22.1.1 变量与常量-教学设计-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章函数 22.1函数的概念 第1课时 常量和变量 教学设计 教学目标 课题 22.1 第1课时 常量和变量 授课人 素养目标 1.了解常量、变量的概念，体会在一个变化过程中常量和变量相对存在. 2.能根据具体情境分清实例中的常量和变量. 3.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会“变化与对应”的思想. 教学重点 常量和变量概念的理解和识别. 教学难点 用含一个变量的代数式表示另一个变量. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，新课导入 【情境导入】 “万物皆变”————行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国“天宫”空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化………在现实世界中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在. 为了探究这些变化过程，我们首先要找出其中变化的量和不变的量. 【教学建议】 学生自主发言，教师提示总结：我们处在一个不断变化的环境中，为了更好地认识世界，我们要对这些变化情况进行研究和探索. 设计意图 引导学生围绕日常 生 活实际举例，激发学生兴趣，为引入新概念做准备. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 常量和变量 阅读教材 P90“思考”中的4个问题. (1)补充表格： 问题(1)反映了汽车行驶的路程s随行驶时间t的变化而变化的过程.在这个过程中，s的值随t 的值的变化而变化，汽车行驶速度的值 是始终不变的，行驶时间t 和行驶路程s 的值 是变化的. (2)三场电影的票房收入依次为3200 元、4200 元和 7200 元. 问题(2)反映了电影票房收入 y随售出票数x 的变化而变化的过程.在这个过程中，y的值随x的值的变化而变化， 电影票的售价 是始终不变的， 售出票数 x 和票房收入 y 的值 是变化的. (3)由圆的面积公式. 可知,当r=10cm时, 当r=20cm时,S= 400π cm²;当r=30cm时,S= 900π cm².在这个过程中,S的值随r的值的变化而变化， 圆周率π 是始终不变的， 圆的半径r和面积S的值 是变化的. (4)由长方体的体积公式V= Sh 可知,因为V=1000cm³,所以当时,h= 20 cm;当S=100cm²时,h= 10 cm;当S=125cm²时,h= 8 cm.在这个过程中，h的值随S的值的变化而变化， 长方体的体积 是始终不变的， 长方体的底面积 S 和高h 的值 是变化的. 【教学建议】 教师引导学生思考，将表格补充完整并填空，找出问题中不变的量和变化的量，进而引出常量和变量的概念.教学中应注意强调：①圆周率π表示的是一个常数，是常量；②常量、变量与字母的指数没有关系；③在一个变化过程中，常量或变量的个数都有可能有多个，如对应训练T2中，变量有3个. 设计意图 利用某几项生活实例来探究事物相应的变化过程，从中引导学生发现常量和变量. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 概念引入：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量.例如，在问题(1)和(2)中，汽车行驶的速度、电影票的售价是常量；汽车行驶的时间t、路程s，售出的电影票数x、票房收入y是变量. 追问：问题(3)和问题(4)反映了什么变化过程?其中的常量和变量分别是什么? 答：问题(3)反映了圆的面积S 随圆的半径r的变化而变化的过程，其中常量是圆周率π，变量是圆的半径r、圆的面积S；问题(4)反映了长方体的高h 随底面积S的变化而变化的过程，其中常量是长方体的体积，变量是长方体的底面积 S、长方体的高h. 例1 (教材P91例1)指出下列问题中的常量和变量： (1)某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为 xt，月应缴水费为 y 元. (2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车 n次，公交卡中的余额为w 元. (3)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为 x m，矩形的面积为 S m². 解：(1)生活用水的价格是常量，某户的月用水量x 和月应缴水费y 是变量. (2)刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数 n 和公交卡中的余额 w 是变量. (3)绳的长度是常量，矩形的一边长x 和面积S 是变量. 【对应训练】 1.教材 P91练习. 2.已知签字笔的价格是5元/支，笔记本的价格是2元/本，状状购买了a 支签字笔和b本笔记本花了m 元，在这个问题中，变量是 a，b，m ，常量是 5，2 . 活动三：重点突破，提升探究 例2 如图,在矩形ABCD 中,点 M 在边 BC上,点 N 在边 CD 上.设 BM=a,CN=b,则△BMN 的面积. (1)若保持点 M 不动，点N 在 CD 上运动，请指出 中的常量和变量； (2)若保持点 N 不动，点M 在 BC 上运动，请指出 中的常量和变量.解:(1) 和a 是常量，S和b 是变量. (2) 和b是常量，S和a 是变量. 【教学建议】 教师适时引导学生发现：①常量可以是常数，也可以是数值不变的字母；②常量和变量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中可能是变量. 设计意图 巩固对常量和变量以及变量间关系的认识. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：常量和变量的概念是什么?如何判别一个量是常量还是变量? 【作业布置】 1.教材 P95 习题22.1第1题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 板书设计 22.1 函数的概念 第1课时 常量和变量 教学反思 本节课属于概念教学，在教学过程中，通过列举生活中的实例能够让学生更加积极地参与课堂教学互动，融入课堂.让学生通过“举例————类比————思考”的模式，将具体的实例转化为抽象的概念，便于学生理解和接受，亦为后续函数的学习做准备. 本节课的重难点在于教会学生如何识别常量和变量，其辨析的依据是在一个变化过程中，量的数值是否发生变化. 备课素材 解题大招 解题大招 识别常量和变量 判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化. 注意： (1)常量和变量是相对的； (2)常量、变量与字母的指数没有关系； (3)π是常量，不是变量. 例1 已知路程s、速度v和时间t之间的关系为s=vt，则下列说法中正确的是(C) A.当s 一定时，v是常量，t是变量 B.当v一定时，t是常量，s是变量 C.当t 一定时,t 是常量,s,v 是变量 D.当t一定时，s是常量，v是变量 解析：当s一定时，s是常量，v，t是变量，故A选项说法错误； 当v一定时，v是常量，t，s是变量，故B选项说法错误； 当t一定时，t是常量，s，v是变量，故C选项说法正确，D选项说法错误. 故选C. 例2 若球的体积为V，半径为R，则 .其中 V,R 是变量, 4-3 ,π 是常量. 例3 指出下列问题中的常量和变量. (1)每本练习本0.6元，购买n本练习本所需的钱数为m(单位：元)； (2)某种饮水机盛满20L水，打开阀门每分钟可流出0.2L水，放水 xmin后饮水机中剩余水量为yL. 解:(1)0.6是常量,m,n是变量. (2)20,0.2是常量,x,y是变量. 培优计划 培优点 实际应用中的常量和变量 学科网（北京）股份有限公司 $