精品解析：四川嘉祥教育集团2025-2026学年七年级下学期期中质量监测数学试题

嘉祥教育集团2025－2026学年初一下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．全卷分为第A卷和第B卷，A卷满分100分，B卷满分50分． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，计算结果等于的是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意． 2. 如图，直线与相交于点O，若，则的大小为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵直线与相交于点O， ∴与是对顶角， ∵， ∴． 3. 一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形内角和为，求出每个选项中第三个内角的度数，再根据锐角三角形的定义判断，锐角三角形的三个内角都小于. 【详解】解：∵三角形内角和为，锐角三角形要求三个内角都小于， A、，该三角形是直角三角形，不符合要求； B、，三个内角分别为，都小于，该三角形是锐角三角形，符合要求； C、，，该三角形是钝角三角形，不符合要求； D、，，该三角形是钝角三角形，不符合要求. 4. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂除法法则，单项式乘多项式法则，完全平方公式和平方差公式，逐一计算即可判断正误． 【详解】解：A、同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故此选项错误； B、单项式乘多项式，需用单项式乘多项式的每一项，，故此选项错误； C、完全平方公式展开为，故此选项错误； D、由平方差公式计算得，故此选项正确． 5. 如图，在长方形的台球桌面上，，，那么的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角的和差计算，解题的关键是利用已知的和的度数，直接求出的度数． 直接将代入，通过减法计算出的度数，再匹配选项． 【详解】解：由题意得：， ． 故选：D． 6. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A. 3，4，5 B. 8，7，15 C. 13，12，26 D. 5，5，11 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．∵，， ∴可以构成三角形，符合题意； B．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； C．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意； D．∵，， ∴不可以构成三角形，不符合题意． 7. 如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　） A. 内错角相等，两直线平行 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据作图过程可知，画平行线最直接依据的基本事实是：同位角相等，两直线平行． 8. 如图，若，且，，，，则的面积为（　） A. 8 B. 6 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每个小题4分，共20分） 9. 用科学记数法表示_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定. 【详解】解：. 10. 如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相反，第一次拐弯的角，第二次拐弯的角是_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质求解． 公路两次拐弯后方向相反，说明前后两段公路互相平行；根据平行线的性质，同旁内角互补，即可求出第二次拐弯的角度． 【详解】解：∵ 公路两次拐弯后和原来的方向相反， ∴ 前后两段公路互相平行， 根据“两直线平行，同旁内角互补”，得． ， ． 11. 如图，中边上的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，熟练掌握三角形高的定义是解答本题的关键．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：根据三角形的高的定义可知中边上的高为． 故答案为：． 12. 下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法与长方形面积计算，解题的关键是利用“阴影面积=大长方形面积-小长方形面积”的关系，结合多项式乘法法则化简． 先分别计算大、小长方形的面积，再用大长方形面积减去小长方形面积，最后通过多项式乘法和合并同类项化简结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 【答案】 ①. ②. 全等三角形的对应角相等 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算与化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用平方差公式计算；再用完全平方公式展开；接着计算多项式除以单项式；最后合并同类项化简得到结果，然后代入、的值计算． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 16. 填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？ 解：∵ 是的角平分线（已知）， ∴______． ∵ （已知）， ∴ ____________（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）． ∵（已知）， ∴ （ ）， （ ）， ∴ （等量代换）， ∴ 平分． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】先根据角平分线定义得；再由平行线性质得；结合已知条件，利用内错角相等判定两直线平行；再由平行线性质得同位角相等，等量代换后证得EF平分． 【详解】证明：∵是角平分线（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． ∴平分． 故答案为：； ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 17. 在中，，（为常数），点是斜边上的一个动点，过点作于点，于点E，得到长方形．记（）． （1）如图为线段的长，请在此基础上画出及长方形； （2）用含和的整式表示长方形的面积和周长，并将结果化简； （3）结合第（2）问的表达式，猜想当为何值时取得最大值，证明你的猜想，并说明此时点的位置． 【答案】（1） 如图所示： （2）面积；周长 （3） 解：将S写成完全平方形式 ． 因为，所以，等号当且仅当，即时成立． 此时​，即为中点，进而可知P为中点． 【解析】 【分析】（1）因为是等腰直角三角形，，，所以先以线段为直角边，作且得到；又因为，，，所以在上取点，分别作于，于，得到长方形． （2）因为是等腰直角三角形，所以 ；因为长方形面积=长×宽，周长=2×(长+宽)，所以代入和的表达式可求出和并化简． （3）先将S的表达式整理成，根据，可得时S取得最大值；再根据的值确定点在上的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，，， ∴, ∵，， ∴、是等腰直角三角形， ∴， ∵长方形面积． 长方形周长 ． 【小问3详解】 略 18. 在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系． 在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系． （1）同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数； （2）请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数； （3）猜想与的关系，并证明与的关系． 【答案】（1） （2） 解：构造等腰直角三角形，， 则． ∵、是角平分线， ∴， ∴． 在中，． 故为等腰直角三角形时，． （3）解：， 证明：∵、平分、， ∴， ∴． 在中，． 在中， ． 即． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及特殊化到一般化的数学探究方法．解题的关键是利用角平分线定义表示出与，再结合三角形内角和定理推导与的关系； （1）通过等边三角形的特殊内角计算角平分线夹角； （2）构造等腰直角三角形验证规律； （3）由三角形内角和定理、角平分线定义即可得到与的关系． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴． ∵、是角平分线， ∴， ∴． 在中， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每个小题4分，共20分） 19. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含和的式子，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式可得， 变形得， 将代入得： ． 20. 如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的中位线分割与面积计算，解题的关键是理解连接三边中点后原三角形被等分为4个全等小等边三角形，再结合阴影部分的组成计算总面积． 先利用中位线性质，将原等边三角形分成4个面积相等的小等边三角形，每个面积为原三角形的；再根据阴影部分的构成，计算两部分阴影的面积和． 【详解】解：连接等边三角形三边中点，原三角形被分成4个全等的小等边三角形，每个小等边三角形的面积， 其中1个完整小等边三角形为阴影，面积为4； 该小等边三角形被高分成2个全等的直角三角形，每个面积为，其中1个直角三角形为阴影，面积为2；阴影部分总面积， 故答案为：． 21. 一个四位数除以它的各位数字之和，商最大值是______． 【答案】1000 【解析】 【分析】设出四位数的代数式形式，利用放缩法推导商的取值范围，验证取等条件后得到商的最大值． 【详解】解：设四位数为，其中，，且均为整数． 该四位数与其各位数字之和的商为， ， 当，时，， 商的最大值是． 22. 埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．埃拉托斯特尼发现，在当时的城市塞恩（图中的A点），直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的B点），直立的杆子却偏离太阳光线（图中）因为太阳光是平行光线，所以与角相等．根据这个数据，可以算出地球的周长约等于25000英里，这是因为“弧的长地球周长”的缘故，其中弧的长大约为500英里．由于1英里约等于，从而估算出地球周长为．小明想用这种方式来计算出甲乙两地的距离，在甲地直立的杆子在没有影子时，乙地直立的杆子却偏离太阳光线，则甲乙两地相距________． 【答案】200 【解析】 【分析】先将角度单位统一为度，再根据题目给出的比例关系，代入地球周长和圆心角数据，计算出甲乙两地的距离． 【详解】解： 设甲乙两地相距，根据题意得，， ∴． 23. 如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 【答案】 ①. 12 ②. 8 【解析】 【分析】①，则，，求得，设，则，利用四边形的面积为16，即可求解； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得，证明，得到，，推出当A，B，Q共线时，最小，即最小，再证明，求得与面积相等，据此求解即可． 【详解】解：①∵对角线平分， ∴点到和的距离相等， 设这个距离为，再设，则，， ∴，， ∴， 设，则， ∵四边形的面积为16，∴， 解得， ∴； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴当A，B，Q共线时，最小，即最小， ∵平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与面积相等， ∴的面积为． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 观察：，，，，你发现其中末尾两位数字的规律了吗？ （1）表示出第个等式，并猜想末尾两位数字的规律． （2）用字母表示第个等式，并用代数式解释规律． （3）在探究规律时，除了末尾两位数字规律以外，有同学将等式进行变形得：，，，，…，你能从中发现三个连续奇数之间的规律吗？并用代数式解释规律． 【答案】（1），规律是积的末尾两位数字为 （2） ， ． 为非负整数， 也为非负整数， 末尾两位数字为， 末尾数字为． （3） 猜想：间隔一个奇数的两奇数之积等于中间奇数的平方减4． 验证：设三个连续奇数为，，， ∴， ∴猜想成立． 【解析】 【分析】（1）计算，即可求解； （2）计算得出 ，根据末尾两位数字为，即可求解； （3）猜想：间隔一个奇数的两奇数之积等于中间奇数的平方减4，计算，即可求解． 【小问1详解】 解： ，末尾数字两位为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 已知为等边三角形(三边相等、三个角为)，与分别为，上一点． （1）如图1，，分别为中点，取中点，连接，，，证明：； （2）如图2，，线段上取一点，使得，连接，，，证明：； （3）如图3，，以为边作等边三角形，连接，证明：平分．(辅助知识点：等腰三角形底角相等) 【答案】（1） 证明：，，，分别为中点， ． 在和， , ， ， 在和中， ， ， ， ； （2） 证明：，， ． 在和中， ， ， ， 在中，， ． （3） 证明：在上取一点使得，． 在中，． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ． ， ， ， ． 在中，， ． ， 平分． 【解析】 【分析】（1）证明得出，证明得出，即可得证； （2）证明得出，根据得出； （3）在上取一点使得，，证明，可得，再证明得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图所示摆放，其中，若点在直线上，点在直线上． 【操作一】以如图为其中位置，小祥固定三角板不动，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则t的值为　　； （2）① 当秒时，与平行，求出的值． ②若时，若射线与射线相交于点，作出图形，并判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【操作二】 （3）以如图为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小祥将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，直接写出的值． 【答案】（1）秒 （2）①； ②作图如下： 是，， （3）秒，秒 【解析】 【分析】（）利用时需与平行的条件，结合三角板旋转后与的夹角变化列方程求解时间； （）①根据两直线平行时倾斜角相差的性质，结合旋转后的倾斜角与的固定倾斜角列方程求解时间；②通过过交点作，利用余角定理，推导得出与的和为定值； （）先表示出旋转秒后和的倾斜角，利用两直线平行时倾斜角相差的整数倍列方程，结合的范围，代入整数验证，得到符合条件的和． 【小问1详解】 解：当时， 初始时，与（方向）夹角为， ∵在上，，若，则需与平行， ∴三角板逆时针旋转秒后，与夹角为， 即与（）夹角为，即，解得； 【小问2详解】 ① 当时， 初始与轴（）倾斜角为，旋转秒后倾斜角为；固定，倾斜角为（直线平行倾斜角相差）， ∵，则， 解得， 即； ② 是，， 证明： 过交点作于点，交于点，交于点 ∵在中，，在中，， 又∵ ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∵ ∴； 【小问3详解】 解：旋转秒后，倾斜角为，倾斜角为，平行时倾斜角相差（为整数）： 整理得，结合： 时，，符合； 时，，符合； ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥教育集团2025－2026学年初一下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．全卷分为第A卷和第B卷，A卷满分100分，B卷满分50分． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，计算结果等于的是（　） A. B. C. D. 2. 如图，直线与相交于点O，若，则的大小为（　） A. B. C. D. 3. 一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在长方形的台球桌面上，，，那么的度数为（　） A. B. C. D. 6. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　） A. 3，4，5 B. 8，7，15 C. 13，12，26 D. 5，5，11 7. 如图，画平行线的操作中，最直接依据的基本事实是（　） A. 内错角相等，两直线平行 B. 两直线平行，内错角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 8. 如图，若，且，，，，则的面积为（　） A. 8 B. 6 C. 5 D. 10 第Ⅱ卷（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每个小题4分，共20分） 9. 用科学记数法表示_______． 10. 如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相反，第一次拐弯的角，第二次拐弯的角是_____． 11. 如图，中边上的高为___________． 12. 下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 13. 小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14. 计算与化简： （1） （2） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？ 解：∵ 是的角平分线（已知）， ∴______． ∵ （已知）， ∴ ____________（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）． ∵（已知）， ∴ （ ）， （ ）， ∴ （等量代换）， ∴ 平分． 17. 在中，，（为常数），点是斜边上的一个动点，过点作于点，于点E，得到长方形．记（）． （1）如图为线段的长，请在此基础上画出及长方形； （2）用含和的整式表示长方形的面积和周长，并将结果化简； （3）结合第（2）问的表达式，猜想当为何值时取得最大值，证明你的猜想，并说明此时点的位置． 18. 在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系． 在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系． （1）同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数； （2）请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数； （3）猜想与的关系，并证明与的关系． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每个小题4分，共20分） 19. 已知，则_____． 20. 如图，在一个面积为16的等边三角形纸片中取三边的中点，若连接各个中点．则阴影部分的面积是______． 21. 一个四位数除以它的各位数字之和，商最大值是______． 22. 埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．埃拉托斯特尼发现，在当时的城市塞恩（图中的A点），直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在500英里以外的亚历山大（图中的B点），直立的杆子却偏离太阳光线（图中）因为太阳光是平行光线，所以与角相等．根据这个数据，可以算出地球的周长约等于25000英里，这是因为“弧的长地球周长”的缘故，其中弧的长大约为500英里．由于1英里约等于，从而估算出地球周长为．小明想用这种方式来计算出甲乙两地的距离，在甲地直立的杆子在没有影子时，乙地直立的杆子却偏离太阳光线，则甲乙两地相距________． 23. 如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 24. 观察：，，，，你发现其中末尾两位数字的规律了吗？ （1）表示出第个等式，并猜想末尾两位数字的规律． （2）用字母表示第个等式，并用代数式解释规律． （3）在探究规律时，除了末尾两位数字规律以外，有同学将等式进行变形得：，，，，…，你能从中发现三个连续奇数之间的规律吗？并用代数式解释规律． 25. 已知为等边三角形(三边相等、三个角为)，与分别为，上一点． （1）如图1，，分别为中点，取中点，连接，，，证明：； （2）如图2，，线段上取一点，使得，连接，，，证明：； （3）如图3，，以为边作等边三角形，连接，证明：平分．(辅助知识点：等腰三角形底角相等) 26. 动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小嘉与小祥两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图所示摆放，其中，若点在直线上，点在直线上． 【操作一】以如图为其中位置，小祥固定三角板不动，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则t的值为　　； （2）① 当秒时，与平行，求出的值． ②若时，若射线与射线相交于点，作出图形，并判断是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【操作二】 （3）以如图为其初始位置，小嘉和小祥同时旋转两块三角板，小嘉将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小祥将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $