18.1.1 矩形的性质课件 2025-2026学年华东师大版 数学八年级下册

18.1.1 矩形的性质 BY YUSHEN BY YUSHEN 22251 1 1.理解矩形的概念以及它和平行四边形的关系 2.理解矩形的性质，会用其解决相关问题. 学习目标 BY YUSHEN 22251 问题1：下面图形中都含有平行四边形,请把它们找出来. 它们有什么共同的特征？你还能举出别的例子吗？ 新知探究 BY YUSHEN 22251 问题2：如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在桌面上并轻轻推动，你会发现什么？ 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形 新知探究 BY YUSHEN 22251 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形. 它的特殊性体现在哪些方面呢？ 归纳 BY YUSHEN 22251 活动1：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等. (1)小组合作，测量身边矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数,并记录下表测量结果. AC BD ∠BAD ∠ADC ∠BCD ∠ABC 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） A B C D O （形象图） (2)根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？ 结论：角： ；对角线： . 四个角为90° 相等 新知探究 BY YUSHEN 22251 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等) AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 已知：如右图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线 AC与DB相交于点O. 求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；(2)AC=DB. 证一证 ∴∠BCD = 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°. 又∵∠ABC = 90°, A B C D O (2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB，∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 新知探究 BY YUSHEN 22251 A B C D O 性质定理1：矩形的四个角都是直角； 性质定理2：矩形的对角线相等. 归纳 BY YUSHEN 22251 做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.   （1）矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？ （2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2条 BY YUSHEN 22251 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 角：四条角都是90°. 对角线：相等. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳 BY YUSHEN 22251 例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD(矩形的对角线相等). OA= OC= AC,OB = OD = BD(矩形对角线相互平分) A B C D O ∴OA = OD. ∵∠AOD=120°, ∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5. 又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角）， ∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. 你还有其他解法吗？ 提示：∠AOD=120° → ∠AOB=60°→ OA=OB=AB → AC=2OA=2×2.5=5. 例题分析 BY YUSHEN 22251 例 2 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4， BE ⊥ AC，垂足为点 E . 求 BE 的长. A B D C E 说一说你的解题思路 △ABC 为直角三角形 它的面积既可以用底和高来求. 也可以用两条直角边来求. 列出等式，从而求出 BE 的长. 解：在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°， AC = = 5. 又∵S△ABC = AB·BC = AC·BE ， ∴BE = = = 2.4. 例题分析 BY YUSHEN 22251 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分线段 BO，垂足为点 E，BD = 15 cm. 求 AC、AB 的长. 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC = BD = 15 (矩形的对角线相等）. ∴AO = AC = 7.5. ∵AE 垂直平分 BO， ∴AB = AO = 7.5 . 即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm . A B C D O E 例题分析 BY YUSHEN 22251 1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC , BD交于点O ,已知∠AOB=60° , AC=16，则图中长度为8的线段有（ ） A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 D A B C D O 60° 巩固练习 BY YUSHEN 22251 2.如图,在矩形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4 ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC = BD， OA= OC= AC,OB = OD = BD , ∴OA = OB. 又∵∠AOB=60°, ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∴AC=BD=2OA=8. 矩形的对角线相等且互相平分 A B C D O 巩固练习 BY YUSHEN 22251 3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，DE ⊥ AC 于点 E，且 ∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2，求 ∠BDE 的度数． 解: ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC ＝ 90°，OA ＝ OD． ∵∠ADE ∶ ∠EDC ＝ 3 ∶ 2， ∴∠ADE ＝ ∠ADC＝54°． ∵DE ⊥ AC，∴∠DEA＝ 90° ∴∠DAE＝90°－∠ADE＝36° ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝36°． ∴∠BDE＝∠ADE－∠ODA＝54°－36°＝18°． 巩固练习 BY YUSHEN 22251 1.定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.特殊性质 (1)矩形的四个角都是直角； (2)矩形的对角线相等. 3.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 矩形 矩形性质的应用 课堂总结 BY YUSHEN 22251 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 A 2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 AB ＝ 3，AC＝ 6，则 ∠AOD 的度数为( ) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 3 3 3 3 D 随堂练习 BY YUSHEN 22251 3. 如图，四边形 ABCD 是一个矩形，其中AD＝5， AB＝12，则 AC 的长为_____. A B D C 5 5 12 13 4.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_____. 随堂练习 BY YUSHEN 22251 能力提升：5.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3. 又由折叠知∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即DE＝5. ∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10. 随堂练习 BY YUSHEN 22251 $