2026年中考数学一轮专题复习-二次函数压轴题（其它问题）

2026年中考数学一轮专题复习-二次函数压轴题（其它问题） 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和． (1)求该抛物线的解析式． (2)将线段平移，平移后对应点和都落在抛物线上，求点的坐标． (3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出t的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与直线的图象交于，两点，其中抛物线与轴交于点，已知． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线第四象限部分上的一点，点是坐标平面内一点（点与点不重合），过点作轴交直线于点，求出当线段的长度最大时，使以、、为顶点的三角形与全等的点的坐标． 3．如图，抛物线的顶点坐标为，与直线相交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上存在点，使直线将线段平分，求点的坐标； (3)直线上方的抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离最大？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接 (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图，点N是x轴上抛物线对称轴右侧的一动点，将点P绕点N旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 5．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)若为抛物线上一点，且恒成立，求实数n的取值范围； (3)若点E为线段上任意一点（不与端点重合），过点E作y轴的平行线交抛物线于点F，过点F作y轴的垂线交抛物线于点G，以为邻边构造矩形，设点E的横坐标为m，矩形的周长为L． ①求L关于m的函数表达式； ②若L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，请直接写出t的取值范围． 6．如图，抛物线与抛物线交于点B，过点B作x轴的平行线分别交两条抛物线于点A、C． (1)求a，m的值和点C的坐标． (2)已知F为直线上方抛物线上一点，连接．当为直角三角形时，求点F的坐标． (3)抛物线为抛物线关于抛物线的对称轴对称的抛物线，P为抛物线上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线，于点Q，H． ①求出抛物线的表达式； ②当P，Q，H其中一点为其他两点连接线段的中点时，求出点P的坐标． 7．如图；抛物线经过两点．点在轴上，其横坐标为． (1)求此抛物线的解析式． (2)将坐标原点绕点顺时针旋转得到点，当点在抛物线上时，求的值． (3)将绕点顺时针旋转得到． ①当线段与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． ②当抛物线在内的部分（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为2时，直接写出的值． 8．抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当线段最短时，求点的坐标； (3)当时，设函数的最大值为，最小值为，若，直接写出的值． 9．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，点E在直线上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)当点E在线段上，点D关于直线的对称点F恰好落在y轴上时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线上，在点E移动的过程中，当是以点P为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴负半轴相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点，E是第一象限抛物线上一点，连接，交y轴于点G，过点E作轴交直线于点F，交x轴于点H，设E点横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标； (2)当时，求的长； (3)作轴，且M点横坐标为，以为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求m的取值范围； ②当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出m的值． 11．如图，二次函数与轴交于点，点，函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，连接、，在直线上方抛物线上有一动点，过点作轴，交于点．过点作，交于点．当面积最大时，求此时点的坐标，点是直线上一动点，求此时的最小值． (3)在（2）的条件下，函数沿射线方向平移个单位得到函数．点的对应点是，连接并延长交于点，点为抛物线上的一动点，若，且满足，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 12．为庆祝贵州“四月八”民族文化节，学校计划用无人机灯光秀呈现侗族风雨桥的轮廓，其中一段核心灯光轨迹形成一条抛物线，其函数解析式为，已知该抛物线的对称轴为直线，它与代表表演场地水平面的x轴交于点和点B，与代表垂直高度的y轴交于点C． (1)求这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式； (2)为保障表演安全，工作人员需要在y轴上确定一个操控台，当时，求线段的长度； (3)为调整最佳观赏视角，需限定无人机在x取值为的范围内时，抛物线的最大值为，求的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接，．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线（）沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，当的最大值时，在抛物线对称轴上有两动点Q，R（点Q在点R的上方），当时，求的最小值． (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若，直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种情况的过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)或1 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）设，由可知，再将代入函数解析式求解即可； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， ， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：设， ， ， ， 点落在抛物线上， ， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴是直线， 若，即， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 若，即， 当时，二次函数的最小值为，不合题意，舍去； 若， 当时，二次函数的最小值为， ， 解得，（舍去）； 综上所述，t的值为或1． 【点睛】此类问题通常要根据对称轴与、t的不同位置进行分类讨论． 2．(1) (2)或或 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点、的坐标，根据抛物线的对称轴为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据点为抛物线第四象限部分上的一点，设点的坐标为，根据轴交直线于点，则点的坐标为，所以，根据二次函数的性质可知当时，有最大值，最大值为，此时点的坐标为，点的坐标为，可知，根据以、、为顶点的三角形与全等，分情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，可得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的解析式为， 把点和点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， （2）解：点为抛物线第四象限部分上的一点， 设点的坐标为， 轴交直线于点， 则点的坐标为， 可得：， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为，点的坐标为， 又点的坐标为， 轴， ， ， 如下图所示，当轴，， 则， 可得：， 此时， 点的坐标为， 点的坐标为； 如下图所示，当在轴上，时， ，轴， ， 可得：， 此时， 点的坐标为， 点的坐标为； 如下图所示，当轴，时， 则， ∴， 可得：， ， 点的坐标为， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 3．(1) (2)点的坐标为或 (3)的最大值为 【分析】本题是二次函数与一次函数的综合应用，需运用顶点式、线段中点性质、勾股定理等知识求解． (1) 利用抛物线顶点式结合已知顶点坐标确定解析式； (2) 先求线段的中点，再通过直线过中点确定其解析式，联立抛物线方程求点； (3)过点分别作轴和的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理表示边之间的数量关系，转化为二次函数最值问题求解． 【详解】（1）解：（1）抛物线的顶点为， 解得： 抛物线的解析式为 （2）（2）由题意得， 解得或， ，， 设的中点为， ， 直线的解析式为， 列方程组， 解得或， 点的坐标为或； （3）解：如图，作轴交于点，于点， 在直线上， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， ， 当时，最大为． 的最大值为． 4．(1) (2)存在，点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出的面积，再分两种情况：①当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可；②当时，设直线与轴交于点，连接，则的面积等于，建立方程，解方程即可； （3）分两种情况：①点绕点逆时针旋转得到点，②点绕点顺时针旋转得到点，求出点的坐标，代入计算即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以该抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与抛物线交于点， ∴，轴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴的边上的高为， ∴的面积为， 由题意，设点的坐标为， ∵点在直线下方的抛物线上， ∴或， ①如图，当时，设直线与轴交于点，连接， ∴， ∴，， ∴的面积为 ， ∵与的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴此时点的坐标为； ②如图1和图2，当时，设直线与轴交于点，连接， ∵， ∴在图2中，的面积为，不符合题意，舍去， ∴如图1中，的面积为 ， ∵与的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴此时点的坐标为； 综上，存在这样的点，其坐标为或． （3）解：由题意，设点的坐标为， ①如图，当点绕点逆时针旋转得到点时， 设直线与轴交于点，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得：， 解得或， ∴此时点的坐标为或； ②如图，当点绕点顺时针旋转得到点时， 同理可得：， 将点代入得：， 解得或（均不符合题意，舍去）； 综上，点的坐标为或． 5．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，则，要使不等式恒成立，则要满足，据此可得答案； （3）①求出直线的解析式为；则，，可得，由对称性可得，则；再由矩形的性质可得； ②画出L关于m的函数的图象，求出直线恰好经过点和时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵为抛物线上一点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴恒成立， ∵， ∴， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； ∵点E的横坐标为m， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线； ∵轴， ∴轴， ∴点F和点G关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ， 当时，， 当时，， ∴； ②如图所示，即为L关于m的函数的图象． 当时，， 当时，， 当时，； 当直线恰好经过点时，则， 当直线恰好经过点时，则， ∴当时，直线与L关于m的函数的图象有三个不同的交点， ∴当L取一个具体的数值t时，对应的点E有三个不同的位置，． 6．(1)；；点C的坐标为 (2)点的坐标为或 (3)①；②点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解的值，再求解点的坐标； （2）先求出点A的坐标为，当为直角三角形时，只能是，过点作于点，设点，则点，证明，再由相似三角形的性质求解即可； （3）①先求出抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，由对称，得抛物线的顶点坐标为，再根据对称前后不变，即可求解抛物线的表达式； ②可设点，则点，再分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ∴． 解得 抛物线经过点， ∴． 解得 ． 轴，点C的纵坐标为． 令． 解得． 点C的坐标为． （2）解：由（1），知． 轴，点， ∴点A的纵坐标为． ． 解得． 点A的坐标为， 当为直角三角形时，只能是， 如图，过点作于点． 设点，则点． ． ． ． ∵ ， ． ∵ ． ，即． ， ∴解得． 点的坐标为或． （3）解：①抛物线， ∴对称轴为直线 抛物线， ∴顶点坐标为 由对称，得抛物线的顶点坐标为． 抛物线的表达式为． ②过点作轴的垂线分别交抛物线于点 可设点，则点． 其中一点为其他两点连接线段的中点， 分以下三种情况： I．当为的中点时． 解得． 点的坐标为． Ⅱ．当Q为的中点时． 此种情况无解． III．当H为的中点时． 解得 点的坐标为 综上所述，当其中一点为其他两点连接线段的中点时，点的坐标为或 7．(1) (2) (3)①或，②或或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点在轴负半轴上和点在轴正半轴两种情况，进行讨论求解即可； （3）①求出旋转后点的坐标，进而求出点在抛物线上时的值，结合点在抛物线上时，点的值，即可得出结果；②分或两种情况，画出图形，确定最高点和最低点的纵坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得： ，解得， ∴； （2）解：由题意，， ①当点在轴负半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第三象限， ∴， ∴，解得（舍去）或； ②当点在轴正半轴上时，则， 由旋转可得，，点在第一象限， ∴， ∴，解得或（舍去）； 综上：； （3）解：①∵， ∴， 由旋转可得，，轴，轴，点在点的左侧，点在点上方， 由（2）可知，点的坐标为，当点在抛物线上时，， ∴，， 当点在抛物线上时，则， 解得或， ∴当线段与抛物线有公共点时，或； ②由①可知：，， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立解得或， ∴抛物线与直线的交点为和； 当时，如图，抛物线在内的部分的最高点为点，最低点的部分在边上或边上， ∴最低点的纵坐标为， 当最低点在边上时，； 当最低点在边上，则，解得或（舍去）； ∴； 当时，当抛物线在内的部分的最高点在上，即点，最低点的部分在边上时，如图， ∴此时最高点的纵坐标为8， ∴最低点的纵坐标为，即； 当抛物线在内的部分的最高点在上，最低点的部分在边上时，如图， 则最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ∴， 解得或（舍去） 综上：或或或． 8．(1) (2)点P的坐标为； (3)的值为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据点B和点C的坐标可得直线的解析式为，设，则，求得，利用二次函数的性质求解即可； （3）求出当和时的函数值，利用配方法得到顶点坐标，然后分为，，三种情况，利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵和 ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 又∵轴， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴当时，最短， ∴当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：当时，； 当时，； ， ∴抛物线的对称轴为； ①当时，即，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ②当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴最大值与最小值的差为， 解得，不符合题意舍去； ③当时，即，此时最大值为， ∴最小值为， 若，则或（舍去）； 若，则或（舍去）； 故的值为或． 9．(1)． (2)； (3)或或或． 【分析】（1）将点和点代入即可； （2）如图1，连接，，求出，设点，得到，利用勾股定理解得，即可得到答案； （3）当点P与点C重合时，或；当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J，分当点P在x轴上方和当点P在x轴下方时分类讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点， ； （2）解：如图1，连接，， 点D和点F关于直线对称， ， ，轴， ∵二次函数的对称轴为： ， ， ， 设点， ， 在中，， 解得， ； （3）解：当点P与点C重合时，或； 当点P与点C不重合时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交的延长线于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 当点P在x轴下方时，如图3，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作轴交PK于点J， ， ， 设点P的横坐标为t，则， ， ， 解得， ， ， ； 综上，符合条件的点E的坐标为：或或或． 10．(1)，， (2) (3)①；②或或 【分析】（1）求出时的函数值，求出时的自变量的值，即可得出结果； （2）求出直线的解析式，易得，，，进而求出，根据，得到，证明，得到，进而得到，求出，进而得到，即可得出结果； （3）①根据点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点，得到抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点，进而得到点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧，求出点恰好在抛物线上时的的值，即可得出结果；②分抛物线经过的中点，抛物线经过的中点或抛物线经过的中点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得， ∴，，； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得，则， ∴， 由题意，，，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意，， ∵轴， ∴， ∵点在抛物线上，矩形的边与抛物线有3个交点，边与抛物线交于点， ∴抛物线与边除了点外还有一个交点，和边有一个交点， ∴点在点的右侧，且两个点在对称轴的两侧， ∴， 当点恰好在抛物线上时，则， 解得（舍去）或， ∴当矩形的边与抛物线有3个交点时，； ②∵，，， 四边形为矩形， ∴， 当抛物线经过的中点时，如图，则点的横坐标为， ∵轴， ∴关于对称轴对称， ∴，解得； 当抛物线经过的中点时，如图， 则，即， ∴， 解得（舍去）或； 当抛物线经过的中点时，如图， 则，即， ∴， ∴解得（舍去）或； 综上：或或． 11．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将抛物线与轴的两个交点、的坐标代入二次函数的一般式，建立关于系数、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，再将求得的系数代回原一般式，即可得到二次函数的解析式； （2）先根据二次函数解析式求出抛物线与轴的交点的坐标，再利用、两点的坐标通过待定系数法求出直线的解析式，设出抛物线上动点的横坐标为参数，结合平行于轴的条件得到点的坐标，用、两点的纵坐标之差表示出线段的长度，再由平行于推出的形状固定，其面积随长度的增大而增大，将的表达式配方求出最大值对应的参数值，代入抛物线解析式即可得到面积最大时点的坐标；接下来先根据、两点的坐标求出的长度与对应角的三角函数值，利用三角函数的几何意义将带系数的线段转化为点到某条定直线的垂线段长度，再根据垂线段最短的公理，将原式转化为定点到这条定直线的垂线段长度，计算出该垂线段的长度即为所求的最小值； （3）先根据射线的方向和平移距离，确定平移后对应点的横纵坐标变化量，求出平移后抛物线的解析式和点的对应点的坐标，再通过待定系数法求出直线与直线的解析式，联立两直线解析式得到交点的坐标，随后通过构造直角三角形，利用正切值的几何意义推导角度关系，化简，得到的正切值，再分点在轴上方和下方两种情况，求出对应直线的解析式，分别将直线解析式与平移后的抛物线解析式联立，解一元二次方程后舍去不符合题意的根，最终得到符合条件的点的横坐标． 【详解】（1）解：将点，点代入二次函数，得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵函数与轴交于点， ∴， ∴设直线的解析式为，代入， 得， 解得， ∴直线解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵，的形状固定，即最大时，面积最大， ∴当时，取得最大值，此时面积最大， 代入，得； ∵，， ∴，，， ∴， 如图，过点作直线轴，过点作，过点作， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且时，取得最小值，也就是点到直线的垂线段长度， ∵， ∴此时的最小值为； （3）解：∵函数沿射线方向平移个单位得到函数，，， ∴平移的长度为， ∴平移后，对应点的横坐标增加，纵坐标增加， ∵原抛物线解析式为，顶点为， ∴平移后顶点为，即， ∴平移后抛物线的解析式为， ∵， ∴点的对应点是的坐标为，即， 设解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为； 设直线的解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵是直线和的交点， ∴， 解得， ∴， 如图，过作直线轴（向右为正方向），过作于，过作于， ∴，直线为， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 若点位于点右侧，则为钝角，不符合题意，故点位于点左侧，分两种情况讨论： ①点位于轴上方，设直线交轴于点， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； ②点位于轴下方，设直线交轴于点，则， ∴直线解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）； 综上，点的横坐标为或． 【点睛】本题第二问求三角形面积最大值，核心是把“求面积最大值”简化为“求线段的最大值”；第二部分求的最小值，关键是利用直角三角形的三角函数定义，把​​转化为点到定直线的垂线段长度，将“折线段和的最小值”转化为“定点到定直线的垂线段长度”，直接用“垂线段最短”的公理求解；本题第三问核心逻辑是将几何角度关系转化为可求解的代数方程． 12．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴和先根据抛物线对称轴公式求出，再把点代入抛物线解析式求出即可； （2）先确定点B和点C的坐标，得出是等腰直角三角形，，当，存在两种情况：点在点的上方， ，点在点的下方， ，据此求出即可， （3）根据对称轴与取值范围的相对位置确定函数最大值的对应的取值，由此即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线的函数解析式为，其对称轴为直线， ∴，解得． 又∵抛物线经过点， ∴，解得． 故这段无人机灯光轨迹对应的抛物线的函数解析式为． （2）解：当时，即，解得或．故点B的坐标为． 当时，，故点C的坐标为． 设坐标为． 在中， ，，， ∴是等腰直角三角形，． 当，存在两种情况： ①点在点的上方，如图： 此时． 在中，，即，解得． 此时点坐标为． 线段． ②点在点的下方， 如图： 此时． 在中，．即，解得． 此时点坐标为， 线段． 综上所述，线段的长度为或． （3）解：抛物线解析式为，化为顶点式为．抛物线开口向下，顶点坐标为． 根据对称轴的位置不同，函数最大值取值有三种不同情况： 情况一：当时，即，此时函数在范围内，随增大而增大，最大值在处取得， ∴， 整理得，解得．因为，所以． 情况二：当时，即，此时函数的最大值为顶点的纵坐标．． 则，解得．此解不满足的条件，故舍去． 情况三：当时，此时函数在范围内，随增大而减小，最大值在处取得． ∴． 整理得，解得．因为，所以． 综上所述，的值为或． 13．(1)； (2)，的最小值为：； (3)点的横坐标为或 【分析】（1）根据抛物线与轴交点及对称轴为求解即可； （2）连接，过作轴交于，当最大时，最大，得到点坐标，过作的平行线，过作，两平行线交于点，当三点共线时最小； （3）原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，分别求出直线的解析式，再与新抛物线解析式联立方程组求解即可. 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴， 而，设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到新抛物线：， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴，解得：（舍）或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的横坐标为或． 14．(1) (2) (3)点N的坐标为或，过程见解析 【分析】（1）把代入，得，根据对称轴公式得出，然后联立方程组求解即可;; （2）延长PE交x轴于G，过P作轴于H，求出，运用待定系数法求出直线解析式为，设，，得，，可得，由二次函数的性质得取得最大值，最大值为；此时；当、R、三点共线时，最小，为的长度，由勾股定理求出的长度即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为，，分两种情况：当N在y轴的左侧时，过N作轴于K，证明，可得，证明；当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过作过M的垂线于T，同理可得，再进一步 结合三角函数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C， 抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ； （2）解：如图，延长交x轴于G，过P作轴，交于H， ∵当时，解得，， ， 当时，， ， ∴， ∴， 轴， ∴， ∴， ∴， ，， 设的解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，取得最大值，最大值为；此时； 将沿对称轴向下平移2个单位，得， 作关于对称轴的对称点，得， 此时， 当、R、三点共线时，最小，为的长度， ， 的最小值为． （3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当N在y轴的左侧时，过N作轴于K， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：或（舍去） ； 如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过作过M的垂线于T， 同理可得：， 设则， 同理可得：， 或（舍去）， ， 综上，点N的坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $