18.1.2 第1课时 矩形的判定课件 2025-2026学年华东师大版 数学八年级下册

什么是矩形？它有哪些特殊性质？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形 1.角： 2.对角线： 四个角都是直角 对角线相等 类比平行四边形，矩形的这些性质对判定 矩形会有什么帮助呢？ 它能判定一个四边形是矩形 复习导入 BY YUSHEN 22251 18.1.2 第1课时 矩形的判定 BY YUSHEN BY YUSHEN 22251 2 1.理解并掌握矩形的判定定理，能应用其解决证明和计算问题. 学习目标 BY YUSHEN 22251 探究一：矩形的判定 活动：请写出矩形两条性质的逆命题并尝试判断它的真假. 逆命题1：如果一个四边形的四个角都是直角，那么它是矩形.” 成立 矩形 1.角： 2.对角线： 四个角都是直角 对角线相等 逆命题2：“如果一个四边形的对角线相等,那么它是矩形.” 不一定，等腰梯形的对角线也相等. 新知探究 BY YUSHEN 22251 思考交流：（1）条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？试一试：作一个三个角都是直角的四边形. 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 如何证明？ 作法：1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD； 2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l； 3. 过点 D 作垂直于AD 的直线 m，与直线l相交于点C. 四边形 ABCD 即为所要求作的四边形. A B D C l m 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠D=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 新知探究 BY YUSHEN 22251 证一证 证明:∵ ∠A=∠B=∠D=90°, ∴∠A+∠D=180°,∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. D A B C 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠D=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 新知探究 BY YUSHEN 22251 画一画，你发现有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) 所以至少有三个角是直角的四边形才是矩形 新知探究 BY YUSHEN 22251 矩形的判定定理1： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 归纳 BY YUSHEN 22251 思考交流：（2）需要添加什么条件才能使对角线相等的四边形是矩形吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 试一试：作一个对角线相等的平行四边形. 作法： 1.任意作两条相交的直线，交点记为 O； O A B C D 2.以点O为圆心、适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD； 3.顺次连结所得的四点. 四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形. 如何证明呢？ 新知探究 BY YUSHEN 22251 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B C D 证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC = ∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC + ∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 证一证 新知探究 BY YUSHEN 22251 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 归纳 BY YUSHEN 22251 1.如图，∠AOB 是一个直角，任意一点 P 到这个角的两边的距离之和为 6，则图中四边形的周长为______． 12 巩固练习 BY YUSHEN 22251 2. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） D A B C D 巩固练习 BY YUSHEN 22251 例1 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等)， AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴四边形EFGH是矩形. 探究二：矩形判定定理的应用 思路：根据已知条件，我们可以先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明对角线 EG 和 FH相等，即可得证. 例题分析 BY YUSHEN 22251 例2 如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形 ABD 和 BCD 组成的，M、N 分别为 BC、AD的中点. 求证：四边形 BMDN 是矩形. A B C D M N 分析：由已知条件，可知 BN ⊥ AD，DM ⊥ BC， 因此，在四边形 BMDN 中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角也是直角即可得到它是一个矩形. 证明：∵△ABD 和△BCD 是全等的正三角形， ∴∠ADB = ∠CDB = 60°. 又∵M、N分别为BC、AD的中点， ∴ BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM=∠BDC=30°. ∴∠DNB = ∠DMB = 90°, ∠MDN = ∠ADB + ∠BDM = 90°. ∴四边形 BMDN 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形. 例题分析 BY YUSHEN 22251 例3 如图，在 △ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC，垂足 为点 D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE//AB， 交 AG 于点 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形. 分析：根据已知条件 AB = AC，我们可以先通过证明四边形 ABDE 是平行四边形，得到 DE=AB=AC. 因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理. A B C D E G F 证明：∵AB = AC， AD ⊥ BC， ∴∠B = ∠ACB， BD = DC. 又∵AE 是△ABC 的外角 ∠CAF 的平分线， ∴∠FAE = ∠CAF = (∠B + ∠ACB) = ∠B. 又∵DE // AB， ∴AE // BC. ∴四边形 ABDE 是平行四边形. ∴AE = BD，AB = DE. ∴AC = DE， AE = DC. ∴四边形 ADCE 是平行四边形. ∴四边形 ADCE 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 例题分析 BY YUSHEN 22251 要获取足够证明一个四边形为矩形的条件,往往需要结合图形中的其他条件,进行相关的推理.应根据已知条件,猜测最可能获取到的条件,从而选择合适的判定方法. 归纳 BY YUSHEN 22251 3.如图，△ABC中，AB＝AC，点F在CA的延长线上，AD，AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线，BE⊥AE于点E. (1)求证：DA⊥AE；(2)试判断AB与DE是否相等，并说明理由． 解：(1)∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAF， ∴∠BAD＋∠BAE＝(∠BAC＋∠BAF)＝90°， ∴DA⊥AE； (2)AB＝DE. 理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC， ∵BE⊥AE，DA⊥AE，∴∠ADB＝∠BEA＝∠DAE＝90°， ∴四边形ADBE是矩形，∴AB＝DE. 巩固练习 BY YUSHEN 22251 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形，∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. A B C D O 4.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，△ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）， ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2 + BC2 =AC2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = 巩固练习 BY YUSHEN 22251 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 课堂总结 BY YUSHEN 22251 D E F M N Q P A B C 1.如图，直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线，则四边形ABCD是（ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 C 随堂练习 BY YUSHEN 22251 2.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形． 证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°， ∴∠ADC=90°. 又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13， 满足132=52+122， ∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形． A B C D 巩固练习 BY YUSHEN 22251 3.如图，在▱ABCD 中，过点 B 作 BE ⊥ CD 于点 E，点 F 在边 AB 上，AF ＝CE，连结 DF、CF. (1)求证: 四边形 DFBE 是矩形； (2)当 CF 平分∠DCB 时，若 CE ＝ 3，BE ＝ 4，求 CD 的长. A B C D E F (1)证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ AB∥CD，AB ＝CD. ∵ AF ＝CE， ∴ AB－AF ＝CD－CE，即 BF ＝DE， ∴ 四边形 DFBE 是平行四边形. ∵ BE ⊥ CD，∴ ∠BED ＝90°， ∴ ▱ DFBE 是矩形. (2)在Rt△BEC 中，∵ BE ＝4，CE ＝3， ∴ CB ＝ ＝ ＝ 5. ∵ CF 平分∠DCB，∴ ∠DCF ＝∠BCF. ∵ AB∥CD，∴ ∠DCF ＝∠CFB， ∴ ∠BCF ＝∠CFB， ∴ CB ＝BF. ∴ DE ＝BF ＝CB ＝ 5， ∴ CD ＝CE + DE ＝3 + 5＝ 8. 巩固练习 BY YUSHEN 22251 $