核心考点培优02：平面向量数量积8大必考题型讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优二：平面向量数量积8大必考题型 题型一 数量积求模长 2 题型二 数量积求夹角 3 题型三 数量积中的垂直关系 3 题型四 求投影/投影向量 4 题型五 基底法求数量积 5 题型六 奔驰定理与三角形“四心” 5 题型七 极化恒等式有关的数量积问题 6 题型八 与外心有关的数量积问题 6 思维导图 1.向量的加法、减法运算的三角形法则与平行四边形法则，数乘向量()的几何意义，以及它们的坐标运算： 2.向量的共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得（短变长，长变短，或平行转移） 3.平面向量基本定理：有且只有一对实数，使得任意向量，其中，向量不共线 4.平面向量的坐标运算：设向量，则 (1) (2) (3) (4) (5) (6)向量在方向上的投影向量 5.三角形中线向量定理： 中边的中点为 【三个模及三个夹角，六个量中，用平方法，可以知三求三】 附：极化恒等式 6. 若不共线，且，则三点共线 【此时，直线也称为等和线】 经典重现+变式提升 题型一 数量积求模长 方法点拨： 1.核心公式：，因此 2.拓展公式： 3.定义式：，可变形为（） 解题思路 1.若已知，直接开平方求 2.若已知，先平方展开，利用建立方程 3.若已知、和夹角，用定义式反解 名师点睛 求模长优先“平方”，将向量模长问题转化为数量积计算 注意展开式的符号，避免计算错误 若用基底表示，先计算再开方，步骤更清晰 刷经典·悟方法 【例1】 （25-26高一下·浙江温州·期中）若平面向量满足，且，则（   ）A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，且， 所以 【变式1-1】 （25-26高一下·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ）A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】由，则. 【变式1-2】 （2026·山西吕梁·二模）若单位向量，满足，则（   ）A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意，，因为，所以，则，即， 所以. 题型二 数量积求夹角 方法点拨：知识梳理 1.夹角公式：，其中 2.夹角范围：同向；反向； 解题思路 1.计算、、 2.代入夹角公式求 3.由确定的大小 名师点睛 夹角公式是高考必考公式，需牢记分子是数量积，分母是模长乘积 注意的符号：为锐角；为钝角； 若，夹角为钝角，但需排除的情况 刷经典·悟方法 【例2】 （25-26高一下·江苏宿迁·期中）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设与的夹角为， 因为，所以. 又，所以，所以，解得.所以，所以. 所以，又，所以，所以与的夹角为. 【变式2-1】 （25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ）A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，解得， 又由可得， 因，则，即与的夹角为. 【变式2-2】 （25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ）A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的夹角为钝角，所以，即，解得. 当与共线时，，此时和反向，不满足题意. 故的取值范围为. 题型三 数量积中的垂直关系 方法点拨：知识梳理 1.垂直充要条件：（为非零向量） 2.几何意义：两向量垂直时，它们的数量积为0，反之亦然 3.零向量：零向量与任意向量垂直（定义） 解题思路 1.判定垂直：计算，若结果为0，则两向量垂直 2.已知垂直求参数：由列方程，解出参数值 3.证明垂直：将待证垂直的向量用已知向量表示，计算数量积为0 刷经典·悟方法 【例3】 （25-26高一下·江苏宿迁·期中）设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，① 因为，所以，所以，② 由②①，得，则， 所以，得， 所以，因为， 是两个非零向量， 所以， 因为，所以. 故选：C 【变式3-1】 （25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 【答案】B 【详解】根据与垂直，可得， 整理可得即，所以. 【变式3-2】 （25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ）A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 题型四 求投影/投影向量 方法点拨：知识梳理 1.投影定义：在方向上的投影为，是一个数量 2.投影向量定义：在方向上的投影向量为，是一个与共线的向量 3.投影的几何意义：在所在直线上的射影长度（可正可负） 解题思路 1.求投影：直接代入公式计算 2.求投影向量：先求投影，再乘以（方向的单位向量） 3.已知投影求夹角：由，解出，再确定 名师点睛 投影是数量，投影向量是向量，二者不可混淆 投影的绝对值不超过，当时投影为，当时投影为 几何应用中，投影常转化为线段长度，结合图形性质求解 刷经典·悟方法 【例4】 （25-26高一下·湖北武汉·期中）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，设两个向量的夹角为， 则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 【变式4-1】 （25-26高一下·重庆·月考）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，解得，即， 因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 【变式4-2】 4．（25-26高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 题型五 基底法求数量积 方法点拨：知识梳理 1.基底定义：平面内不共线的两个向量可作为基底，任意向量可唯一表示为 2.数量积计算：若，，则 3.基底选择：优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等边三角形的两边、正方形的邻边） 解题思路 1.选基底：选择已知模长和夹角的不共线向量作为基底 2.表向量：将待求数量积的两个向量用基底表示出来 3.代公式：代入数量积展开式，利用已知的基底模长和夹角计算 4.求结果：化简得到数量积的值 名师点睛 基底法是解决几何图形中数量积的通用方法，无需建立坐标系 基底选择优先取夹角为、等特殊角的向量，简化计算 若，则，展开式更简洁 刷经典·悟方法 【例5】 （25-26高一下·江苏南通·月考）在菱形中，，，，. (1)若，求的值； (2)求的值； 【答案】(1)；(2)； 【详解】（1）因为，，所以, 又因为，所以，，所以； （2）因为，所以， 在菱形中，，所以，所以 【变式5-1】 （25-26高一下·河南许昌·期中）在中，点D满足，，设，，若，，且，则______． 【答案】18 【详解】由题意知，，， ， 所以． 又，，， 所以， 所以． 【变式5-2】 （25-26高一下·江苏淮安·月考）如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若，则______． 【答案】2 【详解】因为， 则因为，所以. 又，所以，化简得， 解得（负值舍去），即. 题型六 奔驰定理与三角形“四心” 方法点拨：知识梳理 1.奔驰定理：在内任取一点，有 2.重心：， 3.内心：（为的三边） 4.外心： 5.垂心： 解题思路 1.识别三角形内点，优先考虑奔驰定理 2.若已知点的向量表达式，与“四心”的向量性质对比，判断“心”的类型 3.利用“四心”的向量性质，结合数量积求解参数或证明结论 名师点睛 奔驰定理是三角形内点与向量关系的“万能钥匙”，可快速建立向量与面积的关系 重心的向量性质是高考热点，可直接套用 垂心的性质常与数量积结合，需用数量积定义验证 刷经典·悟方法 【例6】 （25-26高一下·吉林通化·月考）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【详解】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，， 所以，故B 正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以. 如图： 则，. 设，，则，， 所以. 所以.故D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：奔驰定理与三角形的“心”： 若为所在平面上一点，则（奔驰定理） （1）为的重心. （2）为的内心. （3）为的外心. （4）为的垂心. 【变式6-1】 （25-26高一下·辽宁大连·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．若M为的垂心，，则 【答案】 【详解】延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ， 【变式6-2】 （2026高一下·全国·专题练习）（多选）在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的外心，则 D．若为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】对于A选项，重心为中线交点，，所以（根据等和线也能轻松得出），故A正确； 对于B选项，根据内心定理，即，所以，所以，，故B错误； 对于C选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心，因为，设为边的中点，所以，且，根据垂径定理，，即，解得：，因为，根据等和线知识，所以，故C正确； 对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则共线，于，易知，故，所以，，利用相似三角形性质：，所以，根据等和线知识，故D正确；故选ACD． 题型七 极化恒等式有关的数量积问题 方法点拨：知识梳理 1.极化恒等式： 2.几何意义：在三角形中，若为中点，则 3.应用场景：涉及中点、中线的数量积计算，可快速转化为模长差 解题思路 1.识别中点：若题目中出现中点、中线，优先考虑极化恒等式 2.转化：将数量积转化为模长差的形式 3.计算：利用已知的模长或几何条件计算模长差，再除以4得到数量积 名师点睛 极化恒等式是解决中点相关数量积的“神器”，可避免复杂的夹角计算 三角形中，（为中点）是最常用的推论 若为中点，的最值即为的最值 刷经典·悟方法 【例7】 （25-26高一下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） （2）设 ，由（1）知 ，即 ① ,同理可得 ，即 ② 由①②解得 【变式7-1】 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 【变式7-2】 如图所示的四边形中，，，点E为的中点，且，则__________ 【答案】240 【详解】因为，，由极化恒等式得： ， 所以.又，所以，由极化恒等式得： . 题型八 与外心有关的数量积问题 方法点拨：知识梳理 1.外心定义：三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，满足 2.核心性质：（为的内角） 3.常见结论：（为外心） 解题思路 1.利用外心的模相等性质，将数量积转化为模长和夹角的关系 2.结合三角形内角和与圆心角的关系，化简数量积表达式 3.利用等结论快速求解 名师点睛 外心问题中，优先将数量积转化为模长和圆心角的关系 注意圆心角是对应内角的两倍，避免角度混淆 若为外心，是高频结论，可直接套用 刷经典·悟方法 【例8】 （25-26高一下·全国·单元测试）已知P是 的外心，且，则cosC=（    ） A．- B．- C．或- D．或- 【答案】B 【详解】因为P是的外心，所以， 由题知，两边平方得 即,即， 所以，则， 又由，得， 因为，则C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧上，所以C为钝角，即. 故选：B 【变式8-1】 （山东省济南第七中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题）已知的外心为，则（    ） A．64 B．32 C．-32 D．-64 【答案】C 【详解】由题意可得，则． 因为是的外心， 所以， 则． 【变式8-2】 （2026高三·全国·专题练习）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的________.（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故答案为：外心 1. （25-26高一下·全国·单元测试）已知空间中非零向量，且，，，则 _________ 【答案】 【详解】由题意可得， 故， 故答案为：. 2. （25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则（    ）A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，， 即，，解得，， 所以，， 则． 故选：D． 3. （25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，，若，则实数（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，，，则， 由于，则，即：，解得：. 故选：D 4. （25-26高一·全国·单元测试）已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， ， 故向量在向量方向上的投影向量为 ， 故选：D 5. （25-26高一下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 6. （2026高一·全国·专题练习）（多选）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（   ） A． B． C． D．． 【答案】ABCD 【详解】因为，所以， 即，所以， 又由奔驰定理得， 因为，不共线，所以，， 所以，A正确； 延长，，分别与对边交于点，，，如图， 由得， 所以，同理，， 所以是的垂心，所以四边形中， ，所以，B正确； 由得 ， 所以， 由选项B得，， ，所以，C正确； 由上讨论知，， ， ， 所以， 又由选项C：，得， 由奔驰定理： 得，D正确．故选：ABCD． 7.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【详解】由题设，，， . 故选：D 8. （25-26高一下·全国·单元测试）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】设的中点为， 因为，所以， 即，两端同时点乘，所以 ， 所以，所以点在的垂直平分线上，即经过的外心. 故选：B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 核心考点培优02：平面向量数量积8大必考题型 题型一 数量积求模长 2 题型二 数量积求夹角 3 题型三 数量积中的垂直关系 3 题型四 求投影/投影向量 4 题型五 基底法求数量积 5 题型六 奔驰定理与三角形“四心” 5 题型七 极化恒等式有关的数量积问题 6 题型八 与外心有关的数量积问题 6 思维导图 1.向量的加法、减法运算的三角形法则与平行四边形法则，数乘向量()的几何意义，以及它们的坐标运算： 2.向量的共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得（短变长，长变短，或平行转移） 3.平面向量基本定理：有且只有一对实数，使得任意向量，其中，向量不共线 4.平面向量的坐标运算：设向量，则 (1) (2) (3) (4) (5) (6)向量在方向上的投影向量 5.三角形中线向量定理： 中边的中点为 【三个模及三个夹角，六个量中，用平方法，可以知三求三】 附：极化恒等式 6. 若不共线，且，则三点共线 【此时，直线也称为等和线】 经典重现+变式提升 题型一 数量积求模长 方法点拨： 1.核心公式：，因此 2.拓展公式： 3.定义式：，可变形为（） 解题思路 1.若已知，直接开平方求 2.若已知，先平方展开，利用建立方程 3.若已知、和夹角，用定义式反解 名师点睛 求模长优先“平方”，将向量模长问题转化为数量积计算 注意展开式的符号，避免计算错误 若用基底表示，先计算再开方，步骤更清晰 刷经典·悟方法 【例1】 （25-26高一下·浙江温州·期中）若平面向量满足，且，则（   ）A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】 （25-26高一下·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ）A． B． C． D．6 【变式1-2】 （2026·山西吕梁·二模）若单位向量，满足，则（   ）A．2 B． C． D．1 题型二 数量积求夹角 方法点拨：知识梳理 1.夹角公式：，其中 2.夹角范围：同向；反向； 解题思路 1.计算、、 2.代入夹角公式求 3.由确定的大小 名师点睛 夹角公式是高考必考公式，需牢记分子是数量积，分母是模长乘积 注意的符号：为锐角；为钝角； 若，夹角为钝角，但需排除的情况 刷经典·悟方法 【例2】 （25-26高一下·江苏宿迁·期中）已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】 （25-26高一下·四川成都·期中）已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ）A． B． C． D． 【变式2-2】 （25-26高一下·陕西延安·月考）已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（   ）A． B． C． D． 题型三 数量积中的垂直关系 方法点拨：知识梳理 1.垂直充要条件：（为非零向量） 2.几何意义：两向量垂直时，它们的数量积为0，反之亦然 3.零向量：零向量与任意向量垂直（定义） 解题思路 1.判定垂直：计算，若结果为0，则两向量垂直 2.已知垂直求参数：由列方程，解出参数值 3.证明垂直：将待证垂直的向量用已知向量表示，计算数量积为0 刷经典·悟方法 【例3】 （25-26高一下·江苏宿迁·期中）设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】 （25-26高一下·黑龙江辽宁·期中）已知，且与垂直，则等于（ ） A． B．± C．± D．± 【变式3-2】 （25-26高一下·甘肃兰州·月考）已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ）A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型四 求投影/投影向量 方法点拨：知识梳理 1.投影定义：在方向上的投影为，是一个数量 2.投影向量定义：在方向上的投影向量为，是一个与共线的向量 3.投影的几何意义：在所在直线上的射影长度（可正可负） 解题思路 1.求投影：直接代入公式计算 2.求投影向量：先求投影，再乘以（方向的单位向量） 3.已知投影求夹角：由，解出，再确定 名师点睛 投影是数量，投影向量是向量，二者不可混淆 投影的绝对值不超过，当时投影为，当时投影为 几何应用中，投影常转化为线段长度，结合图形性质求解 刷经典·悟方法 【例4】 （25-26高一下·湖北武汉·期中）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】 （25-26高一下·重庆·月考）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】 4．（25-26高一下·福建福州·期末）已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 题型五 基底法求数量积 方法点拨：知识梳理 1.基底定义：平面内不共线的两个向量可作为基底，任意向量可唯一表示为 2.数量积计算：若，，则 3.基底选择：优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等边三角形的两边、正方形的邻边） 解题思路 1.选基底：选择已知模长和夹角的不共线向量作为基底 2.表向量：将待求数量积的两个向量用基底表示出来 3.代公式：代入数量积展开式，利用已知的基底模长和夹角计算 4.求结果：化简得到数量积的值 名师点睛 基底法是解决几何图形中数量积的通用方法，无需建立坐标系 基底选择优先取夹角为、等特殊角的向量，简化计算 若，则，展开式更简洁 刷经典·悟方法 【例5】 （25-26高一下·江苏南通·月考）在菱形中，，，，. (1)若，求的值； (2)求的值； 【变式5-1】 （25-26高一下·河南许昌·期中）在中，点D满足，，设，，若，，且，则______． 【变式5-2】 （25-26高一下·江苏淮安·月考）如图，在平行四边形中，，，是边的中点，是上靠近的三等分点，若，则______． 题型六 奔驰定理与三角形“四心” 方法点拨：知识梳理 1.奔驰定理：在内任取一点，有 2.重心：， 3.内心：（为的三边） 4.外心： 5.垂心： 解题思路 1.识别三角形内点，优先考虑奔驰定理 2.若已知点的向量表达式，与“四心”的向量性质对比，判断“心”的类型 3.利用“四心”的向量性质，结合数量积求解参数或证明结论 名师点睛 奔驰定理是三角形内点与向量关系的“万能钥匙”，可快速建立向量与面积的关系 重心的向量性质是高考热点，可直接套用 垂心的性质常与数量积结合，需用数量积定义验证 刷经典·悟方法 【例6】 （25-26高一下·吉林通化·月考）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【变式6-1】 （25-26高一下·辽宁大连·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．若M为的垂心，，则 【变式6-2】 （2026高一下·全国·专题练习）（多选）在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是（   ） A． 若为的重心，则 B． B．若为的内心，则 C． 若为的外心，则 D． D．若为的垂心，则 E． 题型七 极化恒等式有关的数量积问题 方法点拨：知识梳理 1.极化恒等式： 2.几何意义：在三角形中，若为中点，则 3.应用场景：涉及中点、中线的数量积计算，可快速转化为模长差 解题思路 1.识别中点：若题目中出现中点、中线，优先考虑极化恒等式 2.转化：将数量积转化为模长差的形式 3.计算：利用已知的模长或几何条件计算模长差，再除以4得到数量积 名师点睛 极化恒等式是解决中点相关数量积的“神器”，可避免复杂的夹角计算 三角形中，（为中点）是最常用的推论 若为中点，的最值即为的最值 刷经典·悟方法 【例7】 （25-26高一下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 【变式7-1】 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【变式7-2】 如图所示的四边形中，，，点E为的中点，且，则__________ 题型八 与外心有关的数量积问题 方法点拨：知识梳理 1.外心定义：三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点，满足 2.核心性质：（为的内角） 3.常见结论：（为外心） 解题思路 1.利用外心的模相等性质，将数量积转化为模长和夹角的关系 2.结合三角形内角和与圆心角的关系，化简数量积表达式 3.利用等结论快速求解 名师点睛 外心问题中，优先将数量积转化为模长和圆心角的关系 注意圆心角是对应内角的两倍，避免角度混淆 若为外心，是高频结论，可直接套用 刷经典·悟方法 【例8】 （25-26高一下·全国·单元测试）已知P是 的外心，且，则cosC=（    ） A．- B．- C．或- D．或- 【变式8-1】 （山东省济南第七中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题）已知的外心为，则（    ） A．64 B．32 C．-32 D．-64 【变式8-2】 （2026高三·全国·专题练习）已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的________.（填：内心，外心，垂心，重心） 1. （25-26高一下·全国·单元测试）已知空间中非零向量，且，，，则 _________ 2. （25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 3. （25-26高一下·全国·单元测试）已知向量，，若，则实数（ ）A． B． C． D． 4. （25-26高一·全国·单元测试）已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D． 5. （25-26高一下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 6. （2026高一·全国·专题练习）（多选）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（   ） A． B． B． C． D． D．． 7.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 8. （25-26高一下·全国·单元测试）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2 学科网（北京）股份有限公司 $