2026年九年级数学中考二轮复习二次函数与线段周长问题综合压轴题

2026年九年级数学中考二轮复习二次函数与线段周长问题综 合压轴题 1,己知二次函数y=ax2+2ax+4的最大值是5，其图象记为抛物线C. (I)直接写出C的对称轴及a的值； (2)当0≤x≤t时，函数的最大值是m,最小值是n,若m-n=6,求t的值； (3)如图，将抛物线C：y=ax2+2ax+4先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长 度得到抛物线C,· ①直接写出抛物线C,的解析式： ②已知直线x=b(b<0)与x轴交于点P,与直线1：y=-2x-4交于点Q,与抛物线C,C2 分别交于点M,N.当PM=QN时，直接写出点P的坐标 2.已知抛物线y=a(x-h)2(a,h为常数且a≠0). 图1 图2 备用图 (1)抛物线的对称轴为x=1,且经过点A(3,4). ①求抛物线的表达式： ②如图1，抛物线与y轴交于点B,点P是抛物线上一动点，且在直线AB的下方，过点P 试卷第1页，共3页 作PQ⊥AB于点Q.请问线段PQ的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不 存在，说明理由； (2)如图2，在二次函数y=-(x-h)2(h为常数)中，当1≤x≤4时，函数y有最大值为-4， 求h的值. 3.如图0，在平面直角坐标系中，直线=-2+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛 物线y=ax2+bx+c经过点B和点C,与x轴交于另一点A-2,0). 图① 图② (1)则二次函数表达式 (②)如图②，点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m,过点P作PQ⊥BC于 点Q,连接PC. ①求PQ的最大值； ②当△PQC中某个角的度数等于∠ABC的2倍时，请直接写出此时m的值； 回当m<x3时，y的取值范围是≤y≤，目+女=6 ,求m的值。 4.如图，抛物线L:y=-x2+bx+3与y轴交于点A,与x轴交于点B(3,0) (1)求L的函数解析式. (2)若L上到x轴的距离为h的点有且仅有3个，求h的值. (③)连接AB,若F(xy)为直线AB上方抛物线上一点，过点F作y轴的平行线，交AB于 点Q,当点A到点F,Q的距离相等时，求F2的长. 试卷第1页，共3页 (4)若直线AK:y=kx+c(k<0)与抛物线L2:y=-x2+10x+d有且只有一个交点K,点P在 线段AK上，P的横坐标是点K横坐标的一半，且点P恰好在L上，请直接写出k的值. 5.综合与实践 如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴相交于A(-1,0),B两点，且0B=30A,与y轴相交于 点C. 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标： (2)点Q是抛物线上任意一点，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为 (③)如图2，点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接OP交BC于点H,当PH的值最大时， OH 求aBCP面积； (4)如图3，点D(4,1与动点N在直线BC上，点E(1,2)与动点M在抛物线的对称轴上，则 DM+MN+NE的最小值为， 6.如图，抛物线y= 121 4-2 x-6与直线y=x+m交于B(6,0)和C(0,-6)两点，抛物线与x 轴的另一个交点为A,连接AC,BC,P是直线BC下方抛物线上一点. VA B 图1 图2 图3 (1)求m的值； (②)如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N,求PN最大值； 试卷第1页，共3页 ③)如图2，连接P,交BC于点D,若、0=为 5,求点P的坐标， ④如图3，将OA绕点O旋转至04'，连接BH,CA,试求出CA+BA的最小值. 7.综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0,点B(3,0),与y轴交于点C,对 称轴与x轴交于点D,点P是直线BC上方抛物线上一点， D B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)在直线BC上方的抛物线上找一点P,作PG⊥BC,当PG为最大值时，求线段PD的长； (3)连接CD、CB,当LPCB=∠DCB时，求点P的坐标 (④)若点M为直线BC上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、 M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由 8.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0),B两点，与y轴交于 点C,抛物线的对称轴是直线x=之 3 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图，点P是直线BC上方抛物线上的一点，P点在对称轴右侧并且到直线BC的距离为 2√2，求出满足条件的P点坐标； (3)在(2)满足的条件下，将抛物线y=-x2+bx+c沿射线BC方向平移√2个单位长度得到 抛物线y,点E为平移后点P的对应点，点F为抛物线y上的一动点，G为x轴上一定点， 试卷第1页，共3页 ac-jo). LFGB+45°=∠OPE,请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求 解点F的坐标的其中一种情况的过程. 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y 轴交于点C0,4. B B 图1 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作PM∥y轴交BC于 点M,作PN∥x轴交抛物线于点N,点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点， 连接AE,PF,EF,当2PM+PN取得最大值时，求P点坐标及AE+EF+PF的最小值； 造物线y=产+x+c沿射线BC方向平移后经过点2,2得到抛物线y,点G 物线y上一动点，若2LCA0-∠GAB=90°，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写 出求解点G坐标其中一种情况的过程 10.如图，抛物线C:y=ax2+bx+c过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段 OE上（点B在点A的左侧)，点C,D在抛物线上.设B(t,0),当1=2时，BC=8. 图1 图2 (1)求抛物线G的函数表达式； (②)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ 试卷第1页，共3页 (3)如图2，保持1=2时的矩形ABCD位置不动，平移抛物线C使之经过点D,得到抛物线 C2:y2=ax2+dx+40,过点D的直线交抛物线C和C,于点M,N(点M,N均不与点D重合)， 设点M的横坐标为m,设点N的横坐标为n,请求出m-1的值. 11.如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且图象经 过点(-1,6)，（2，-6，连接AC M B (I)求a,b的值. (2)点D是x轴上一动点，过点D作DM∥y轴，交直线AC于点M,交抛物线于点E,设 点D的横坐标为m。 ①当点D在线段A0(点D不与点A,O重合)上运动时，过点E作EF⊥AC,垂足为F, 求△MEF周长的最大值及此时点E的坐标， ②当ME>3时，直接写出m的取值范围. 12.综合与探究，如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=-2, 平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6. V 备用图 (1)求此抛物线的解析式： (2)己知在x轴上存在一点D,使得△ABD的周长最小，则点D的坐标为一； (3)若点P在直线AB上，直线CP将△ABC的面积分成2：3两部分，求点P坐标， 试卷第1页，共3页 (4)点Q在直线BC上，在抛物线上是否存在点M,使AQM是以点Q为直角顶点的等腰直 角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由. 13.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点，交y轴 于点C，抛物线的顶点为T，点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为t. B 图1 备用图 (1)求b和c的值； (2)如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为H,用含t的代数 式表示线段PH与TH的长度差，并求这个长度差的最大值； (3)定义：对于抛物线上任意两点M、N,取抛物线弧MN上所有点的横坐标最大值与最小 值的差为“水平跨度”L,纵坐标最大值与最小值的差为竖直高度”h,记k=L+2h为抛物线 弧MN的“形态系数”. ①若点P在对称轴右侧，求抛物线弧CP的“形态系数”k与t的函数解析式： ②过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q（P在Q左侧)，若抛物线弧CP与抛物线弧 CQ的形态系数”之和为二时，直接写出的值. 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B(4,0)两点，交y轴 3 于点C,抛物线的对称轴为直线x=。 2 备用图 (1)求抛物线的解析式： 试卷第1页，共3页 (2)连接AC,BC,点P是BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E,作 PH⊥x轴于点H,交BC于点F,点M,N是直线AC上的两个动点（点M在点N的上方）， 且MN=VO,连接BM,PN,当PE-2BH取得最大值时，求此时点P的坐标以及 PN+BM的最小值； (③)在(2)问中PE-2BH取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移2√10个单 位长度得到新抛物线y,点P的对应点为点P,点P关于新抛物线对称轴的对称点为点Q, 点K为新抛物线y上一动点，当∠KQB+∠ABQ=45°时，请直接写出所有符合条件的点K的 坐标，并写出其中一个点的求解过程. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)对称轴为直线x=-1,a=-1 (2)t=-1+√7 (3)①y=-x2+2x+2; 【分析】(1)由抛物线的对称轴为直线x=- b 计算即可得到对称轴，再根据当x=-1时， 2a y=5,列式即可得出a的值； (2)先得到当x=0和口x=1对应的y的值，再得到二次函数图象在0≤x≤t时的增减性， 即可得到m、n的值，最后根据m-n=6列式计算即可； (3)①先将抛物线G的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减， 上加下减”，得到平移后的抛物线C,的解析式；②根据题意得到点P,Q,M,N的坐标， 进而可表示出PM,QN的长，最后根据PM=QN列式计算即可. 【详解】(1)解：抛物线的对称轴为直线x=20=-1, 2a ,二次函数y=ax2+2ax+4的最大值是5， .当x=-1时，y=a-2a+4=5, 解得a=-1; (2)解：由(1)知，抛物线的表达式为：y=-x2-2x+4, 当x=0时，y=4, 当x=t时，y=-12-21+4, :抛物线的对称轴为直线x=-1,抛物线的开口向下， :当0≤x≤t时，y随x的增大而减小， :当0≤x≤t时，函数的最大值是m,最小值是n, :当x=0时，y取最大值m,当x=t时，y取最小值n, 即4=m,-t2-2t+4=n, :m-n=6, ∴.4-（--21+4=6， 解得t=-1+√7，，=-1-√7（负值舍去)， 答案第1页，共2页 .t=-1+V7; (3)解：①y=-x2-2x+4=-(x+1)+5, 则C2:y=-(x+1-2)2+5-2=-(x-1)2+3=-x2+2x+2, ②解：由题意点P(b,0)(b<0),则点0(b,-2b-4),Mb,-b2-2b+4),N(b,-b2+2b+2) ， ∴PM=-b2-2b+4-0=b2+2b-4, 0N=-2b-4+b2-2b-2=b2-4b-6, 当PM=0N时，即b2+2b-4=b2-4b-6, 解得b=-或b-1-或6-1+（不合题意，舍去）。 3 2 2 当8所点的坐为0 2.(0)0y=r2-2+1,@9 8 (2)h=-1或h=6 【分析】(1)①根据抛物线对称轴得h=1,再将点A代入抛物线解析式，即可求得抛物线 得表达式： ②过点P作PM∥y轴交AB于点M,过点A作AN⊥y轴交y轴于点N,先证得aBNA是等 腰直角三角形，进而证符△MOP是等腰直角三角形，推出P吧=5PM,利用待定系数法 2 求得直线AB的解析式，设P(a,a2-2a+1,M(a,a+1),表示出PM的长度表达式，此时 该表达式为开口向下的二次函数，有最大值，通过最后代入即可求得结果； (2)先得出二次函数的对称轴和顶点坐标，再分情况进行讨论h的变化，从而求得结果. 【详解】(1)解：①：抛物线y=a(x-h)的对称轴为x=1, .h=1, 又抛物线经过点A3,4, “将点A代入抛物线解析式，得：4=a×3-1)2, 解得a=1, 答案第1页，共2页 ∴.抛物线表达式为y=（x-1)=x2-2x+1: ②如图，过点P作PM∥y轴交AB于点M,过点A作AN⊥y轴交y轴于点N, M 令x=0,则y=(0-1)2=1, B(0,1, A3,4, .BN=yA-Y8=3,AN=X=3, .△BNA是等腰直角三角形， ∠NBA=∠NAB=45°， :PM∥y轴， .∠NBA=∠BMP=45°， .△MQP是等腰直角三角形， :ro-pM. 2 设直线AB的解析式为y=+b, 1=b k=1 将点A,B代入得： 4=3张+b解得6=1 .直线AB的解析式为y=x+1, 设P(a,a2-2a+1,则M(a,a+1,其中0<a<3, pw=wn-a1-+2a-w4g-e-+? 当a时、w 答案第1页，共2页 .Po.-p 2 248 (2)解：：二次函数y=-(x-h)的对称轴为x=h,顶点坐标为h,0), 此时分情况讨论： ①如图， X=4 若h<1,则当1≤x≤4时，y随x的增大而减小， .当x=1时函数取得最大值y=-4,即-(1-h)=-4, 解得h=-1,h,=3（舍去) ②如图， x=1x=h x=4 若1≤h≤4，则函数y的最大值为0， .与函数y的最大值为-4矛盾， .此情况不符合题意； ③如图， 答案第1页，共2页 x=4x=h 若h>4,则当1≤x≤4时，y随x的增大而增大， 当x=4时，函数取得最大值y=-4,即-(4-h=-4, 解得h=6或h2=2（舍去)， 综上所述，h=-1或h=6. 3.(1)y=-x2+x+3 4 (2)@95 10 @m的值为2成治。③m的值为； 【分析】(1)先求出一次函数与坐标轴的交点，再用待定系数法求二次函数的表达式即可； (2)①作PD⊥AB交AB于D,交OB于点H,先用勾股定理求出对应的边，接着运用平 行相似证明：BDIn:S0C,证明△POH∽△BDH,得△PQH∽△B0C,得到PO=25PH 5 ，然后根据当PH有最大值时，PQ取到最大值进行求解即可； ②先在在线段OB上找中点M,连接OM,利用直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半先 求出点M(2,1)和OM=√5，再结合外角性质得到∠CM0=2∠ABC,推出△PQC中某角 =2LABC=LCM0,进行分类讨论：(i)∠PCQ=2∠ABC,利用两直线平行斜率相等，分 别求出直线OM的解析式和直线PC的解析式，联立方程即可求出；(i)∠CPQ=2∠ABC, 先作OW⊥CB交CB于N,利用勾股求出MN,再利用相似得到△ONM∽aCQP,得到 签瓷子运用距将坐标公式事可宋 2+x+3配方得到顶点式，根据增减性分类讨论 【详解】I)解：：直线y三)+3与x、y轴交于点B、点C, 当y=0时，x=6,点B(6,0); 当x=0时，y=3,点C(0,3). 答案第1页，共2页 :抛物线y=ax2+bx+c过点B(6,0)、点C(0,3、点A-2,0, 36a+6b+c=0 .{c=3 4a-2b+c=0 解得：a=- 4’b=1,c=3. 二次函数的表达式为：y4产+x+3 (2)解：①作PD⊥AB交AB于D,交OB于点H, 点B(6,0),点C(0,3), 0B=6,0C=3. CB=V0B2+0C2=V62+32=35. :PQ⊥BC, ∠PQH=90°=∠BOC, :∠QPH+∠PHQ=90°=∠ABC+∠BHD, :∠PHQ=∠BHD, .∠QPH=∠ABC, ∴△PQH∽△BOC, Po_PH BO BC 器股25 PO=25PH. 当PH有最大值时，PO取到最大值， “点P在y=++3上，点H在y=43上. 4 又：点P的横坐标为m, 点rm+m点m+月 1 :点P在点H上方， pm-2m+小） 答案第1页，共2页 、1 4 2 1 :当m=3时，PH有最大值为〉 ·2的最大值为：2V 5 *PH=96 10 y ②PQ⊥BC, f .∠PQC=90°. :△PQC中某角=2LABC, .分情况讨论：(i)∠PCQ=2∠ABC;(ii)∠CPQ=2∠ABC. 在线段CB上找中点M,连接OM, :∠C0B=90°， :.OM=CB, 3 .OM =MB, .∠OBM=∠MOB, .∠CM0=2∠ABC. :由(2)①可得CB=35, sow5. :B(6,0)、点C(0,3), M 情况(i):∠PCQ=2∠ABC, B 答案第1页，共2页 :∠CM0=2∠ABC,∠PCQ=2∠ABC, :CPIOM. :设直线OM的解析式为：y=kx(k≠0)， 代入点》得-号即k=立 :直线OM的解析式为：y=2· 1 :设直线PC的解析式为：y=kx+t(k≠O), 代入点Pm子m+a+3小做CQ, 1 得： mk+t=-三m2+m+3 4 t=3 1 整理得：mk=-。m2+m. 4 又：m≠0， 1 =4m+1. CPOM, :k=k=2 1 m+1分解得n=2. 情况(ii):∠CPQ=2∠ABC, 作ON⊥CB交CB于N. 0B0C=1 1 Secom2 .CB.ON 2 0B=6,0C=3,CB=35, :0N=OB0C=6x3_6N5 CB 355 RtAOMN ）3 :MN=OM2-ON2 2（ 65 95 5 10 答案第1页，共2页 9W5 10-3 OM :点Pm, +m+3 1 点C(0,3), :由(2)可得PH= m PO=215 PH. 4 2 P= 25 1 3 5 m2+ m 4 2 :在△ONM和COP中， ∠OMN=∠CPQ ∠OWM=∠CQP=90°' :.△ONMCOP MN OP 3 OM PC5' .Op 25-1m+m -m 4 2 3 PC 4Vm-4)+16 m .11m2-168m+432=0, 168±V1682-4×11×432168±96 ∴.m= 2×11 22 .m=12或m= 36 11 :点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m, .0<m<6, 36 m=1 “综上m的值为2或36 11 答案第1页，共2页 M ③对函数y=-x+x+3配方： 4 B 1 y=- x2+x+3= 4x-22+4, 顶点为2,4)，当x=2时，ymax=4. 当点在对称轴x=2的左边时，y随x的增大而增大； 当点在对称轴x=2的右边时，y随x的增大而减小. 当=1时与：=时，y值扫等，都为空。 分情况讨论： 情况(i):当m<1时，m在对称轴x=2的左边， :t≤y≤t2, .2=ymax=4. 6,得-4-5 :由+5=119 16 16 当时，y=总代入西数行：-244 4 16 翔将m=2社号印网名（舍此 7 1 2 情况(ii):当1≤m≤2时，m在对称轴x=2的左边， 六此时5=y=4,最小值(=4， 15 5+6=4+5=3引+9，不符合题意， 44*16 情况(ii):当2<m≤3时，m在对称轴x=2的右边， 此时最小值4-？ 5=1191559 16416' 8代入函数有：m-24= 59 当x=m时，y= 16 解得：m=4±V5 2 (舍)， 答案第1页，共2页 综上m=2 1 4.(1)y=-x2+2x+3 (2)h=4 (3)FQ=2 ④=月 【分析】(1)将点B(3,0)代入抛物线L:y=-x2+bx+3求解即可； (2)结合图形即可判断： (3)过点A作AC⊥FQ于点C,求出直线AB的解析式，并利用FQ∥y轴，得出点F和点 Q的纵坐标，再利用FC=CQ,列式求解即可； (4)利用直线AK:y=kx+c(k<0)过点A(0,3),求出c=3,联立y=kx+3k<0)和 y=-x2+10x+d,得x2+(k-10x+(3-d)=0,利用两函数图象有且只有一个交点K,求 出点K的横坐标，利用P的横坐标是点K横坐标的一半，求出点P的横坐标，利用点P在 线段AK上，且点P恰好在L上，列式求解即可. 【详解】(1)解：将点B(3,0)代入抛物线L:y=-x2+bx+3, 得0=-32+3b+3, 解得b=2, .L的函数解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：由y=-x2+2x+3=-(x-1)+4得抛物线的顶点坐标为1,4)， :若L上到x轴的距离为h的点有且仅有3个， 且当0<h<4时，L上到x轴的距离小于4的点有且仅有4个：当h>4时，L上到x轴的 距离大于4的点有且仅有2个；当h=4时，乙上到x轴的距离等于4的点有且仅有3个， .h=4: (3)解：如图，过点A作AC⊥FQ于点C, 答案第1页，共2页 B 当x=0时，y=-x2+2x+3=3, A0,3, 设直线AB的解析式为y=mx+n(m≠O), 将A0,3,B3,0)代入，得 n=3 3m+n=0' m=-1 解得 n=3, 直线AB的解析式为y=-x+3, :Fxy为直线AB上方抛物线上一点， y0=-x02+2x0+3, :FQ∥y轴， 点Q的横坐标xo=x, 点Q的纵坐标yo=-x,+3, :AF=AQ,AC⊥FQ, :FC=CO,yc=y=3, -x02+2x+3-3=3--x+3, 解得：x。=0(舍)或x=1, .F0=-x2+2x0+3-(-x0+3)=-x,2+3x0=2; (4)解：：直线AK:y=x+ck<0)过点A0,3), c=3, 联立y=kx+3k<0)和y=-x2+10x+d, 答案第1页，共2页 得-x2+10x+d=+3,即x2+(k-10)x+(3-d)=0, :直线AK:y=kx+c(k<0)与抛物线L2:y=-x2+10x+d有且只有一个交点K, x2+k-10)x+(3-d=0的△=0， :点K的横坐标为x(=6生610-长， 2a 2 ·P的横坐标是点K横坐标的一半， 10-k .Xp= 4 :点P在线段AK上，且点P恰好在L上， =k×10+3= 10-k) +2×10-k+3, 4 4 4 化简得3k2-28k-20=0, 解得k=10(不满足k<0,舍)或k=- 3 做子 【点晴】直线与抛物线只有一个交点即两函数联立得到的关于自变量的一元二次方程的解有 且只有一个. 5.(1)y=x2-2x-3;顶点坐标(1,4) (2)点0的坐标为(-2,5)或(1,4) 62 8 (4√58 【分析】(1)待定系数法求解析式，二次函数顶点解析式求顶点坐标； (2)分两种情况进行讨论，求出直线解析式，然后联立求交点坐标； C3)过点P作P18OC,交BC于点1，证明：HOC&HP1,当P的值最大时， PH的值 最大，表示出P的最大值，即可求出三角形的面积； (4)令抛物线对称轴与直线BC交于点G,过点G作GH⊥BC,过点G作GK⊥GE,在射 线GK上截取GE'=GE,连接DE',交抛物线对称轴于点M,交GH于点N',连接NE, 过点E'L⊥BC于点L,利用角平分线得出线段和最小值的情况，然后利用勾股定理进行求 答案第1页，共2页 解。 【详解】(1)解：A-1,0,0B=30A, B(3,0, 将A-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3得， [a-b-3=0 9a+3b-3=0 a=1 解得 b=-2 y=x2-2x-3, y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .顶点坐标(1,4； (2)解：①如图所示，此时，BQ⊥BC,交y轴于点E, ○ 由y=x2-2x-3得，C0,-3), 0B=0C=3, .∠0BC=45°， .∠0BE=90°-∠0BC=45°， ·△OBE为等腰直角三角形， .0E=0B=3, E(0,3), 假设直线BQ的解析式为y=x+b, 将E(0,3),B(3,0)代入解析式得， 答案第1页，共2页 「b=3 3k+b=0 「b=3 解得 k=-1 .y=-x+3, 联立 y=-x+3 y=x2-2x-31 x=3 x=-2 解得 或{ y=0 y=5 .0(-2,5): ②如图所示，此时，BQ⊥BC, E .C2∥BQ, 假设C2的解析式为y=-x+b, 将C0,-3代入y=-x+b得， b=-3, .y=-x-3 联立 y=-x-3 y=x2-2x-31 「x=0「x=1 解得y=-3或=4 或{ 2(1,-4: 答案第1页，共2页 综上，点0的坐标为-2,5)或(1,4： (3)解：如图所示，过点P作PI∥OC,交BC于点I, .:∠HOC=∠HPL,∠HCO=∠HIP, .△HOC∽△HPI, .PH IPIP OH OC 3 当P的值最大时， PH 的值最大， OH 假设直线BC的解析式为y=k2x+b2, 将C0,-3),B(3,0)代入解析式得， [b2=-3 3k2+b,=0 b=-3 解得，=1’ y=x-3, 假设Px,x2-2x-3,则1(x,x-3, -3-2--f= 当x=时，P的值最大，最大值为 9 5aeP63-0- 19 8 (4)解：如图所示，令抛物线对称轴与直线BC交于点G,过点G作GH1BC,过点G作 GK⊥GE,在射线GK上截取GE'=GE,连接DE',交抛物线对称轴于点M,交GH于点 N',连接NE,过点E作E'L⊥BC于点L, 答案第1页，共2页 A :△OBC为等腰直角三角形， .∠0CB=45°， .LEGB=∠EGH=∠HGK=∠E'GL=45°，△E'GL为等腰直角三角形， 又GN'=GN', aGN'E'≌aGN'ESAS), .N'E=N'E',且存在MW'=MN,N'E=NE, DM+MN+NE的最小值为线段DE'的长度， E(1,2), 当x=1时，y=1-3=-2, G(1,-2, .GE'=GE=2+2=4, .GL-EL-EGsin LEGL-4x2 2 G(1,-2),D(4,1, “由勾股定理得DG=V4-1)2+(1+2)2=3V2, .DL=DG+GL=3V2+2√2=5√2， 由勾股定理得DE'=√E'Z+DL2=√8+50=√58， 即DM+MN+NE的最小值为VS8. 6.(1)m=-6 。 ②4 答案第1页，共2页 o 【分析】(1)利用待定系数法求得m即可； (2)由(1)知直线BC的解析式为y=x-6,可设点Pa,40 a,1a2_1a 2a-6, 且点 N(a,a-6),则PN=a-6- 求解即可； 3)结合已知可得0C=6=5,则D点纵坐标为18 进一步得出点D的坐标，再求 出点A的坐标，然后求出AD的解析式，然后联立AD的解析式和抛物线解析式即可求出点 P的坐标. （④)在x绪取点户、使0P-号造接p.C,证明P:0,可得P=号B,从 而得到CA+名BA=C4+4P≥CP,即可求解。 3 【详解】(1)解：：抛物线y=4一 -121 x-6与直线y=x+m交于点C(0,-6, .-6=0+m, 解得m=-6; (2)解：由(1)知直线BC的解析式为y=x-6, :P是直线BC下方抛物线上一点 121。 :设点Pa4a-2a-6: 4 :过点P作PN平行于y轴交BC于N, 点N(a,a-6, 么，pN=-6-06 =a-6-1a2+ -a+6 4 2 1 3 =-二a2+-a 4 2 =a-+ 4 则是大位为？， (3)解：点C(0,-6, 答案第1页，共2页 .0C=6, :0=2 ABtYD 3 SABC ABOC 2 是冬邻w 18 则D点纵坐标为 5 :点D在直线BC上， .x-6= 5’解得x=2 18 则点D218 (55 :抛物线y=4 一2-6与轴交于点A和点B, 121 .0= 4 2-6,解得x=-4,5=6, 12 点A-4,0, 设AD的解解析式为：y=+b, 0=-4k+b 则181 5=5 k+b' 9 k=一 16 解得： 9 b=- 4 则4D的解解析式为：y=-9x-9 164 99 y=- 16-4 联立 --6 x=-4 x-i5 4 解得： y=0 或 y=- 2791 64 则P 64 (解：左x错取点卫，俊0P-骨连接.GP,女图， 答案第1页，共2页 B x 由旋转的性质得：0A'=0A=4, 8 .OP =3-2, 0A'43 0B=6, 0A' OB 0A'0P2 OB 0 =3 :∠A'OP=∠B0A', .△A'0P∽△B0A', :420姓2 A8=0B=3 即AP=名AB, 3 CA+2BA=CA+AP≥CP, 3 :Cp=0c2+0p8=297, 3 :C1+号B的最小值为号57。 【点晴】本题主要考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，二次函数 的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，正确作出辅助线是解题的关键， 7.(1)y=-x2+2x+3 (2229 4 ③)点P的坐标为3g) 720 ④存在，点M的坐标为[)5,3-可或-5,3+5)或4-). 【分析】(1)将点4(-1,0)，B3,0)代入y=ax2+bx+3,即可求解： (2)过P点作PH∥y轴交BC于点H,连接PD,先求出直线BC的解析式为y=-x+3, 答案第1页，共2页 设P化，-+21+3)，则H,-+),则S-=)×BCxPG=)×BOxPH,可得 2 00-+,当-时，PG有最大位3.师可求解， P (3)作D点关于直线BC的对称点F,交BC于点E,连接CF,过点F作x轴的垂线交x轴 于点H,则F在直线CP上，分别求出DE=√2，DF=2√2，则FH=DH=2,可知H点与 B点重合，F3,2),用待定系数法求出直线CF的解析式为y=x+3,联立方程组 3 y=-5x+3 720 3 ,即可求P 399 y=-x2+2x+3 (4)设M(m,-m+3),N(x,y),DL,0),C(0,3),分三种情况讨论：①当CD为菱形对角 线时，CM=DM;②当DM为菱形对角线时，CD=CM;③当CM为菱形对角线时， DM=CD 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A-1,0),点B(3,0), 「a-b+3=0 9a+3b+3=01 a=-1 解得6=2 .抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：如图1，过P点作PH∥y轴交BC于点H,连接PD, D 图1 令x=0,则y=3, .C(0,3), 设直线BC的解析式为y=kc+b, 3k+b=0 b=3, 答案第1页，共2页 [k=-1 解得6=3' ∴y=-x+3, 设P(t,-12+2t+3),则H(,-1+3), PH=-12+31, C(0,3),B3,0), .BC=3V2, 5wwexBCx PGxBOxPH 1 PG×3V2=3(-2+3), .'.PG=- V2,3292 t 2（2 8 :点P是直线BC上方抛物线上， .0<t<3, :当=时，PG有设大恤5时P: :二次函数y=-x2+2x+3对称轴与x轴交于点D,且二次函数y=-x2+2x+3的对称轴为直线 2 =1 2×(-1 .D1,0), :PD= 居传可婴 4 :当PG为最大值时，线段PD的长V229 (3)解：：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ·抛物线的对称轴为直线x=1, D1,0), 作D点关于直线BC的对称点F,交BC于点E,连接CF,过点F作x轴的垂线交x轴于点 H, 答案第1页，共2页 ·∠DCB=∠FCB, D B 图2 ∠PCB=∠DCB, .∠FCB=∠PCB, .F在直线CP上， 0B=0C, :∠CB0=45°， :DE=BE, :BD=2, :.DE=2, DF=2√2， ∠EDB=45°， .FH=DH=2, H点与B点重合， .F3,2), 设直线CF的解析式为y=kx+b', b=3 3k'+b=2' 解得 b=3 1 y=3+3, 1 y=- 联立方程组 3t*3 y=-x2+2x+3 答案第1页，共2页 7 x= 3或 x=0 解得201 y=3 (舍)， y= 9 3》 (4)解：存在点M和点N,使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设M(m,-m+3),N(x,y),D1,0),C(0,3), ①当CD为菱形对角线时，CM=DM, .m2+m2=(m-1)2+(0m-3)2, 解得子 w店，3： ②当DM为菱形对角线时，CD=CM, 10=m2+m2, 解得m=±√5， M(5,3-√5)或(-5,3+√5)； ③当CM为菱形对角线时，DM=CD, ∴10=(m-1)2+(m-3)2, 解得m=4或m=0（舍)， M(4,-1): 综上所述：M点的坐标为 53-)5.3+我- 8.(1)y=-x2+3x+4 (2)P的坐标为2,6) (3)(-1+V5,35+2或(6，-23)，过程见解析 【分析】(1)利用待定系数法求出函数解析式即可； (2)设P(m,-m2+3m+4),则K(m,-m+4),根据PK=yp-yx列方程求出m的值即可求 出答案； (3)根据二次函数图象的平移、锐角三角函数、一次函数的图象和性质进行解答即可， 答案第1页，共2页 3 【详解】(1)解：：抛物线的对称轴是直线x= 6 3 ·-2x-1)2’ 解得b=3, 把点A-1,0)代入抛物线y=-x2+bx+c得0=-(-1)2+b×(-1)+c, 即c-b=1, .c-3=1,解得c=4, 则抛物线的表达式：y=-x2+3x+4. (2)解：过点P作PH⊥BC于点H,作PM⊥x轴于点M,交BC于点K. 410 MB八衣 0B=0C=4, .∠0BC=45°. :PH⊥BC,PM⊥x轴， .∠PHK=∠KMB=90°. 又：∠PKH=∠MKB, .LHPK=45°. PH 在Rt△PHK中，∠PHK=90°，cos∠HPK= PK ..PK = PH =4 c0s45° B(4,0),C(0,4), .BC:y=-x+4, 设Pm,-m2+3m+4,则K(m,-m+4, PK=yp-yx=-m2+3m+4+m-4=4, .m2-4m+4=0, 答案第1页，共2页 .m1=m2=2, P的坐标为2,6). (3)将抛物线y=-x2+bx+c沿射线BC方向平移√2个单位长度得到抛物线y, 即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度， 则y'=-x+1)2+3(x+1+4+1=-x2+x+7, 过P作PW⊥y轴交y轴于点W, 如图点P沿射线BC方向平移至点E,所以∠EPW=∠CB0=45°， VA B 图a 图b :∠FGB+45°=∠0PE,∠0PE=∠0PW+∠WPE=∠0PW+45°， .∠0PW=∠FGB,P的坐标为2,6， .tan∠FGB=tan∠OPW=3. .直线GF:y=3x+5(如图a)或y=-3x-5(如图b), 点F为直线GF与抛物线y的交点， .-x2+x+7=3x+5或-x2+x+7=-3x-5, 解得：x=-1+V5,x2=-1-V5(舍去)或x=6,x4=-2(舍去)， 点F的坐标为：-1+3,33+2)或(6，-23 90=444 答案第1页，共2页 (22271 2 -7+V1933+3V193 -1+V24121+3V241 (3)G 16 4 16 【分析】(1)把点B(4,0),C(0,4)代入y=- 式+bx+c,求解即可： (2②》求出对称结为直线x=1,直线BC的解析式为=+4，设P++4 M-x+4到，N2-x+44得PM= 二x2+2x,PN=2x-2,得 2PM+PW=--3+7,得当2PW+Pw有最大值时P3引 作点P关于y轴的对称点 C,连接B0,F0,BE,得B0=2I, 2 PF=FO,AE BE,AE EF +PF =BE+EF+FQ≥BQ,得当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时，AE+EF+PF=BQ ，AE+EF+PF取得最小值V22I, 2； (3)由y=-x2+x+4,求出4-2,0)，得04=2,0B=0C=4,由平移求出 2 -x++号作a40C关丁直线C份对称iC,作GICH交y于点G,4G交 y轴于点E,过点H作HI⊥x轴于点I,过点C作CJ⊥HI于点J,可得 2∠CA0-∠G,4H=90,符合题意.证明AA1 dw.HJC,得W-C_CH-4=2,设 ALHⅢAH2 H(s,)(s<0,t>0),则A1=-2-s,H1=t,由四边形0CJⅡ是矩形，得 16 S=- 5 168\ CJ=0I=-S,1J=0C=4,.HJ=4-t,求出 ,得H 5’5 ,设直线CH解析式 8 t= 5 为y=m+4,求出-子直线C的解折式为y子+联立x++号 3 24 2 解得x=-7+93 得G -7+V1933+3W193 3 ,设点E关于 4 16 韵对称点为FQ-引直线的解折式为=子联立为 -1+V24121+3V241 4 16 【详解】(1)解：把点B(4,0),C(0,4)代入y=- r++e 答案第1页，共2页 1 0= ×42+4b+c 得 2 4=c b=1 解得 c=4 脱物线的解析式为y7+x+4 《2)解：y=)x+x+4=- x-+ 对称轴为直线x=1, C(0,4), 设直线BC的解析式为y=+4, B4,0), .4k+4=0, 解得k=-1, .y=-x+4, 则14，N2-++4小 .PM=- x2+x+4-(-x+4)=- 1x+2x,PN=x-(2-x=2x-2, :2PM+PN=2-x2+2x+2x-2=-2+6x-2=-x-32+7. 、2 :-1<0, .当x=3时，2PM+PN有最大值， 作点P关于y轴的对称点Q,连接BQ,FO,BE, 则BQ= 4+3) V221 2 PF =FO, :点A,B关于对称轴对称， :AE BE, .AE EF +PF BE+EF+FO2BO, 当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时，AE+EF+PF=BQ, 答案第1页，共2页 AE+EF+PF取得最小值V22I N 1 (3》解：对y=2+x+4, 令0，则+x+40 解得x=-2或x=4, A-2,0), B4,0),C(0,4), 0A=2,0B=0C=4, :抛物线y=- 气x+x+4上x-1+沿射线BC方向平移后经过点2,2)得到抛物线V了 2 :设能物线-号+十4--广+号向左于移d个单位长度再上半移日个登长度 经过点(2,2)得到抛物线y, 9 2+d, 把2,2)代入， 得2=-2-1+d2+9+d, 9 2 2 解得d=±2， 取d=2, y=x+号 :2∠CA0-∠GAB=90°， :作△AOC关于直线AC的对称△AHC,作AG,ICH交y于点G,AG,交y轴于点E,过 点H作HI⊥x轴于点I,过点C作CJ⊥HI于点J, 答案第1页，共2页 则∠AHC=∠AOC=90°，∠CAO=∠CAH,OA=AH=2,OC=CH=4, ∠0AH=2∠CAO,∠G,AH=180°-∠AHC=90°， :∠OAH-∠G,AB=∠GAH, :2∠CA0-∠G,AH=90°，符合题意. :∠1=∠J=90°， LCHJ+LHCJ=90°， :∠CHJ+∠AHI=90°， .∠AHI=∠HCJ, △AIH∽aHJC, .WC_CH-4=2, AIHⅢAH2 设Hs,(s<0,t>0), 则A1=-2-S,HI=t, L1=∠J=∠C01=90°， .四边形0CⅡ是矩形， .CJ=01=-s,J=0C=4, .HJ=4-t, 4-t=2(-2-s -s=2t 16 s25 解得8 =5 引 设直线CH解析式为y=mx+4, 16 则5m+4=5 解得m=4' 3 设直线4G的解所式为y=子+a, 答案第1页，共2页 则2×-2+n=0, 解得子， :直线4G,的解析式为y=x+ 33 联立得+妒+343 x+ T242’ 解得x=7+93或=-7-93（舍去， 4 4 G -7+1933+3V193 4 16 33 对y=X+2' 4 令x=0,则y 2, 3 设应E关于轴的天卷点为FQ》 直线AF的解析式为y=er-3 则-2e-3=0, 2 es、3 4 y=- 33 4x-2 联立得x++-子-3 = x- 242 解得x=1+24或x=-V24 (舍去)， 4 G -1+√24121+3V241 4 16 综上，G-7+i93+3193） 4,16 ，G2 -1+V24121+3V241 4 16 答案第1页，共2页 B D G 【点晴】第(2)作轴对称图形，构建最短路径模型；第(3)小题，作轴对称图形，构建相 似三角形. 100y--5x (2)1=3,29 (3)10 【分析】(1)易得抛物线过点(2，-8)，待定系数法求出函数解析式即可； (2)用含t的代数式表示BC的长，对称性求出CD的长，根据矩形的周长公式，列出二次 函数求最值即可； (3)求出D点坐标，待定系数法求出平移后的解析式，设经过点D的直线解析式为 y=k(x-8)-8=kx-8k-8,分别联立直线和两个抛物线的解析式，求出m,n,再进行求解 即可 【详解】(1)解：：矩形ABCD, BC⊥OE, 当t=2时，B(2,0), BC=8, .C(2,-8, 又：抛物线过点O(0,0),E10,0)和C(2,-8), [c=0 c=0 100a+10b=0,解得a=2 1 4a+2b=-8 b=-5 答案第1页，共2页 y=5x2-5x; 2 (2)解：由(1)知：y=x2-5x, 2 -5 ·抛物线的对称轴为直线=一 =5 1 2× 2 :B(t,0), 矩形ABCD, .CD∥AB, .点C,D关于对称轴对称， a10-4-到： :BC=56-2,CD=10-1-4=10-21, 、 :矩形ABCD的周长为2(BC+CD)=-t2+6t+20=-(t-3)2+29, 当t=3时，矩形ABCD的周长最大为29； (3)解：：t=2, C(2,-8),D(8,-8), :y=x2-5x, 2 1 ∴.a= 2' 日平移后的抛物线的解析式为C,2)r+dc+40 把D(8,-8)代入，得2×64+8d+40=-8,解得d=-10, .y= 5x2-10x+40y 设经过点D的直线解析式为y=k(x-8)-8=kx-8k-8, y=-8k-8 「x=8 x=2k+2 张-护-x潮药 8 y=2k2-6k-8 .m=2k+2, 答案第1页，共2页 y=x-8k-8 x=8 [x=2k+12 联立 或 =2-10x+40’解特1y=一-8y=2k2+4-8 .n=2k+12, .m-1=|2k+2-2k-12=10. 11.(1)y=-x2-3x+4 (2)①。MEF的周长的最大值为41+√2)，此时点E的坐标为(-2,6)；②m的取值范围为 m<-2-√万或m>-2+√万或-3<m<-1 【分析】(1)把点(-1,6)，（2，-6)代入y=ax2+bx+4,再进一步求解即可. (2)①求出C(0,4),再利用待定系数法得出直线AC的解析式为y=x+4,由题意可得 Dm,0,M(m,m+4),Em,-m2-3m+4,∠ADM=90°，则ME=-m2-4m,证明 △MEF为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出∠MEF=∠EMF=45°，从而可得△MEF为 等腰直角三角形，求出△MEF周长为： EM+√2EM=-(1+V2)(m+2+41+√2)，再由二次函数的性质即可得出结果； ②由①可得M(m,m+4),E(m,-m2-3m+4,则ME=m2+4m,结合题意可得 m2+4m>3,从而得出m2+4m>3或m2+4m<-3,分别求解即可得出结果。 【详解】(1)解：：二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点(-1,6)，(2，-6)， a-b+4=6 六4a+2b+4=-6 a=-1 解得： b=-3' 抛物线的解析式为y=-x2-3x+4. (2)解：①在y=-x2-3x+4中，当x=0时，y=4,即C(0,4), 当y=0时，-x2-3x+4=0, 解得：x=1,x2=-4, .A-4,0,B(1,0, 答案第1页，共2页 设直线AC的解析式为y=kx+bk≠0)， -4k+b=0 b=4 k=1 解得： b=4’ .直线AC的解析式为y=x+4, :点D是x轴上一动点，过点D作DM‖y轴，交直线AC于点M,交抛物线于点E,设点 D的横坐标为m Dm,0),M(m,m+4,Em,-m2-3m+4),∠ADM=90°， ME=-m2-3m+4-m+4=-m2-4m, :A-4,0),C(0,4), .0A=0C=4, .∠0AC=∠0CA=45°， .△ADM为等腰直角三角形， .∠AMD=∠MAD=45°， .LEMF=LMEF=45°， EF⊥AC, .△MEF为等腰直角三角形， EF-FM(m-4m) △MEF周长为： EM+EF+FM=EM+V2EM=1+V2)-m2-4m)=-1+V2)(m+2}2+41+V), :-1+V2<0, :当m=-2时，周长的最大值为41+V2), 此时-m2-3m+4=-（-2)-3×(-2)+4=6, ·△MEF的周长的最大值为41+√2)，此时点E的坐标为(-2,6)： ②由①可得：M(m,m+4,E(m,-m2-3m+4), 答案第1页，共2页 .ME=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m, :ME>3, ：-m2-4m=m2+4m>3, .m2+4m>3或m2+4m<-3, .m2+4m-3>0或m2+4m+3<0, 当m2+4m-3>0时，可得：m<-2-√7或m>-2+√7， 解m2+4m+3<0时，可得：-3<m<-1, 综上所述，m的取值范围为m<-2-√万或m>-2+√万或-3<m<-1. 【点晴】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合一周长问题，等腰三角形的判定与 性质，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 12.(1)y=x2+4x+2 a(g (3)P的坐标为(-2,4)或(-3,5) (④)在抛物线上存在点M,使AOM是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为 (0,7)或 或(7,7) 【分析】(1)由对称轴直线x=-2,以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析 式 (2)如图1，作点A(0,2)关于x轴的对称点为点，连接AD,A'B,A'B交x轴于点D,则 AD=A'D,A'(O,-2),此时AD+BD取得最小值，则此时△ABD的周长最小，再求出直线 A'B解析式，即可求解； (3)求出直线AB解析式为y=-x+2,设直线1与AB交于点P,如图2，过P作PH⊥y轴， 垂足为H,设BC与y轴交于点S,则PH∥BC,则BS=5,可得△APHn△ABS,然后根据 直线CP将ABC的面积分成2：3两部分，可得AP:AB=2:5或AP:AB=3:5,即可求解： (4)设点Q的坐标为s,7),设BC交y轴于点K,则AK=5,分四种情况，通过证明三角 形全等，求出M的坐标，再代入即可求解. 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A0,2),对称轴为直线x=-2, b =-2 将点A的坐标代入，结合对称轴公式得： C=2 [b=4 解得： c=2' :抛物线的解析式为y=x2+4x+2: (2):对称轴为直线x=-2,BC=6, ·点B横坐标为-5，C横坐标为1. 把x=1代入抛物线解析式y=x2+4x+2得：y=7, B(-5,7),C1,7). 如图1，作点A0,2)关于x轴的对称点为点A,连接AD,A'B,A'B交x轴于点D,则 AD=A'D,A'0,-2, 图1 此时AD+BD取得最小值，则此时△ABD的周长最小， 设直线A'B解析式为y=kc-2,将点B的坐标代入得：7=-5k-2, 解得：及=号 9 直线48解析式为y=号x-2, 9 当y0时，3-2=0， 解得：x=-10 9, 答案第1页，共2页 :点D的标为-g0 故答案为： (3)解：由(2)得：A(0,2,B(-5,7, 设直线AB解析式为y=kx+2, .7=-5k+2,解得：k1=-1, :直线AB解析式为y=-x+2, 设直线I与AB交于点P,如图2，过P作PH⊥y轴，垂足为H,设BC与y轴交于点S,则 PH∥BC,则BS=5, B △APH∽△ABS, x 图2 .PH AP ”BSAB' :直线CP将ABC的面积分成2：3两部分， :AP:PB=2:3 AP PB=3:2, .AP AB=2:5AP:AB=3:5, :BS=5, P4-或P明-3 55 551 PH=2或PH=3, :点P的横坐标为-2或-3， 把x=-2代入y=-x+2得：y=4, 此时P(-2,4): 把x=-3代入y=-x+2得：y=5, 答案第1页，共2页 此时P(-3,5), 综上所述，点P的坐标为-2,4)或(-3,5)； (4)在抛物线上存在点M,使AQM是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐 标为(0,7)或 15+V65 -15-V65 或 .7 或(7,7，理由如下： 2 2 设点9的坐标为s,7), 设BC交y轴于点K,则AK=5, 根据题意得：AQ=MQ,∠AQM=90°， 如图3，过点M作MN⊥BC于点N,则∠AKQ=∠QNM=90°，此时OK=-s, ∴.∠AQK+∠KAQ=90°=∠AQK+∠MQN, 图3 ∴.∠KAQ=∠MQN, 在aAQK和△QMN中 ∠KAQ=∠NQM ∠AKQ=∠QNM=90°， A0=OM △AQK≌△QMN(AAS, .NO=AK=5,MN=OK=-s, :NK =5-s, ·点M(s-5,7+s, 把点M(s-5,7+s代入y=x2+4x+2得：（s-5)2+4(s-5)+2=7+s, 解得：s=7(不合题意，舍去)或0， 此时点Q的坐标为0,7)： 答案第1页，共2页 如图4，过点Q作EG⊥y轴于点Q,过点M作MG⊥EG于点G,过点A作AE⊥EG于点E, 此时QE=AK=5,AE=QK=-S, A 图4 同理△AEQ≌△QGM(AAS), ..OE=GM=5,AE=GO=-s, EG =5-s, :点M(5+s,7-s, 把点M(5+s,7-S代入y=x2+4x+2得：(5+s+4(5+s+2=7-s, 解得：=15+v65或5=-15-6 ·(不合题意舍去)， -15+V65 2 如图5，过点Q作EN⊥y轴于点Q,过点M作MN⊥EN于点N,过点A作AE⊥EN于点 E,此时QE=AK=5,AE=QK=-S, N--- 图5 答案第1页，共2页 同理△AEQ≌△QNM(AAS), ∴QE=NM=5,AE=NQ=-s, EN=5-3, :点M(s+5,7-s, 把点M(s+5,7-s代入y=x2+4x+2得：（s+5)2+4s+5)+2=7-s, 解得： s=-15+V65 (不合愿意舍去)或=-15-65 2 -15-V65 如图6，过点Q作EN⊥y轴于点Q,过点M作MN⊥EN于点N,过点A作AE⊥EN于点 E,此时QE=AK=5,AE=QK=S 图6 同理△AEQ≌△QNM(AAS), ∴.QE=NM=5,AE=NQ=s, .EN =5+s, :点Ms-5,7+s), 把点Ms-5,7+代入y=x2+4x+2得：(s-5)2+4s-5)+2=7+s, 解得：s=7或0（不合题意，舍去）， 点0(7,7)： 综上所述，在抛物线上存在点M,使AQM是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q 的坐标为0,7)或 -15+V65 20,7 或(8,7)或(7,7) 答案第1页，共2页 【点晴】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次 函数性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键， 13.(1)b=2,c=3 (2)PH-TH=-2+t,4 (3)①k= 2-+212②1-或1-5- t+21<t≤2) 2 4 【分析】(1)写出交点式，求出函数解析式即可； (2)根据题意，列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； (3)①分1<t≤2和t>2两种情况进行讨论求解即可；②分0≤t<1和t<0两种情况进行讨 论求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点， .y=-(x+1(x-3)=-x2+2x+3, .b=2,c=3; (2)解：：y=-x2+2x+3=-x-1)2+4, 抛物线的对称轴为直线x=1,T(1,4), 由题意，Pt,-2+21+3,t<1,则：H1,-2+21+3, PH=1-t,TH=4-（-t2+2t+3=t2-2t+1, W-m1-t-=f--+星 当t=2时，PH-H的值最大为： (3)解：①：y=-x2+2x+3, x=0时，y=3, .C(0,3, :抛物线的对称轴为直线x=1, 点C关于对称轴的对称点为2,3)， :点P在对称轴右侧且P(t,-2+2t+3 答案第1页，共2页 当1<1≤2时，L=t,h=4-3=1, 则k=L+2h=1+2: 当t>2时，L=t,h=4--t2+21+3=t2-2t+1, 则k=L+2h=t+2t2-4t+2=2t2-3t+2; t+21<t≤2 综上：k= 22-31+2(t>2 ②：过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q(P在Q左侧)， .Q2-t,-12+21+3), 当0≤t<1时，则抛物线弧CP的“形态系数”k=1+2(-12+2t+3-3=-212+51, 抛物线弧CQ的“形态系数”k=2-1+24-3)=2-1+2=4-1, -2+5+41号解得1或1〔舍去 当t<0时，则抛物线弧CP的“形态系数”k=-t+23+2-2t-3=22-5t, 抛物线弧CQ的“形态系数”k=2-1+24+t2-2t-3=212-51+4, 2r-5+2-+4号解4：5-成5+ 上（舍去）： 4 4 1 -5-V31 综上：t=。或t= 21 4 14.0y=-3x+?x+3 9 4 4 (2)P(3,3),PN+BM的最小值31O 17382 ，过程见解析 [16a+4b+3=0 3 【分析】(1)由抛物线经过B(4,0)及对称轴为直线x=三得出{b_3,解方程组求 2 2a2 出a、b的值即可得答案； (2)先求出直线BC的解析式为y=- 3 BH=41,PF一2+31，证明PEE∽80C,得出PE-SPE, PE-2BH1-3+1,根据次函数点性顶求出P33,将4C平移至PP点A与退 P是对应点，作点B关于AC的对称点B,连接BB'、PB,根据平移的性质得出P'(4,6), 答案第1页，共2页 边形MNPp'是平行四边形，PN=PM,利用勾股定理求出D( 根据点D为 BB'的中点得出B(-5,3),即可得出当且仅当B、M、P共线时，BM+PN取得最小值， 最小值为BP'=3V10; (3)先求出新抛物线解析式为y=-3( +分君-，12-，我据 ∠KQB+∠ABQ=45°，分点K在BQ上方和下方两种情况，利用一次函数的性质、结合全等 三角形的性质分别求解即可. 【详解】1)解：抛物线y=ar+6r+3与铺交于4，B4.0两点，对称轴为直线x= [16a+4b+3=0 b3 2a2 a=- 3 解得： 4 9 b= 4 抛物线的解析式为：y=-子2+4x+3 (2)解：如图，将AC平移至PP',点A与点P是对应点，作点B关于AC的对称点B,连 接BB'、P'B', N :当x=0时，y=3, .C(0,3), 设直线BC的解析式为y=kx+b, :B(4,0), 答案第1页，共2页 4k+b=0 b=3 解得： s、3 4, b=3 :直线8C的解折式为y=+3BC=仔+4=5 设P,4 21+3(0<t<4), F6+叭Hao. 4 :OC∥PH, ∴.∠PFE=∠OCB, :∠PEF=∠C0B=90°， .PEF∽BOC, PE OB 4 六PF=BC5' PE-4PF, 5 SPE-5x4PF-4PF--44 3 35 3 PE-2BH=7+41-24-0=-1+61-8=-0-3}± :-1<0,0<1<4, 当t=3时， (5 PE-2BH 取得最大值， :-32+9+3=3x32+9x3+3=3, 9 9 4 4 4 4 .此时P(3,3), 3 :对称轴为直线x=号，B(4,0), 2 .A(-1,0), AC=V12+32=V10 设直线AC解析式为y=k2x+b2, 答案第1页，共2页 [-k2+b2=0 b2=3 k2=3 解得： b=3’ 直线AC解析式为y4c=3x+3, 将AC平移至PP',P(3,3), .PP'/AC,P'(4,6),PP'=AC=0, MN =10, .四边形MNPP'是平行四边形， :PN P'M, 设BB'与AC交于点D(m,3m+3), AD2+BD2=AB2, (-1-m)2+(3m+3)2+(m-4)2+(3m+3)2=52 解：网=分=1（与点4重合，舍去》 -53 :点D为BB的中点， .B'(-5,3), .B'p'=V-5-4)2+(3-6)2=3V10 :点B与点B关于AC的对称， :BM B'M, :BM+PN=B'M+P'M≥B'P' 当且仅当B,M,P'共线时，BM+PN取得最小值，最小值为BP=3√0 )解：引货器》下面： 如图，沿射线CA方向平移210个单位长度得到新抛物线y,过点Q作QS⊥y轴于S,QK 交y轴于R, 答案第1页，共2页 B 平移方式为向下平移6个单位长度，向左平移2个单位长度，PL,-3), 3 9 y=- 3x2+9x+3=-3-3+75 4 4 4 216 ·新拋物线解析式为y=-3( 3·N5-6=-4x+22221 (x- 4 2 16 16 :新抛物线的对称轴为直线x=一2' 1 Q(-2,-3,0S=3, 当点K在BQ上方时， :∠KQB+∠ABQ=45°， .∠AG0=45°， :∠RQS=45°，△RQS为等腰直角三角形， .RS=QS=2,OR=1,R(0,-1), 设直线QR的解析式为y=k,x+b, -2k3+b=-3 b=-1 k=1 解得： b=-1' .直线OR的解析式为y=x-1, =-3x2_3x-3 y=- 联立直线OR和新抛物线解析式得， 44 2， y=x-1 1 解得：=3名=-2（舍) 14 .K133 答案第1页，共2页 当点K在BQ下方时，过点G作GT⊥BQ于L,交QK,于T, G :∠K20B+∠AB0=45°， ∠KQB=∠KQB, QL=QL,∠QLG=∠QLT, .△QLG≌△QLT(ASA), :GL=TL, .BQ是GT的垂直平分线， :BG=BT QG=OT, :直线QR的解析式为y=x-1, .G1,0),BG=4-1=3, 设T(x,y) x-4)2+y2=32 2-对+3-=2-3-0 11 X=- 5 x2=1 解得： (与点G重合，舍去)， 12’ y3=0 5 哈导， 设直线QT的解析式为y=k4x+b4, [-2k4+b4=-3 5 答案第1页，共2页 k4= 7 解得： 19 b4= :直线Qr的解析式为y=7x- 119 71 y=-3x2-3x-3 -x- 联立直线QT和新抛物线解析式得， 442 119 7 17 X1= 解得： 龙3=-2 382 y2=-3 (与点Q重合，舍去)， 147 :货溜》 【点晴】本题是二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、 待定系数法求函数解析式、平移的性质及勾股定理，合理作出辅助线是解题关键 答案第1页，共2页