2026年九年级数学中考二轮复习二次函数与面积问题综合压轴题

2026年九年级数学中考二轮复习二次函数与面积问题综合压 轴题 1,如图，己知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A-4,0)和点B,与y轴相交于 点C(0,4). 备用图 (1)求该二次函数的解析式： (2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q,与抛物线交于点P, ①连接AP,CP,当四边形AOCP的面积最大时，求此时点P的坐标和四边形AOCP面积 的最大值： ②探究是否存在点P使得以点P,C,Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由， 2.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，其中A3,0,B(1,0),与y轴交于 点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,直线y=+b,经过点A,C,连接CD. B O D B O D 备用图 (1)求抛物线和直线AC的解析式； (2)若抛物线上存在一点P,使△ACP的面积是△ACD面积的2倍，求点P的坐标； (3)将直线CD绕点D旋转45°，与抛物线交于点E,请直接写出点E的坐标 3.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0),B(1,0),与y轴交于点C,连 试卷第1页，共3页 接AC,BC,点P在抛物线上运动，连接AP,BP,CP. VA B (1)求该抛物线对应的函数解析式： (②)点P从点A运动到点C的过程中（点P与点A,C不重合），作点P关于x轴的对称点P, 连接A,CP,若满足SAACP=3S△BCP,求△ABP的面积 4.如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在坐标轴上，且A(0,3),C(4,0), 点D是边AB上的一个动点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A,D. VA D 图1 图2 图3 (1)如图2，若抛物线恰好经过点C,连接AC,CD. ①求此时抛物线的解析式和点D的坐标； ②在直线AC上方的抛物线上有一点P(异于点D),且△ACP的面积等于△ACD的面积， 请求出点P的坐标， (2)如图3，设抛物线y=-x2+bx+c与射线BC交于点E,在点D的运动过程中，是否存在 b的值，使得△ODE为直角三角形？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由 5.如图，己知抛物线y=ax2+bx+4a≠0)与x轴交于A,B两点，过点A的直线1与抛物线 交于点C.其中点A(-1,0),点C(3,4. 试卷第1页，共3页 VA A 10 0 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点M是直线AC的上方的抛物线上一个动点，求△ACM面积的最大值以及此时点M的 坐标 (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线片，在抛物线片上 是否存在点P,使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出所有符合 条件的点P坐标如果不存在，请说明理由. 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A,B,C(点B在点A右侧)，已知点A坐标为(-1,0) 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出△BCP的面积的最大值？ (3)在(2)中当△BCP的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时|PG-AG引的最大 值 7.如图，二次函数y=-x2+bxr+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点 C(0,3),连接AC. 试卷第1页，共3页 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)若点D是抛物线在第一象限上的一点，满足∠DBA+∠OCA=90°，请求出点D的坐标； (3)在抛物线上是否存在点E,使得△BCE的面积等于ABC面积的一半？若存在，请直接写 出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由 8.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=-x-2相交于A-2,0),B(m,-6两点， 且抛物线经过点C(5,0).点P是直线下方的抛物线上异于A、B的动点.过点P作PD⊥x轴于 点D,交直线AB于点E 修及的 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (②法接P、9、BD,当S-子m,时，求Sn: (3)若使△PBE为直角三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标 9.如图，已知抛物线L:y=-x2+bx+c与x轴交于点A2m+1,0)和点B(m-2,0),与y轴 交于点C,对称轴为直线x=1. (备用图) 试卷第1页，共3页 (1)求b,c,m的值； (2)点P是直线AC上一动点（不与点A,C重合），过点P作PQ∥y轴，交抛物线L于点Q, 若点E是点P关于直线QC的对称点，且点E落在y轴上，求点P的横坐标： (3)直线I:y=c-3k-4(k为不等于0的常数)与抛物线L交于点M,N,求aAMW面积的 最小值. 10.如图，抛物线与x轴交于A(-2,0),B(3,0)两点，点C(2,4)在抛物线上. D (1)求抛物线的函数表达式： (2)抛物线与y轴交于点D,连接AC,BD,点P是抛物线上一点，位于第四象限且在AC的 下方，过点P作PE∥AC交BD于点E,若S△4CE=6,求点P的坐标. 1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2++c与轴交于4，B4,0)两点，与 3 y轴交于点C(0,4). E B B 0 图1 图2 图3 (1)求抛物线的函数解析式. (2)如图2，D为抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接DB,DC,当△BCD的面积最 大时，求点D的坐标及最大面积 (3)如图3，E(a,3)为直线BC上的一点，M(m,0)是线段AB上的一动点，过点M作x轴的 垂线，交抛物线于点F,交直线BC于点H.在平面内是否存在点N,使四边形EFHN为 正方形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由， 12.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=axr2+2ax-3aa<0)与x轴交于A和 试卷第1页，共3页 B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为D. 备用图 (1)求点A和点B的坐标； (2)若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，连接AE,AC,若AC平分LEA0,求抛物线的 表达式； (3)若点P是抛物线第四象限上一动点，连接AD、AC、DP、CP,线段DP与线段AC交 于点F,与X轴交于点G,当S。e=Sacm时，求C的值 13.如图1，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-1,0)、B两点，交y轴于点 3 C,对称轴为直线x= 2 B 图1 图2 (1)求二次函数的解析式： (②)如图1，点D是BC上方抛物线上一点，连接AD交BC于点E,设△ACE的面积为S, BDE的面积为S,当S-及-多时，求点D的坐标 (3)如图2，己知点T(0,)(1>2,TF与抛物线有唯一交点F(点F在y轴左侧)，点P在第 一象限的抛物线上，射线TP与抛物线另一个交点为Q,连接FP、F),分别交y轴于M N.当FM=3PM时，探究FN与NQ的数量关系，并说明理由 14.己知抛物线y=a(x+1)(x-3(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,3). 试卷第1页，共3页 :G E P N K A ⊙ O M 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1P为线段0C上一点（不与端点重合），直线PA,PB分别交抛物线于点E,D, 设△PAD的面积为S,△PBE的面积为S,求的值： S (3)如图2，K是抛物线的对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线 交于点M,N,过抛物线的顶点G作直线‖x轴，Q是直线1上一动点.求QM+QN的最小 值 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)y=-x2-3x+4 (2)①P(-2,6),S四边形4ocp最大值为16；②存在，点P的坐标为-3,4)或(-2,6) 【分析】(1)根据点A,B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； (2)①先求出直线AC的解析式为：y=x+4,设Pt,-2-31+4,则Q(t,t+4),用含t的 代数式表示△APC的面积，进而即可求解；②分两种情况：①△CPQ∽aADQ;② △PCQ△ADQ,讨论即可. 【详解】(1)解：把A-4,0)、C(0,4)代入y=-x2+bx+c得 c=4 -16-4b+c=0 b=-3 解之得 c=4’ 该二次函数的解析式为y=-x2-3x+4; (2)解：①如图， B D O 设直线AC的解析式为y=c+m, 把A(-4,0)、C(0,4)代入得 m=4 4k+m=01 [k=1 解得 (m=4’ .直线AC的解析式为y=x+4 设Pt,-2-3t+4,则0(t,1+4), P0=-12-31+4-(1+4=-12-41, 答案第1页，共2页 1 S4o=S4m+S.am=2×4xP0=2P0=2--4=-22-8, 1 S边形40cp=SH0c+S.Mc=)×4×4+(-212-8）=-2r2-8+8, 2 -8 “对称轴1= =-2, 2×-2) -2<0,开口向下， .当1=-2时，S四边形4ocp有最大值，最大值为16. P(-2,6): ②当△CPQn△ADQ时，如图： D .∠CPQ=∠ADQ=90°， CP∥x轴， .点P的纵坐标为4， .4=-x2-3x+4, 解得x=0(舍去)，x2=-3, .P(-3,4, 当△PCOAADO时， ∠PCQ=∠ADQ=90°， 过点C作CM⊥PD于M, 6 :C(0,4),A-4,0),PD1x轴， 0C=0A=4,∠0AC=45°， 答案第1页，共2页 ∠CQP=∠CPQ=45°， :PC=OC, .PO=2CM, 由①得PQ=-t2-4t,CM=-1, .-2-4t=-2t, 解得1=0（舍去)，52=-2， P-2,6, 综上，点P的坐标为-3,4)或(-2,6). 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系 数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积， 解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；(2)注意需要分 类讨论， 2.(1)y=-x2+2x+3,y=-x+3 (2)点P的坐标为(-1,0)或(4，-5) 点E的坐标为25-2到-25-列成5-，1）成 8 5+V65-1-V65 4 8 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，全等 三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键. (1)将点A,B坐标代入抛物线解析式中，求出b,C得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A,C坐标代入直线AC的解析式中，即可得出结论； (2)当点P在AC下方时，利用抛物线的对称性得出BD=AD,进而判断出ABC的面积 和△ACP的面积相等，即可得出结论： (3)分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，求出旋转后直线方程再与抛物线联立求交 点即可。 【详解】(1)解：把A3,0),B(-1,0)代入y=-x2+bx+c中，得 答案第1页，共2页 -9+3b+c=0 [b=2 -1-b+c=0,解得 c=3 (c=3 :抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; 当x=0时，y=3, ：点C的坐标是(0,3)， 把A(3,0)和C(0,3)代入y=kx+b中，得 3k+b=0 k=-1 解得 b=3 b=3’ ：直线AC的解析式为y=-x+3; (2)解：当点P在直线AC下方时，如图1，连接BC, 珠 点B是抛物线与x轴的交点， 图1 .AD BD, SAARC =2SA4CD SAACP =2SAACD ∴.S△4CP=S△c,此时，点P与点B重合，即P(-1,0O) 过B点作PB‖AC交抛物线于点P,则直线BP的解析式为y=-x-1①， :抛物线的解析式为y=-x2+2x+3②， x=-1 x=4 联立①②解得， (是点B的纵横坐标)或 y=0 y=-5' .P(4,-5), P不在第一象限内， ：点P的坐标为(-1,0)或(4，-5)； 答案第1页，共2页 保点的坐标为5w5-2小535-小-皮 5+V65-1-√65 理由如下： 4 8 :抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, .对称轴为直线x=1, .点D的坐标为1,0)， ∠DHA=45°， :A3,0,B-1,0,C0,3, .AD=2,0C=3,0D=1,0A=3, 由勾股定理得：CD=V0D2+0C2=√0，AC=V0A2+0C2=3V2, ∠0CA=L0AC=45°，AH=2V2, 如图2：当顺时针旋转时，∠CDF=45°， E B G A 图2 ∠CDF=∠DAC=45°， :∠DCA=∠DCF, .△CDF∽△CAD, CD CF .CD，即V0CF 3W2√10 解得：CF= V2 3 ·AF=AC-CF=42 3 囹F作FG上于G,则AG=PG2护号 2 答案第1页，共2页 :点F的纵坐标为 4 4 =-x+3, 5 解得：x=3’ F54) (33 设直线FD的解析式为y=kx+b,将点D,点F的坐标分别代入得： ,解得： 「k=2 0=k+b b=-21 .设直线FD的解析式为y=2x-2, y=2x-2 联立得： y=-x2+2x+3’ =5 x32=-V5 解得： 或 0y=25-2by=-25-2 所以点E的坐标为(5,25-2或(-√5，-25-2： 如图3：当逆时针旋转时，∠CD1=45°， 1-- G B MODA 图3 .∠IDF=LIDC+∠CDF=90°， :FG=4 0G= 3 5 2 DG=0G-0D=31=5, 在x轴截取DM=FG,过M作KM⊥x轴交直线OI于K, :∠KMD=∠IDF=∠FGD=90°， 答案第1页，共2页 :∠KDM+∠HDG=90°，∠KDM+∠MKD=90°， .∠HDG=∠MKD, △FGD≌△DMK(AAS), KM=DG=号DM=GF- 4 1 .OM=DM-OD=-1= 3 3 (12 K33” 设直线D的解析式为y=kx+b2,代入得： 1 k2=- 2,解得： 2 1 0=k2+b2 b2= 11 .设直线FD的解析式为y= ys-11 -x+ 联立得： 22 y=-x2+2x+3 5-V65 X3= =5+v65 解得： 4 4 -1+V65 8 ⅓=-1V65 6 点E的坐标为： 5-V65-1+V65 48 或5+v6,-1-v6 4 8 综上所述，点E的坐标为5,25-2)或-5，-25-2到或5=5，-1+6或 4 8 5+V65-1-V65 4 8 3.(1)y=-x2-2x+3; (2)4V5 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合等知识点，利用数形 结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键. (1)先运用待定系数法求出函数解析式： (2)由S=×RE×01=×3xm+3-m2-2m+到--m2-m+6,同理可得： 答案第1页，共2页 方0.3-m-1-网分-兮m-+利，然后求出点P的坐标 进而完成解答 【详解】(1)解：将点A(-3,0和B(1,0)代入抛物线可得： 0=9a-3b+3 ，解得： a=-1 0=a+b+3 b=-21 则抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3; (2)解：设△ACP的面积为S,△BCP的面积为S2, y=-x2-2x+3, 点C(0,3), 设点P(m,-m2-2m+3-3<m<0),则点Pm,m2+2m-3, 如图：连接PR交AC于点E, 设直线AC的解析式为：y=c+n, 0=-3k+”, k=1 解得： 3=n (n=3’ .直线AC的解析式为：y=x+3,则点E(m,m+3), 同理由点B、P的坐标得，直线PB的解析式为：y=(-m-3)x+m+3, 设直线PB交y轴于点D,则点D(O,m+3), E A P 则S=xPEx01=x3xm+3-m2-2m+3到-引-m2-m+6, 答案第1页，共2页 同理可得：=×D)广3---网兮引-+， S.ACB=3S.BCP 3-m--网=m-a+ 解得：m=5(舍去)或-√， :点P-5,2) △48P的面积为×B×,1+3x25=45 4.00y=-2+1x+3, 4 n:@P) ②行在b的值为忍或了，使得600E为直角三角形 39 【分析】本题考查二次函数解析式求解，坐标与几何图形，三角形面积转化，掌握分类讨论 思想是解题关键。 (1)①代入点A、C的坐标求出抛物线解析式，再根据D点纵坐标为3的特点，求出D的 坐标；②求出直线AC的解析式，设出点P的坐标并表示出PQ的长度，利用面积相等列方 程求解点P. (2)确定D、E两点的坐标，用勾股定理表示三边的平方，分三种直角情况建立方程求解 并检验b的值。 【详解】(1)①解：：抛物线经过点A,C, :把点A0,3),C(4,0)分别代入y=-x2+bx+c, [c=3 可得仁16+4b+c=0 6-3 解得4， c=3 :抛物线的解析式为y=-2+2x+3, 4 :点D在边AB上，且四边形OABC是矩形， ·当y=3时，-x2+13 13 +3=3,解得x=0,x2= 4 49 答案第1页，共2页 ②如图，过点P作PQy轴交AC于点Q,连接AP,CP, D 设直线AC的解析式为y=x+3, 把点C(4,0)代入，得4k+3=0,解得k=- 4 直线4C的解析式为y= 4+3, 设P风++3小，则0+小 4 .- 3 4 2m+3=-m2+4m, :△ACP的面积等于△ACD的面积， 0cp0-40-8c,4-m+m-*好3. 3 13 解得m=4’%= (舍去)， 4 故点P的坐标为48 339 P2》 (2)解：由(1)知c=3,则抛物线的解析式为y=-x2+bx+3, 当y=3时，x=0,x2=b,则点D坐标为b,3), 当x=4时，y=4b-13,则点E坐标为4,4b-13), .0D2=b2+9,0E2=42+(4b-132-16b2-104b+185, DE2=(4-b)2+4b-13-32=17b2-136b+272, ①当∠D0E=90°时，0D2+0E'=DE2, 即62+9+162-1046+185=1762-136b+272,解得b= 16； 答案第1页，共2页 ②当∠0DE=90°时，0D2+DE2=OE2, 即b2+9+17b2-136b+272=16b2-104b+185, 解得b=4或b=12, 当b=4时，点D与点E重合，不符合题意，舍去， 当b=12时，点D在AB的延长线上，不符合题意，舍去； ③当∠0ED=90°时，0E2+DE2=0D2, 即16b2-104b+185+17b2-136b+272=b2+9, 解号6=子或6=4〔金去。 当b=4时，点D与点E重合，不符合题意，舍去， 6子 综上所述，有在b的值为没或}，俊得0E为直角三角形。 16 答：存在b的值为3”或 16或2，使得4ODE为直角三角形 一或 5.(1)y=-x2+3x+4 (2)△ACM面积的最大值为8，此时点M的坐标为(1,6 (3)存在，符合条件的点P坐标为1,6)或(5,2)或(3-25,2V5-4)或3+25，-25-4 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)过点M作MN⊥x轴，交AC于点N,求出直线AC的解析式为y=x+1,设点M的坐 标为m,-m2+3m+4),则点N的坐标为m,m+1),可得MN=-m2+2m+3,再根据三角 形的面积公式以及二次函数的性质解答即可； （3)根据平移的性质可得平移后的抛物线的解析式为y,=-x2+5x+2,设点P的坐标为 (,-t2+51+2),再由勾股定理可得PA?-PC2=AC2或PC2-P42=AC2,可得到关于t的方 程，即可求解 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+4a≠0)与x轴交点A-1,0),点C(3,4), a-b+4=0 9a+3b+4=4' 答案第1页，共2页 a=-1 解得： b=3’ 抛物线的表达式为y=-x2+3x+4: (2)解：如图，过点M作MN⊥x轴，交AC于点N, 设直线AC的解析式为y=kx+s, 把点A-1,0),点C3,4)代入y=kx+s得： -k+s=0 3k+s=4' [k=1 解得： 5=1’ 直线AC的解析式为y=x+1, 设点M的坐标为m,-m2+3m+4,则点N的坐标为m,m+1, .MN=-m2+3m+4-(m+1=-m2+2m+3, Saw-xe-x=m2+2m+3到3+=-2m+4m+6=-2m-+8, :当m=1时，△ACM的面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为1,6). (3)解：存在， :y=-x2+3x+4= 3 25 2 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位 长度得到抛物线y, 25 +2=-x2+5x+2, 设点P的坐标为t,-12+5t+2), 答案第1页，共2页 点A(-1,0),点C(3,4, P42=(t+12+-2+51+2°，PC2=(t-32+(-2+51+2-42=(t-32+(-12+51-22, AC2=(3+1)2+42=32, :△PAC是以AC为直角边的直角三角形， :PA2-PC2 AC2 PC2-PA2=AC2, 当PA2-PC2=AC2时， +12+-2+5+2-f0-32+-+5-2]=32, 解得：t=1或5， 此时点P的坐标为1,6)或(5,2)； 当PC2-PA=AC2时， -3+(-+51-2-[+2+2+5+2]-32, 解得：t=3+2√5或3-2√5， 此时点P的坐标为3-25,25-4或3+2V5,-25-4: 综上所述，符合条件的点P的坐标为1,6)或(5,2)或3-25,25-4或3+2V3,-25-4. 【点晴】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数综合题、二次函数图象的平移、二 次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的相关性质是解题的关键. 6.(1)y=-x2+3x+4 (2)8 3)37 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握 二次函数的性质是关键. (1)求出B(4,0),C(0,4),利用待定系数法求出答案： (2)过点P作PE∥y轴，交BC于点E,设P(m,-m2+3m+4,求出PE=-m2+4m,得 到△BCP的面积SPCE+S。pBE=-2(m-2)2+8,根据二次函数的性质进行求解即可； (3)作点P关于y轴的对称点P,则点P的坐标为(-2,6，连接PP'交y轴于点F,连接 答案第1页，共2页 P'AP'G,PG-AG=P'G-AG≤P'A,此时|PG-AG的值最大，求出最大值P'A即可. 【详解】(1)解：直线y=-x+4与x轴交于B点，与y轴交于C点， .B(4,0),C(0,4), “抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A,B,C,已知点A坐标为(-1,0)， a-b+c=0 .16a+4b+c=0, c=4 a=-1 解得b=b=3, (c=4 抛物线的表达式为y=-x2+3x+4; (2)解：过点P作PE∥y轴，交BC于点E,如图1， N B(4,0),∴.OB=4, 图1 设Pm,-m2+3m+4, PE∥y轴， .E(m,-m+4), .PE=-m2+3m+4-(-m+4)=-m2+4m, BCP的面积Sc+5w=PE-0B=m2+4mx4 2 =-2m2+8m=-2(m-2)2+8, .当m=2时，△BCP的面积的最大值为8： (3)解：作点P关于y轴的对称点P,则点P的坐标为(-2,6， 连接PP'交y轴于点F,连接PA,PG,如图2， 答案第1页，共2页 :点P,P关于y轴的对称， 图2 :PG=P'G PG-AG=P'G-AG≤PA, 当P,A,G在一条直线上时，取等号， 此时|PG-AG引的值最大，最大值为P'A, :PA=V-2-(-1)]+(6-0)2=37 PG-AG的最大值为√37； 7.(1)y=-x2+2x+3 (2)2,3 (3)存在，E,(1,4),E2（23,E3 3+√17-1-7） 3-√17-1+√17 2 2 2 2 【分析】此题考查了二次函数的面积问题、角度问题、解直角三角形的应用，正确理解题意 并数形结合是关键 (1)利用待定系数法求出函数表达式即可； (2)过点D作DG⊥x轴于点G,设D(,-+2t+3,证明∠DBA=LCA0,得到 an∠DBA=am∠CA0,则GD-OC=3,得到DG=3BG,-2+21+3=3引3-小，即可求出 BG OA 答案； (3)过点E作EH⊥x轴于点H,交BC于点F,设Et,-t2+21+3,求出直线BC的解析 式为y=-x+3,则F仁，-1+3引，根据aBCE的面积等于ABC面积的一半得到2？-3刘=3， 解方程即可求出答案。 【详解】(1)解：把点A-1,0)和点C(0,3)代入二次函数y=-x2+bx+c中得， 答案第1页，共2页 「-1-b+c=0 c=3 b=2 解得： c=3’ .二次函数的表达式为y=-x2+2x+3; (2)解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G,设D(,-2+21+3, D A B 当y=0时，-x2+2x+3=0, .x=3或-1， B(3,0), .0B=3, :点D是抛物线在第一象限上的一点， 0<1<3, C(0,3), .0C=3, :∠DBA+∠0CA=90°，∠CA0+∠0CA=90°， .∠DBA=∠CAO, .tan/DBA-tan∠CA0, .GD_0C=3, BG OA DG=3BG, -t2+21+3=33-t, 解得：t=2或3（舍去）， .D2,3; 答案第1页，共2页 (3)解：过点E作EH⊥x轴于点H,交BC于点F,设Et,-2+2t+3), 设直线BC的解析式为y=kx+m,把C(0,3,B(3,0)代入得到， m=3 3k+m=0' m=3 解得k=-1' .直线BC的解析式为y=-x+3, 则F(1,-1+3), EF=-1+3)-(-2+21+3=r2-3刘 iBCE的面积=EF×0B=-33=r-列 :4BC的面积-B×0C-方x4×3=6, 由题意可得， r-刘=3. 即t2-3t=2或t2-3t=-2 =2亚 2 4,1 22 8.(0)抛物线的解折式为y=-3x-10,顶点坐标(3-望） 281 4 (3)满足条件点P的坐标为(0，-10)或(-1，-6) 【分析】(1)求出B(4,-6),因为抛物线经过A(-2,0),C(5,0),可以设抛物线的解析式 答案第1页，共2页 y=ax+2)x-5,把B(4,-6)代入y=ax+2)x-5,可得a=1,得到函数解析式，再把 解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标； 设P(x-3x-I0,根据S二SP,构建方程解决间题即 (3)分两种情形：①∠PBE=90°.②∠BPE=90°.分别求解即可. 【详解】(1)解：将B(m,-6)代入y=-x-2得-6=-m-2, 解得m=4 B(4,-6), :抛物线经过A(-2,0),C(5,0), 设抛物线的解析式y=ax+2)(x-5), 把B(4,-6)代入y=a(x+2)(x-5)得到-6=a4+2)(4-5) 得a=1, 抛物线的解析式为y=(x+2)(x-5)=x2-3x-10. y-3x0(9 ·顶点坐标为 (2)解：设Px,x2-3x-10, :直线AB的解析式为y=-x-2, Dx,0,Ex,-x-2), .PE=(-x-2)-（x2-3x-10=-x2+2x+8, S.w. 3 小x+2x6号-+2+8x6, 1 整理得：2x2-x-10=0, 解得x=5或-2（舍去). 2 ·PE=27 4， 答案第1页，共2页 1 2781 .S,聊4=5×6× 2 44 (3)①当∠PBE=90°时，PB⊥AB,如图，作BH⊥x轴于点H, A-2,0),C(5,0),B(4,-6, BH=6,AH=4-（-2)=6, △ABH是等腰直角三角形， .∠BAH=∠ABH=45°， ADE是等腰直角三角形， .∠AED=LBEP=45°， .△PBE是等腰直角三角形， 设点Pt,2-3t-10),则E(1,-1-2), :PE=-t-2-t2-31-10=-2+2t+8 PE2=BE2+BP2=2BE2, :PE =2BE :BE=AB-AE=6√2-√2(t+2=4√2-2t, -2+21+8=V2(4V2-V2) 解得t=0,t=4 P(4,-6)(不合题意，舍去)或P(0,-10), ②当∠BPE=90°时，PBIx轴，如图， 答案第1页，共2页 则点P的纵坐标为-6， 由-6=x2-3x-10,解得x=4（舍去)或-1， P(-1,-6, 综上所述，满足条件点P的坐标为0，-10)或(-1，-6) 【点晴】本题考查二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三 角形的判定和性质，解直角三角形，待定系数法，三角形的面积等知识.解题的关键是学会 利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题. 9.(1)b=2,c=3,m=1 (2)3-√2 (3)8 b 【分析】D限据次函数的对称性得到2m+1十m-2,2x,求出6=2， 2 m=1,得到A3,0),B(-1,0),然后将A(3,0)代入解析式求出c=3; (2)首先得到抛物线解析式为y=-x2+2x+3,求出C(0,3),得到∠0CA=∠0AC=45°，然 后求出∠PQC=∠ECQ=67.5°，得到PC=PQ,设P(p,-p+3),则Qp,-p2+2p+3,然 后表示出PC,P⑨代入求解即可； (3)由1：y=c-3k-4知，直线过点G(3,-4),则得AG⊥x轴，且AG=4;联立直线与抛 物线的解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由 S。w=S。4GM+S。4ov=2xw-w,可得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值. 【详解】(1)解：：抛物线L:y=-x2+bx+c与x轴交于点A(2m+1,0)和点Bm-2,0),对 称轴为直线x=1, .2m+1+m-2-1,2x- b 2 三1， 答案第1页，共2页 .b=2,m=1: .A(3,0,B-1,0), 将A(3,0)代入L:y=-x2+2x+c得，0=-32+2×3+c, .c=3; (2)解：：b=2,c=3, ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3, .当x=0时，y=3, .C(0,3), :A3,0), .0A=0C, .∠0CA=∠0AC=45°， :点E是点P关于直线QC的对称点，且点E落在y轴上， 26c0=∠Pc0-l80-∠0c4=675. :PQ∥y轴， .∠PQC=∠ECQ=67.5°， ∠PQC=∠PCQ, .PC=PO, A(3,0),C(0,3, 设直线AC的表达式为y=dc+e, [3d+e=0 得e=3 「d=-1 解得 (e=3, 直线AC的表达式为y=-x+3, 设P(p,-p+3),则Qp,-p2+2p+3 P0=-p2+2p+3-(-p+3=-p2+3p,PC=V2p .-p2+3p=V2p 答案第1页，共2页 解得p=0(舍去)或p=3-√2 .点P的横坐标为3-√2； (3)解：：直线：y=x-3k-4(k为不等于0的常数)与抛物线L交于点M,N, 当x=3时，y=3k-3k-4=-4, ·直线1：y=kx-3k-4过点G(3,-4), A3,0), :AG⊥x轴，且AG=4, y=-3k-4 联立直线与抛物线的解析式得： y=-x2+2x+3' 整理得，x2+(k-2)x-3k-7=0, :△=(k-2)2-4×1×(-3k-7)=(k+4)2+16>0, =2-+16,w2-16 2 .xw-xM=V(k+4)2+16, Sm=Saw+5a号4Gk。-w小=2w-x=2k+4+16, 当k=-4时，(k+4)2+16有最小值16， △AMW的面积有最小值2×√16=2×4=8. 【点晴】本题是二次函数与一次函数、三角形的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二 次函数的图象与性质，二次函数的最值，三角形面积等知识，综合性强，灵活运用这些知识 是关键。 10.(1)y=x2-x-6: (2)点P的坐标为(1,6)， 答案第1页，共2页 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)利用待定系数法分别求得直线AC、BD的表达式，设点P的坐标为t,t2-t-6,求 t22t2 得直线PE表达式，求得点E的坐标为 -6 再求得直线CE的表达式，求得 3 3 2(22-9.62-4 AF = 2+2= t2-3 t2-3 ,根据S△4cE=SaFE-Sac,列式计算即可求解。 【详解】(1)解：设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)x-3), 代入C(2,-4)得-4=(2+2)(2-3a, 解得a=1, 抛物线的函数表达式为y=x+2)x-3)=x2-x-6; (2)解：令x=0,则y=-6, .点D的坐标为0，-6， 「-2k+b=0 设直线AC的表达式为y=x+b,则 2k+b=-41 「k=-1 解得b=2 .直线AC表达式为y=-x-2, 同理求得直线BD的表达式为y=2x-6, :PE∥AC, 设直线PE表达式为y=-x+b,点P的坐标为t,t-t-6, t2-t-6=-t+b, 解得b=t2-6, 直线PE表达式为y=-x+12-6,联立得 y=-x+t2-6 y=2x-6 2 x= 3 解得 212 36 y= 答案第1页，共2页 （t222 .点E的坐标为 6 3’3 :点C的坐标为(2,4)， 同理直线CE的表达式为y=2r2-6x+36-82 -x+ 2-6t2-6 令y=0,则2r2-6x+36-8x2 x+ =0, 2-6 t2-6 解得x 2(22-9) t2-3 延长EC交x轴于点F, D⑤ 222-9.6t-4 :AF= +2= 2-3 2-3 SAACE =SAAFE-SAAFC 1.6-4.,162-4) 2P-32-3=6, 即3-62）124r-4-6. t2-3 3t2-3 整理得-2(2-4)=6， 解得1=1或1=-1， :点P位于第四象限， .t=1, .点P的坐标为1，-6. 【点晴】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质， 三角形面积等. 答案第1页，共2页 1.0=2++4 1 ②点D的坐标为2智》，最大值为号 (3)存在，点N的坐标为 1,2 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)过点D作DP∥y轴，交BC于点P,求得直线BC的函数解析式，设点 n.-m2+5n+4, D,3 3 则点P(n,-n+4),用的代数式表示出S△cD,利用二次函数的性质 即可求解； 1 (3)求得点H的坐标为(m,-m+4),点F的坐标为m,-。m2+。m+4,根据题意得到 3 3 号m+m+4=3,解得网=1上而1+ 1 3 2 2 ,再分情况讨论即可求解。 【详解】(1)解：“抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点B4,0,与y轴交于点C(0,4), /0= ×42+4b+ 1 b= 3 ,解得 3, 4=c c=4 :抛物线的函数解析式为=+兮+4： (2)解：如图1，过点D作DP∥y轴，交BC于点P, Y B 图1 设直线BC的函数解析式为y=c+4, 将点B(4,0)代入得0=4k+4, 解得k=-1, .直线BC的函数解析式为y=-x+4, -n+n+4, 设点Dn,” 则点P(n,-n+4) 3 答案第1页，共2页 1 1 4 :DP=-n2+n+4-(-n+4=-m2+4n, 3 3 3 3 ..xo =x-+ 4) n x4 23”3 u-2y+ 3 0 3 一当m=2时，A8CD的面积最大，最大值为，此时点D的坐标为2,9）： (3)解：：E(a,3)为直线BC上的一点， 3=-a+4,解得a=1, 点E的坐标为L,3). :点M(m,O),且MH⊥x轴， .1 二点H的坐标为m,-m+4),点F的坐标为m,-m+?m+4 3 若四边形EFHN是正方形，EF⊥HF,则EF⊥y轴，由此可得： 1 3y+,2+4=3 解之得：m= 1-31+√13 2,m2 2 ①当m=1-5时，如图2， 2 A 图2 计算可得：HF=EF, 7+√13 点N的坐标为 1,2 ②当m1+时，如图3 2 答案第1页，共2页 图3 计算可得：HF=EF, 点N的坐标为 7-V13 1,2 综上所述，点N的坐标为 【点晴】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性 质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题 关键。 12.(1)A(-3,0),B(1,0 2y=-5.2 -x 3 3x+V5 【分析】(1)令y=0,得ar2+2ax-3a=0,消去a因式分解得x+3(x-1=0,结合点A在 B左侧，得A-3,0)、B(1,0); (2)将抛物线化为顶点式得对称轴x=-1,令x=0得C(0,-3a,E与C关于x=-1对称， 故E(-2,-3a,由EC∥x轴得∠ECA=∠CA0,又AC平分∠EA0,故∠EAC=∠ECA,即 AE=EC,用勾股定理列出方程求Q即可； (3)由SAADF=SACFP,得S。APD=S,APc,因两三角形共边AP,故CD∥AP,求得直线AP方 程y=ax+3a,联立抛物线方程解得P(2,5a,过D、P作x轴垂线得DM∥PN, △DMG∽APNG,由相似比得GP=PN 【详解】(1)解：令y=0,则ax2+2ar-3a=0, 答案第1页，共2页 :a≠0，两边除以a得x2+2x-3=0, 因式分解得x+3)(x-=0, 解得x=-3或x=1, :点A在点B左侧， .A-3,0),B(1,0): (2)解：如图，连接CE. :y=ax2+2ax-3a=a(x+1)2-4a, 抛物线的对称轴为x=-1, 令x=0,得y=-3a,故C(0,-3a, :点E与C关于x=-1对称， E(-2,-3a, EC2=4,AE2=(-2+3)2+(-3a-0)2=1+9a2. :EC∥x轴， .ZECA ZCAO :AC平分∠EA0, .∠EAC=∠CA0, .ZEAC ZECA, .AE=EC, ：1+902=4,解得a=-5(舍去正值， 3 故抛物线的表达式为)=-5x25x+5: 3 3 (3)解：由(1)(2)知A-3,0),D-1,-4a),C(0,-3a,如图，过点D作DM1x轴， 过点P作PN⊥x轴，连接AP. 答案第1页，共2页 设直线CD的方程为y=kx-3a, 将D(-1,-4a)代入得：-4a=-k-3a,解得k=a. S△ADF=SACEP, .S。ADF+S。4Fp=S.CFP+SAFP,即SAPD=S4Pc, :△APD与△APC有公共边AP,面积相等， ·点D、C到直线AP的距离相等，故CD∥AP, 设直线AP的方程为y=ax+n, 将A-3,0)代入得：0=-3a+n,解得n=3a, 所以直线AP的方程为y=ax+3a, 联立 [y=ax2 +2ax-3a ,得ax2+2ax-3a=a(x+3, y=ax+3a 整理得x2+x-6=0,解得x=-3(对应点A)或x=2, 将x=2代入y=ar+3a得y=5a,故P(2,5a, :DM⊥x轴，PN⊥x轴， .DM∥PN, .△OMGAPNG, DG DM-4a 4 ·GP=Pw=-5a5' 【点晴】本题综合考查二次函数的图象与性质，涉及一元二次方程解法、等腰三角形判定、 三角形面积转化、相似三角形判定与性质等，融合代数运算与几何推理.本题核心是数形结 合与转化思想，(1)侧重函数与方程转化，(2)巧用角与线段关系转化，(3)通过面积转化 推导平行关系，最终利用相似求比值，需注意α<0的符号细节. 13.（0=次函数的解折式：y=方+子x+2 答案第1页，共2页 (2)点D的坐标为1,3)或(2,3 (3)ON=3FN,理由见解析 【分析】(1)根据待定系数法求解即可： ②)过盘D作DH108于，根据抛物线的发称性求出840，设D日-++2】 2 ，根据S2-S,=2,得出S△BD-S△4BC=2,则 [4-++[-小2-号解方程4=1,4=2，再可深解， (3)结合T(0,)可求直线TF的解析式y=kx+1,联立直线TF与抛物线可得 x2+(2k,-3)x+21-4=0,结合TF与抛物线有唯一交点F,可求出x2=2t-4,同法求出直 线TP的解析式为y=k2x+1,联立直线TP与抛物线可得x2+(2k-3)x+2t-4=0,进而 ,,=21-4,得出三-立三，过点P作PI1y轴于，过点F作F1y轴于，过点Q作 XE XO 欧Ly铀于K,证明△MPIO△MH,得出片，进而求出=园理得出 FMJF FN FK 进而求出 即可求解 ON a-b+2=0 【详解】(1)解：由题意可得： b3, 、2a2 d= 2 解得： 3 b 2 :二次函数的解析式为：y=-x+3x+2: 3 22 (2)解：过点D作DH⊥OB于H, VA 1 3 抛物线y=-。X2+三x+2交y轴于点C(0,2), 2 2 答案第1页，共2页 :A-1,0)、B关于直线x=三对称， 2 .B(4,0) 2 - (S+Ss-S+5)=2,串Sm-5x=月 ÷4B-Dn-48oc-月 [4-++[4-小2- 整理得：d2-3d+2=0, 解得：d,=1,d2=2, 点D的坐标为1,3)或(2,3. (3)解：FN与NQ的数量关系为：QN=3FN, 理由如下：设直线TF的解析式为：y=kx+b, 把T(0,)代入可得，b=t, .y=k x+t y=kx+t, 联立直线TF与抛物线得， 22 1 2r 2+2=x+1, 整理得x2+2k,-3x+2t-4=0. :TF与抛物线有唯一交点F, .x1=x2=xF: :x1x2=21-4, xf=2t-4. 设直线TP的解析式为：y=k2x+b2, 答案第1页，共2页 把T(0,t)代入可得，b,=t, ..y=kx+t. y=kx+t, 联立直线TP与抛物线得， 1x2+3 y=- 2* +2 21 x2+2x+2=k,x+t, 3 2 整理得x2+(2k-3)x+2t-4=0. .x3x4=2t-4,即xp·x0=2t-4, XF=Xp'x0, Xp-XE XF XO 过点P作PI⊥y轴于I,过点F作FJ⊥y轴于J,过点Q作QK⊥y轴于K, T --/ N K 则PI∥FJ, △MPI∽△MFJ. PM IP FM JF FM =3PM PM Xp 3PM =-1 XF 3 同理可得： FN FK ON OK' 答案第1页，共2页 .ON=3FN. 14.(1)y=-x2+2x+3 e时 (3)45 【分析】(1)用待定系数法求出a的值即可. (2)设P(O,p),用待定系数法求出直线AP,直线PB的函数解析式，然后与抛物线的解析 式联立成方程组，求出D,E的坐标，最后用p的代数表示出S,S的面积即可. (3)设直线MW为y=x+d,把K点的坐标代入该解析式，可求出k,d的等量关系，然 后把直线MN与抛物线联立成方程组，根据韦达定理，可得出M,N的横坐标的和与积关 于k的代数式，然后作点N关于直线1的对称点N',连接MN',OW,根据将军饮马模型， 可知M+QN≥MN',再用k的代数式表示MN',求出MN'的最小值即可. 【详解】(1)解：将点C(0,3代入y=ax+1x-3), 得3=a(0+1)(0-3, 解得a=-1, :抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3, (2)解：由y=-x+1)(x-3,可知点A(-1,0),B(3,0), 设P(0,p),直线AP为y=kx+b(k≠0)， 则+=0，解得 k=P b=p b=p :.y=px+p, y=px+p, 联立得 y=-x2+2x+3, x=-1 解得 x=3-p 或 y=01 y=-p2+4p' E3-p,-p2+4p, 设直线PB为y=k2x+b2k2≠0)， 答案第1页，共2页 3k2+b2=0 k2= 则 ,解得 3 b2=p b2=p iy=-2x+p. 3 x+p 联立得 31 y=-x2+2x+3 [x=3 x=P-3 解得 或 3 y=0 p2,4p 93 s=8m5w4a(ww小-（号+号智-p小-p, 5=5c-Sm4B0为=2-p2+4p-p-23p-p). ..5=1 S29 (3)解：由y=-x2+2x+3=-(x-1)+4,可知抛物线的对称轴为直线x=1,顶点G(1,4), 点K(1,0), 设直线MN为y=kc+d,由K(1,0), 得k+d=0, d=-k, ..y=kx-k, 设M(m,-m2+2m+3),N(n,-n2+2n+3, y=kx-k 联立直线MN与抛物线得 y=-x2+2x+3' 得x2+(k◆-2)x-k-3=0, .△=(k-22-4(-k-3)=k2+16>0 根据根与系数的关系，可得m+n=2-k,mn=-k-3, 答案第1页，共2页 如图，作点N关于直线I的对称点N',连接MN',ON, N VA 4 由题意得直线1：y=4,则N'n,n2-2n+5), ∴QM+QN=QM+QN'≥MW', 过点M作MF⊥NN'于点F,则F(n,-m2+2m+3, :N'F =m2+n2-2(m+n+2,FM=m-n, 在RtAMFN'中， MN2=MF2+NF2 =(m-m川+[m2+n2-2(m+m+2] =(m+m川°-4mn+[m+m2-2mn-2(m+m)+2] =(2-k2-4-k-3)+[(2-k2-2(-k-3)-2(2-k)+2 =k4+17k2+80≥80， 即当k=0时，MN2=80,此时MN'=4V5, 故QM+QN的最小值为45. 答案第1页，共2页