精品解析：福建南平市政和县第一中学2025-2026学年第二学期八年级数学阶段学情自测

福建省政和一中2025-2026学年第二学期八年级数学阶段学情自测 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. C. 6，7，8 D. 8，12，15 2. 下列说法中正确的个数为（　　） （1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形； （2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形； （3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形； （4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，，，是展开后小正方形的顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 16米 D. 20米 7. 如图，点在正方形内，满足，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 18 B. 19 C. 25 D. 31 8. 小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是（ ） A. 48 cm B. 4.8 cm C. 0.48 cm D. 5 cm 9. 如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（ ） A. 22 B. C. D. 10. 我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数．如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即：，那么称为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，均为正整数，则，，为一组勾股数；⑥一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数．结论正确的是（ ） A. ②③⑤⑥ B. ①③④⑤ C. ②⑤⑥ D. ②④⑤⑥ 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分把最后答案直接填在题中的横线上．） 11. 如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面直径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为________． 12. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为___________. . 13. 如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 14. 如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为_____． 15. 如图所示，点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(5，3)，点C为x轴上一动点，则AC＋BC的最小值是________． 16. 如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长是______． 三、解答题（本题2个小题，每小题8分，共16分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知在中，，，且，求的面积． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： （1）以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， （2）判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 四、解答题（本题7个小题，每小题10分，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 如图，已知，，，，．求图中阴影部分的面积． 20. 如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． （1）请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； （2）请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 21. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求，两点的坐标． 22. 如图，实心球（视为小黑点）从一个高为的高台处，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为、高为的矮台．求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度． 23. 阅读：已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解：∵，　　　　　① ∴． ② ∴． ③ ∴是直角三角形． ④ 请根据上述解题过程回答下列问题： （1）上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？ （2）请你将正确的解题过程写下来． 24. 有一条东西走向的隧道．小明在点处测得隧道一端点在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进300米后到达点，此时测得点在他的东北方向上，端点在他的北偏西方向上（点、、、在同一平面内）． （1）求点与点的距离（结果保留准确值）； （2）小明的朋友从端点以每分钟60米的速度步行到端点，请问他能否在15分钟内通过隧道？， 25. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时，的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省政和一中2025-2026学年第二学期八年级数学阶段学情自测 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. C. 6，7，8 D. 8，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形可得答案． 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 下列说法中正确的个数为（　　） （1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形； （2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形； （3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形； （4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用角度关系得到可以证明三角形是直角三角形，或者根据勾股定理的逆定理也可以证明三角形是直角三角形，由此判断选项的正确性． 【详解】解：（1）如果∠A+∠B＝∠C，可以求出，那么△ABC为直角三角形，该说法正确； （2）三角形三个内角之比为1：2：3，可以求出有一个角是，则此三角形为直角三角形，该说法正确； （3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），符合勾股定理的逆定理，则此三角形为直角三角形，该说法正确； （4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，符合勾股定理的逆定理，则此三角形为直角三角形，该说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是掌握直角三角形的判定方法． 3. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，，，是展开后小正方形的顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过正方形格点和勾股定理逆定理证明是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 则， ∴， 是等腰直角三角形， ． 4. 要登上高的建筑物，为了安全需使用梯子，梯子底端需至少离建筑物，则梯子的长度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据墙面与地面垂直，可知建筑物高度、梯子底端到墙面的水平距离、梯子长度构成直角三角形，再利用勾股定理求出梯子长度即可求解． 【详解】解：∵建筑物墙面垂直于地面， ∴建筑物高度、梯子底端到建筑物的水平距离、梯子长度构成直角三角形，梯子为该直角三角形的斜边， ∵建筑物高为，梯子底端离建筑物至少，即直角三角形两条直角边长分别为和， ∴由勾股定理得，梯子长度为， ∴梯子长度至少为． 5. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据两点之间的距离求点表示的数，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及通过距离表示点的坐标． 根据矩形的性质和勾股定理得出，根据两个点之间线段的长度求出点的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 故选：C． 6. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ） A. 10米 B. 12米 C. 16米 D. 20米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴米，米， ∴米， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米， 故选：D． 7. 如图，点在正方形内，满足，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 18 B. 19 C. 25 D. 31 【答案】B 【解析】 【详解】解：由勾股定理得， ． 8. 小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是（ ） A. 48 cm B. 4.8 cm C. 0.48 cm D. 5 cm 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解． 【详解】解：∵AB2+AC2=62+82=100，BC2=102=100， ∴AB2+AC2=BC2， ∴三角形是直角三角形． 根据面积法求解： S△ABC=AB•AC=BC•AD（AD为斜边BC上的高）， 即AD==4.8（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．以及三角形的面积公式求得斜边上的高． 9. 如图，在长方形中，，在上取一点，连接，，将沿翻折，使点落在点处，线段交于点，将沿翻折，使点的对应点落在线段上．若点恰好为线段的中点，则线段的值为（ ） A. 22 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质和“”，易得，从而，再根据角之间的关系，可得，设，由线段之间的关系易求，，，，最后根据勾股定理，可得，，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，，，，，，， 长方形，， ，，， 在和中， ， ， ， ，，， ，即， 设，则， 点恰好为线段的中点， ，， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ，解得（负值已舍去）， ． 10. 我们知道，如果直角三角形的三边长都是正整数，这样的三个正整数就叫作一组勾股数．如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即：，那么称为广义勾股数，给出下面的结论：①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若，，，其中，，，，均为正整数，则，，为一组勾股数；⑥一个正奇数（除1外）与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数．结论正确的是（ ） A. ②③⑤⑥ B. ①③④⑤ C. ②⑤⑥ D. ②④⑤⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据广义勾股数和勾股数的定义，逐个判断每个结论，通过举例排除错误结论，计算验证正确结论，最终得到正确选项． 【详解】解：① 小于7的正整数平方为，，，，不存在两个正整数平方和等于7，所以7不是广义勾股数，故①不符合题意； ②因为，所以13是广义勾股数，故②符合题意； ③因为，，均为广义勾股数，和为，而无法写成两个正整数的平方和，所以不是广义勾股数，故③不符合题意 ④因为，，均为广义勾股数，积为，而无法表示两个正整数平方和，故④不符合题意； ⑤ ， 又∵均为正整数， ∴，，为一组勾股数，故⑤符合题意； ⑥设除外的正奇数为，两个连续正整数为，由题意得， 解得：， ∴，二者均为正整数， ∵， 即，三个数均为正整数，符合勾股数定义，故⑥符合题意， 综上，正确结论为②⑤⑥． 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分把最后答案直接填在题中的横线上．） 11. 如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面直径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 【详解】解：底面直径为，高为， 吸管露在杯口外的长度最少为：． 故答案为：2． 12. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为___________. . 【答案】120 cm 【解析】 【分析】设三边的长是，，，根据周长即可求得x的值，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解． 【详解】设三边的长是，，， 则， 解得：， 则三边长是10 cm，24 cm，26 cm． ∵ ∴三角形直角三角形， ∴三角形的面积是（cm） 故答案：120 cm 【点睛】考查勾股定理逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 13. 如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积． 【详解】解： ． 14. 如图，有一个棱长为的正方体盒子，蚂蚁在正方体下方一边的中点P处，发现上方顶点处有一滴蜂蜜，蚂蚁需要沿着正方体盒子的表面从点P爬行到顶点处吃到蜂蜜，它需要爬行的最短距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，化空间问题为平面问题是解决空间几何体问题的主要思想．先将图形展开，再根据两点之间线段最短即可得到结论． 【详解】解：可以把和所在的两个平面展开到一个平面内， 如图1， 根据勾股定理得：； 如图2， 根据勾股定理得：． ． 故沿着正方体的外表面爬到其一顶点处的最短路径是． 故答案为：． 15. 如图所示，点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(5，3)，点C为x轴上一动点，则AC＋BC的最小值是________． 【答案】5 【解析】 【详解】如图，作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B交x轴于点C，连AC，此时AC＋BC最小．易知A1C＝AC，则AC＋BC＝A1C＋BC＝A1B．过点B作BD⊥x轴，过点A1作A1D⊥BD，与BD相交于点D，则A1D＝3，BD＝4．在Rt△A1BD中，，即AC＋BC的最小值为5． 16. 如图，已知，于，于，，．点是的中点，则的长是______． 【答案】####6.5 【解析】 【分析】连接，延长到，使得，连接，易得为的中位线，由三角形中位线的性质可得，再在中，由勾股定理可解得的值，然后证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，延长到，使得，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴， 在中，可有， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理、平行线的判定等知识，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 三、解答题（本题2个小题，每小题8分，共16分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知在中，，，且，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，由勾股定理得，得，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：已知，， 根据等腰三角形三线合一，平分，即． 在中，由勾股定理得： 因此． 的面积． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： （1）以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， （2）判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【答案】（1）见解析 （2）是直角三角形 【解析】 【详解】解：（1）如图：即为所求， （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 四、解答题（本题7个小题，每小题10分，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 如图，已知，，，，．求图中阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再根据即可得出结论． 【详解】解：在中， ∵， ∴． 在中， ∵． ∴为直角三角形． ∴． 20. 如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，图2是以为直角边的等腰直角三角形，用图1和图2可拼成图3的图形． （1）请指出图3是什么图形，并用它证明勾股定理； （2）请用若干个图1中的直角三角形拼成一个能证明勾股定理的图形（画出图形，不用证明）． 【答案】（1）直角梯形，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由图中给出的三个三角形组成一个直角梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，列出等式即可求出勾股定理； （2）将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示，即可得到答案． 【小问1详解】 解：是直角梯形； 由图可知梯形的面积公式可知，梯形的面积 从图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和，即， ∴ 整理得：． 【小问2详解】 解：将4个全等的直角三角形拼成一个正方形，如图所示： 21. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求，两点的坐标． 【答案】， 【解析】 【分析】根据翻折的性质以及长方形的性质可求解的长度，结合勾股定理可求解的长度，由此可得的长度，即得点E的坐标，再利用勾股定理即可求解的长度，由此可得点D的坐标． 【详解】解：根据题意：经过翻折得到， ，， 四边形是长方形， ，， 在中，， ，则； ， 在中，， 即有：， 整理得，， 解得，则． 综上，，． 22. 如图，实心球（视为小黑点）从一个高为的高台处，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为、高为的矮台．求实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度． 【答案】实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度为2米． 【解析】 【分析】利用辅助线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明，将AC、BD、CD转化到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理求出绳索长度，结合旗杆高度求出最低点即可． 【详解】解：作于，于，则，     ， ， 在和中， ， ， ，， （米）， （米）． 又（米），且， ，即， （米）， （米）， （米）， 在中，由勾股定理得：， （米）， 米（绳索长度不变）， （米）， 答：实心球在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度为2米． 23. 阅读：已知a，b，c为的三边长，且满足，试判断的形状． 解：∵，　　　　　① ∴． ② ∴． ③ ∴是直角三角形． ④ 请根据上述解题过程回答下列问题： （1）上述解题过程，从第几步(该步的序号)开始出现错误，错误的原因是什么？ （2）请你将正确的解题过程写下来． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义： （1）上述过程是第③步开始出错的，错误原因是当时，从②不能直接得到③； （2）从第②步分解因式得到，进而得到，，据此可得答案． 【小问1详解】 解：上述过程是第③步开始出错的，错误原因是当时，从②不能直接得到③； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∴， ∴或， ∴或， ∴是直角三角形或等腰三角形． 24. 有一条东西走向的隧道．小明在点处测得隧道一端点在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进300米后到达点，此时测得点在他的东北方向上，端点在他的北偏西方向上（点、、、在同一平面内）． （1）求点与点的距离（结果保留准确值）； （2）小明的朋友从端点以每分钟60米的速度步行到端点，请问他能否在15分钟内通过隧道？， 【答案】（1）米 （2）不能 【解析】 【分析】（1）由锐角的正切函数定义即可求出的长； （2）作于，如图所示，由勾股定理，直角三角形的性质，求出的长，的长，得到的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：，， ， 米， 米， 点与点的距离是米； 【小问2详解】 解：小明的朋友在15分钟内不能通过隧道， 理由如下： 作于，如图所示： 是等腰直角三角形， ， 米， ，， 米， 米， 小明的朋友从端点以每分钟60米的速度步行，15分钟行走的路程是米，， 小明的朋友在15分钟内不能通过隧道． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，直角三角形的性质，解直角三角形，关键是由直角三角形的性质，勾股定理求出的长． 25. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时，的值最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】（1） （2）当A，C，E三点共线时 （3）13 【解析】 【分析】（1）根据题意，，，，设．得到，利用勾股定理解得即可． （2）连接，根据当，当三点共线时，的值最小． （3）根据，构造．如图所示，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，，，，，设．得到， 利用勾股定理，得， ． ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，连接，根据当，当三点共线时，的值最小． 故条件为三点共线． 【小问3详解】 解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是长方形， 故． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $