所以 所以， 所以的周长为. 题型五 正余弦定理求三角形的周长面积（综合型） 方法点拨： 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 刷经典·悟方法 【例5】 （25-26高一下·山西晋中·期中）在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得， 由点为边的中点，则， 故， 即，即， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 【变式5-1】 （贵州省部分学校联考2025-2026学年高二下学期4月期中素养训练数学试题）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的值； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）求出、的值，利用正弦定理求出、的值，即可得出该三角形的周长. 【详解】（1）由及正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，故. （2）因为，则为锐角，所以， 所以 ， 由正弦定理可得，所以， ， 故的周长为. 【变式5-2】 （25-26高一下·四川成都·期中）已知三个内角的对边分别是是AC边上的一点，且，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简可求得，再利用向量线性运算结合可得到等式，然后利用基本不等式求最值，即可得面积最大值. 【详解】由余弦定理代入已知条件可得：， 即，且，所以， 因为，所以， 即， 又因为，， 所以代入可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的面积的最大值为. 【变式5-3】 （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理结合已知条件，求出角，向量两边同时平方，由基本不等式可求出面积最大值. 【详解】由及余弦定理得， 由两边平方得： 即 ，整理得： ，解得，当且仅当时取等号， 又因为，所以三角形面积最大值为. 题型六 角平分线中线高线的计算 方法点拨： 中线长公式：；角平分线长公式：；高线长公式： 解题方法： 中线：用余弦定理或向量中点公式计算 角平分线：用角平分线定理（）或面积法计算 高线：用面积公式反求，或构造直角三角形计算 刷经典·悟方法 【例6】 （25-26高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且． (1)求b； (2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角，再利用正弦定理即可求解； （2）结合条件结合余弦定理化简可求出，的值，再利用等面积法得即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得 ，所以 ， 又，所以；又因为外接圆半径， 则由正弦定理可得. （2）由（1）知，，，且， 由余弦定理可得，化简得， 所以，， 的平分线交AC于D，则， 在中，由等面积法得， 即， 即 所以. 【变式6-1】 （河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； （2）在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. 【变式6-2】 （25-26高一下·宁夏石嘴山·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求边长； (2)求外接圆的半径及的值； (3)过作的角平分线交于点，求的长度． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理计算即可得； （3）借助等面积法与三角形面积公式计算即可得. 【详解】（1）由余弦定理可得， 故； （2）由正弦定理， 可得，； （3）由题意可得， 即， 即， 即，故. 【变式6-3】 （25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换，计算即可求解； （2）如图，由得，结合基本不等式和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， ， 由，得，则， 又，所以. （2）如图，为的角平分线， ，即， 得，解得（当且仅当时取等号）， 所以， 即的面积的最小值为. 题型七 三角形周长面积的最值与范围 方法点拨： 固定一边及其对角时，外接圆半径固定，周长/面积存在最值 固定一边及其邻角时，可利用正弦定理转化为三角函数求最值 解题方法： 周长：利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换化为单一三角函数，再求范围 面积：利用，结合余弦定理或正弦定理转化为单变量函数，再求最值 刷经典·悟方法 【例7】 （25-26高一下·宁夏石嘴山·月考）在中，内角的对边分别为，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得，再根据正弦定理化简即可得出答案； （2）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【详解】（1）（1）在中，， 向量与向量共线，， 由正弦定理可得， ， ， ，， 又，所以； （2）由余弦定理，得， 即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； （3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 【变式7-1】 （25-26高一下·重庆·月考）在中，角所对的边分别为． (1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； (2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. (2) 【分析】（1）根据三角形个数判断法则判断即可. （2）先根据题目条件及正弦定理求出，再利用正弦定理将边全部用角来表示，最后将周长用的三角函数来表示，结合锐角三角形求出周长的取值范围. 【详解】（1）如图所示，作边上的高. ，. 当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. （2）由正弦定理，得. 又，，即，. 又因为为锐角三角形，. 设的周长为，则 为锐角三角形，，. ，，. 故周长的取值范围为. 【变式7-2】 （25-26高一下·湖北·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（   ） A．的大小是 B．的取值范围是 C．若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为 D．若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出判断A；利用和差角的正弦公式化简，结合正弦函数性质判断B；利用数量积的运算律及基本不等式求出最大值，进而求出三角形的面积最大值判断C；利用三角形面积公式及差角的正弦公式变形，再利用正切函数的性质求出范围判断D. 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得， 对于A，由余弦定理得，而，则，A正确； 对于B，由选项A，得，令，则， ，由，得， 因此，，B正确； 对于C，由，得，即， 两边平方得，则，即， 当且仅当时取等号，的面积，C错误； 对于D，由选项A及为锐角三角形，得，则， 由是内角的平分线，得 ，D正确. 【变式7-3】 （25-26高一下·河北雄安·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件及正弦定理，结合两角和的正弦公式、诱导公式等，化简整理，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得的表达式，根据两角差的正弦公式、辅助角公式等，可得化简后的表达式，根据条件，可得角A的范围，根据三角函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由及正弦定理得. 因为，所以. 所以，即. 所以，即. 因为，所以， 所以，因为，所以. （2）由正弦定理得，所以，， 所以. 又 ， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得. 则，所以. 所以，则， 所以周长的取值范围为. 题型八 结合复杂的三角恒等变换 方法点拨： 利用和差角公式、倍角公式、辅助角公式化简三角形内角的三角函数表达式，再求解问题 常考结论 ，故， 辅助角公式： 解题方法 化简：利用三角恒等变换将复杂表达式化为单一三角函数形式 求解：结合三角形内角范围，利用三角函数的性质求最值、范围或特定值 刷经典·悟方法 【例8】 （25-26高一下·广东佛山·期中）在中，内角所对的边分别是，且． (1)求． (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先把已知条件中的用展开，约去后可直接求得再由正弦定理得到外接圆直径为，从而 （2）由结合正弦定理得到，，的值，由边上的角平分线为，利用三角形面积公式得到，得到由余弦定理结合得到从而得到的值. （3）由为边上的中线得到，将此式子两边平方得到，由和余弦定理得到，利用正弦定理求出和且结合两角差的正弦公式通过计算得到，又结合正弦函数的图像和性质得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由已知 又所以 而 故 代入得 展开后可得 消去相同项，得 因为三角形内角满足所以 从而即 又因为所以 （2）由小问（1）知 由正弦定理得 故且 已知，边上的角平分线为， 则， 即，即，因此 由余弦定理即 又因为所以 代入上式得从而 所以 （3）由为边上的中线，得到， 则 因为，由余弦定理 即. 所以，即， 因为，所以， 可知且 所以 因为 所以，所以， 所以，因此 因为，于是故 【变式8-1】 （25-26高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为为的面积，且，，下列选项正确的是（   ） A．若，则有两解 B．周长的取值范围为 C．若为锐角三角形，则的取值范围是 D．若为锐角三角形，边上的中线长的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理边角互化后，由余弦定理求出，即可判断A，由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦型三角函数值域的求法判断B，由正弦定理，结合的范围求解即可判断C，利用向量及数量积的运算、余弦定理求出中线长的范围判断D. 【详解】由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以， 当时，由知，不存在满足条件的，故A错误； 由正弦定理可知， 所以， 因为，所以，所以， 周长，故B正确； 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，又，所以，故C正确； 当为锐角三角形时，，所以， 所以，令，则， 由余弦定理，， 所以，设上的中线为，如图， 又，所以，即，所以，即上的中线长的取值范围是，故D正确. 【变式8-2】 （25-26高一下·天津静海·期中）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用余弦定理解得，即可得周长； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. （2）由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 【变式8-3】 （25-26高一下·河北雄安·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件及正弦定理，结合两角和的正弦公式、诱导公式等，化简整理，即可得答案. （2）根据正弦定理，可得的表达式，根据两角差的正弦公式、辅助角公式等，可得化简后的表达式，根据条件，可得角A的范围，根据三角函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由及正弦定理得. 因为，所以. 所以，即. 所以，即. 因为，所以， 所以，因为，所以. （2）由正弦定理得，所以，， 所以. 又 ， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得. 则，所以. 所以，则， 所以周长的取值范围为. 1.（天津市河北区2025-2026学年第二学期期中高一年级质量检测数学）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则______. 【答案】 【详解】由余弦定理得，， 因为，所以 2. （25-26高一下·福建龙岩·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】已知两边及其中一边所对的角，适合使用余弦定理，把已知的，，代入余弦定理，得到关于 的一元二次方程，再结合边长必须为正数确定结果. 【详解】在中，由余弦定理得， 将已知条件代入，得， 即，化简得， 整理得，因式分解得，所以或， 因为三角形边长为正数，所以. 故选项C正确. 3.（25-26高一下·浙江宁波·期中）在中，角的对边分别是，若，则___________． 【答案】或 【分析】已知可先求出再由正弦定理求出，最后结合确定的两个可能值. 【详解】因为所以 由正弦定理代入得 于是所以 又因为三角形内角满足，故, 经检验，这两个解均满足构成三角形的条件，故 4. （25-26高一下·浙江温州·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理结合余弦定理求解即可. 【详解】在中，，由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得， 又因为，故. 5. （山东省烟台市2025-2026学年度高一第二学期期中学业水平诊断数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理可得，再结合余弦定理运算求解. 【详解】设的外接圆半径为， 则， 因为，即，可得， 又因为， 由余弦定理可得，即， 且，所以. 6. （2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得： 又因为在中，所以 所以 所以 所以 所以又因为 所以 所以 所以 故选:A. 7. （25-26高一下·贵州贵阳·月考）在中，为锐角且，点到的距离恒为2．记，若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为锐角且，所以，，所以， 因为点到的距离恒为2，所以， 在的条件下，要使得方程有两解和，必有， 所以，， 所以，解不等式得. 8. （25-26高一下·内蒙古包头·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】B 【分析】根据正余弦定理中，边角互化即可求解. 【详解】对于A:由正弦定理以及得，因为,所以,故是等边三角形，故A对， 对B:由以及正弦定理得：, 由于，因此,或者,即,或者，故为等腰三角形或者直角三角形，故B错误， 对C:由正弦定理得, 由于在中，,因此可得, 由于,故,故C正确， 对于D:由得，故为钝角，因此D正确 故选：B 9. （25-26高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】由利用正弦定理边角互换可得，代入可得，然后利用余弦定理代入可得，然后可得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 又，所以， 即，即， 又，所以，得， 因为，所以，所以，，故为等腰直角三角形. 故选：D 10. （25-26高一下·江西萍乡·期中）已知中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即得. （2）由（1）的结论，利用余弦定理列式求解. 【详解】（1）在中，及由正弦定理得，     则，而，所以.   （2）由（1）及余弦定理得，即，     又，因此，而，解得，， 所以的周长为． 11. （2026·安徽滁州·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求； (2)若是边上一点，且满足，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理可得，则可得，再利用正弦定理计算即可得； （2）设，利用可得，再利用余弦定理计算即可得，从而可得为正三角形，再利用面积公式计算即可得解. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， ，即， ，， 在中，由正弦定理得：，； （2）记，则， ，． 在和中，由余弦定理得：， 解得：，是边长为6的正三角形，故， 的面积． 12. （25-26高一下·广西柳州·期中）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．在中，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，则有两解 【答案】ABD 【分析】A选项，由，得到，再利用正弦定理判断；B选项，利用三角形面积公式求解判断；C选项，由为钝角三角形，当为钝角时，利用余弦定理判断；D选项，根据正弦定理得到，进而得到或，即可求解判断. 【详解】对于A，因为，所以，由正弦定理得，故A正确. 对于B：，故B正确. 对于C：因为为钝角三角形，当为钝角时，，则， 同理可得，当为钝角时，，当为钝角时，，故C错误. 对于D：由正弦定理得，所以， 因为，所以或， 所以有两解，即有两解，故D正确. 13. （25-26高一下·山东济南·月考）在中，角的对边分别是，且． (1)求； (2)若是边的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得，所以． （2）因为是边的中点，所以， 所以， 则． 14.（25-26高一下·湖北·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（   ） A．的大小是 B．的取值范围是 C．若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为 D．若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出判断A；利用和差角的正弦公式化简，结合正弦函数性质判断B；利用数量积的运算律及基本不等式求出最大值，进而求出三角形的面积最大值判断C；利用三角形面积公式及差角的正弦公式变形，再利用正切函数的性质求出范围判断D. 【详解】在中，由及正弦定理， 得，整理得， 对于A，由余弦定理得，而，则，A正确； 对于B，由选项A，得，令，则， ，由，得， 因此，，B正确； 对于C，由，得，即， 两边平方得，则，即， 当且仅当时取等号，的面积，C错误； 对于D，由选项A及为锐角三角形，得，则， 由是内角的平分线，得 ，D正确. 15．（25-26高一下·重庆·月考）已知为的三个内角的对边，且． (1)当为锐角三角形时，求的取值范围； (2)为上一点． （i）若，，求面积的最大值； （ii）若，且，求的值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）先由正弦定理与三角恒等变换求出，再利用锐角三角形内角范围和正弦定理将边比转化为三角函数求值域． （2）（i）利用向量线性表示，结合模长公式与基本不等式求出的最大值，进而得到面积最大值． （ii）利用角平分线的面积法建立与的关系，再通过余弦定理和整体代换，发现待求式的分子与分母成倍数关系，从而直接约分化简求出定值． 【详解】（1）已知，由正弦定理可得， 又，代入化简得， ，两边同除以可得，， ，． 在锐角中，，故，且，即： ， 由正弦定理，，展开： ， ，则，． （2）（i）由，用向量表示，则， ，， 由基本不等式可得，则， 的面积，故最大值为． （ii）已知，说明是的角平分线， 因为，所以， 利用三角形面积关系，可得； 代入已知数值，可得， 即，所以， ，① 由余弦定理，即，， 将代入上式可得，② 化简代数式， 代入式②，得值为． 16．（25-26高一下·重庆·月考）在中，角所对的边分别为． (1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； (2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. (2) 【分析】（1）根据三角形个数判断法则判断即可. （2）先根据题目条件及正弦定理求出，再利用正弦定理将边全部用角来表示，最后将周长用的三角函数来表示，结合锐角三角形求出周长的取值范围. 【详解】（1）如图所示，作边上的高. ，. 当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. （2）由正弦定理，得. 又，，即，. 又因为为锐角三角形，. 设的周长为，则 为锐角三角形，，. ，，. 故周长的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优03：解三角形8大重点题型 (高一复习全国通用) 题型一 正余弦定理解三角形 4 题型二 正余弦定理边角互化 6 题型三 三角形解的个数与三角形的形状判断 8 题型四 正余弦定理求三角形的周长面积（基础型） 11 题型五 正余弦定理求三角形的周长面积（综合型） 13 题型六 角平分线中线高线的计算 16 题型七 三角形周长面积的最值与范围 20 题型八 结合复杂的三角恒等变换 26 思维导图 1.正弦定理：，（为外接圆半径） 变式： (边化角) (角化边) 2.余弦定理： (求边)； (求角) 3.三角形面积以及相关公式： ， 4.射影定理： 对于任意，有，如图 5.若是锐角三角形的两个内角，则 6.在斜中， 7.在中， 三角形解的个数：②从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 8.角平分线定理 （1）在中，为的角平分线，则有 （2） （3）（库斯顿定理） （4） 9.张角定理 10.中线长定理 为的中线,则中线定理: 证明: 在和中,用余弦定理有: 经典重现+变式提升 题型一 正余弦定理解三角形 方法点拨： 常考结论： 已知两角一边/两边及对角，用正弦定理 已知两边及夹角/三边，用余弦定理 大边对大角： 解题方法： 已知两角一边：用内角和求第三角，再用正弦定理求边 已知两边及夹角：用余弦定理求第三边，再用正弦/余弦定理求角 已知三边：用余弦定理求角，优先求最大角 刷经典·悟方法 【例1】 （25-26高一下·陕西西安·期中）记的内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C．的外接圆的周长为 D．为锐角三角形 【变式1-1】 （25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【变式1-2】 （25-26高三下·湖南长沙·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【变式1-3】 （25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，已知，则角为_________． 题型二 正余弦定理边角互化 方法点拨： 知识梳理 正弦定理可实现边与对应角正弦值的互换 余弦定理可将角转化为边的关系 常考结论： 边化角：，， 角化边：， 解题方法 全为边的等式：用余弦定理化为角的关系，或用正弦定理化为正弦关系 全为角的等式：用正弦定理化为边的关系，再化简 刷经典·悟方法 【例2】 （2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】 （2026·山西晋中·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】 （2026·四川遂宁·模拟预测）中，内角的对边分别为，若，则（ ） A．1 B． C． D．2 【变式2-3】 （25-26高二下·云南·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，则（   ） A．3 B． C． D． 题型三 三角形解的个数与三角形的形状判断 方法点拨：(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. (3)SSA解的个数（以已知为例）： ①：一解 ；②：一解（等腰三角形） ③：：两解 ；：一解（直角） ：无解 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据 刷经典·悟方法 【例3】 （25-26高一下·陕西·期中）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（   ）个 （1）    （2） （3）    （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】 （25-26高三·全国·一轮复习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【变式3-2】 （25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，，那么此三角形（    ） A．解的个数不确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 【变式3-3】 （25-26高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型四 正余弦定理求三角形的周长面积（基础型） 方法点拨：知识梳理 周长： 面积公式：， 海伦公式：（） 常考结论：已知两边及夹角，直接用求面积； 已知三边，用海伦公式或余弦定理求角再求面积 解题方法： 周长：利用正弦定理或余弦定理求出未知边，再求和 面积：优先用，无夹角时先求角再计算 刷经典·悟方法 【例4】 （2026·河南开封·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【变式4-1】 （25-26高一下·山东青岛·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-2】 （25-26高一下·河北邯郸·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的面积为__________. 【变式4-3】 （25-26高三下·陕西西安·月考）在中，内角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. 题型五 正余弦定理求三角形的周长面积（综合型） 方法点拨： 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 刷经典·悟方法 【例5】 （25-26高一下·山西晋中·期中）在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】 （贵州省部分学校联考2025-2026学年高二下学期4月期中素养训练数学试题）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求角的值； (2)若，，求的周长. 【变式5-2】 （25-26高一下·四川成都·期中）已知三个内角的对边分别是是AC边上的一点，且，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】 （25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，且，若为的中点，边上的中线长为，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型六 角平分线中线高线的计算 方法点拨： 中线长公式：；角平分线长公式：；高线长公式： 解题方法： 中线：用余弦定理或向量中点公式计算 角平分线：用角平分线定理（）或面积法计算 高线：用面积公式反求，或构造直角三角形计算 刷经典·悟方法 【例6】 （25-26高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且． (1)求b； (2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度． 【变式6-1】 （河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 【变式6-2】 （25-26高一下·宁夏石嘴山·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求边长； (2)求外接圆的半径及的值； (3)过作的角平分线交于点，求的长度． 【变式6-3】 （25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 题型七 三角形周长面积的最值与范围 方法点拨： 固定一边及其对角时，外接圆半径固定，周长/面积存在最值 固定一边及其邻角时，可利用正弦定理转化为三角函数求最值 解题方法： 周长：利用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换化为单一三角函数，再求范围 面积：利用，结合余弦定理或正弦定理转化为单变量函数，再求最值 刷经典·悟方法 【例7】 （25-26高一下·宁夏石嘴山·月考）在中，内角的对边分别为，且与共线． (1)求； (2)若，求周长的取值范围； (3)若，且为锐角三角形，角与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围． 【变式7-1】 （25-26高一下·重庆·月考）在中，角所对的边分别为． (1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； (2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 【变式7-2】 （25-26高一下·湖北·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（   ） A．的大小是 B．的取值范围是 C．若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为 D．若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是 【变式7-3】 （25-26高一下·河北雄安·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 题型八 结合复杂的三角恒等变换 方法点拨： 利用和差角公式、倍角公式、辅助角公式化简三角形内角的三角函数表达式，再求解问题 常考结论 ，故， 辅助角公式： 解题方法 化简：利用三角恒等变换将复杂表达式化为单一三角函数形式 求解：结合三角形内角范围，利用三角函数的性质求最值、范围或特定值 刷经典·悟方法 【例8】 （25-26高一下·广东佛山·期中）在中，内角所对的边分别是，且． (1)求． (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围． 【变式8-1】 （25-26高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为为的面积，且，，下列选项正确的是（   ） A．若，则有两解 B．周长的取值范围为 C．若为锐角三角形，则的取值范围是 D．若为锐角三角形，边上的中线长的取值范围是 【变式8-2】 （25-26高一下·天津静海·期中）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【变式8-3】 （25-26高一下·河北雄安·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且. (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 1.（天津市河北区2025-2026学年第二学期期中高一年级质量检测数学）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则______. 2. （25-26高一下·福建龙岩·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3.（25-26高一下·浙江宁波·期中）在中，角的对边分别是，若，则___________． 4. （25-26高一下·浙江温州·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 5. （山东省烟台市2025-2026学年度高一第二学期期中学业水平诊断数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 6. （2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 7. （25-26高一下·贵州贵阳·月考）在中，为锐角且，点到的距离恒为2．记，若该三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8. （25-26高一下·内蒙古包头·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中错误的是（    ） A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是钝角三角形 9. （25-26高一下·福建福州·期中）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10. （25-26高一下·江西萍乡·期中）已知中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，且，求的周长． 11. （2026·安徽滁州·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)若，求； (2)若是边上一点，且满足，求的面积． 12. （25-26高一下·广西柳州·期中）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．在中，，则三角形面积为 C．若为钝角三角形，则 D．若，则有两解 13. （25-26高一下·山东济南·月考）在中，角的对边分别是，且． (1)求； (2)若是边的中点，求的长． 14.（25-26高一下·湖北·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（   ） A．的大小是 B．的取值范围是 C．若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为 D．若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是 15．（25-26高一下·重庆·月考）已知为的三个内角的对边，且． (1)当为锐角三角形时，求的取值范围； (2)为上一点． （i）若，，求面积的最大值； （ii）若，且，求的值． 16．（25-26高一下·重庆·月考）在中，角所对的边分别为． (1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； (2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $