精品解析：安徽省阜阳市太和县2026届高三下学期4月考试数学试题

2026届高三下学期4月考试 数学试题 全卷满分150分.考试用时120分钟. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 所以. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即，解得：， 则集合，所以. 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】锐角满足，所以,, 则, 因为，所以 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质化简不等式，即可根据真子集的关系判断. 【详解】由可得，解得或， 由于是或的真子集，故“”是“”的充分不必要条件. 5. 现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，用间接法求解，先由分步计数原理计算4本书放入三个不同抽屉的放法数目，再计算语文与数学在同一抽屉的放法数目，相减即可得到结果. 【详解】4本书放入三个不同的抽屉， 先在4本书中任取2本作为一组，再将其与其他2本书对应三个抽屉， 共有种情况， 若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉， 有种情况， 则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：种； 故选：C. 【点睛】解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义． 6. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出函数有两个变号零点的的范围即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数恰有两个极值点，得函数有两个变号零点， 即方程有两个不等实根，令，因此函数的图象与直线有两个交点， 求导得，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因此函数在处取得最小值， 而，，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：C 7. 已知，是半径为2的的两条直径，且与成60°角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内过点作于，根据面面垂直性质定理证明，解三角形求结论. 【详解】在平面内过点作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，而平面，则， 在中，，则， 在中，，由余弦定理得， 在中，. 8. 在平面内，圆上三点，，满足，动点，满足，，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，判断三角形的形状，结合数量积结果，求得的夹角，以及三角形的边长；取的中点为，的中点为，求得的轨迹是以为圆心的圆，再根据圆外一点到圆上一点距离最值的求解方法，计算即可. 【详解】设圆的半径为，则， 又， 故两两之间的夹角相等，且均为，三角形为等边三角形， 故，解得； 连接，取的中点分别为，如下图所示： 因为，故点在以为圆心，1为半径的圆上运动； 若三点不共线时，在三角形中，分别为的中点， 故， 故点是在以为圆心，为半径的圆上运动； 若三点共线且为线段上点时， 此时，， 故； 同理若三点共线且为线段延长线上一点时，也有； 综上所述：点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 对等边三角形，由正弦定理可得：， 又为中点，则； 故圆外一点到圆上一点的距离， 当且仅当三点共线，且在线段延长线上时取得等号， 所以的最大值是5. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的80百分位数是5，则（ ） A. 该组数据的极差为5 B. 该组数据的中位数为3.5 C. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 【答案】AB 【解析】 【详解】因为一共有个数据，，所以第80百分位数为第五个数，所以， 所以该组数据的极差为，故A正确； 该组数据的中位数为，故B正确； 因为的平均数为， 所以剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数不变，故C错误； 因为数据的方差为， 而剔除该组数据中的4后，数据的方差为，即方差变大，故D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义，举反例可判断A；利用周期公式可判断B；利用复合函数的单调性法则可判断C；利用三角函数对称中心的求法可判断D. 【详解】函数可化为，据此分析各选项： A：取，则：， ， 由于，因此不是偶函数，A选项错误； B：正弦型函数的最小正周期为，B选项正确； C：当时，令，， 由于在上单调递增， 且在上单调递增，故C选项正确； D：令，解得， 当时，，即的一个对称中心为，故D选项正确. 11. 已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据选项中的函数解析式，结合，逐项运算、判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，可得， 又由，所以A正确； 对于B中，函数，可得， 又由，所以B不正确； 对于C中，函数，可得， 又由，所以C不正确； 对于D中，函数， 当时，，可得，所以； 当时，，可得，所以； 当时，，可得，所以， 所以D正确. 故选：AD. 【点睛】对于函数的新定义试题的求解： 1、根据函数的定义，可通过举出反例，说明不正确； 2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理、论证求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数是，则实数 _______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式的展开通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为， 所以由，解得， 因此，即，解得. 13. 数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______. 【答案】 【解析】 【分析】先求解数列，再求得数列，用错位相减求和，进而求解的前项和. 【详解】已知数列的通项公式为，则， 数列的前项和为，当时，，当时，， 因此数列的通项公式为 当时，； 当时，， 则， 两式相减得， 即. 化简得，时也符合该式， 综上所述，. 14. 已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为方程有且只有一个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合图象可求得答案. 【详解】由，得， 因为，所以， 令，则，令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以当时，函数有极小值， 且当时，， 因为函数有且只有一个零点， 所以结合函数图象可得，所以实数k的取值范围为. 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：在中，由余弦定理，得 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式化简可得，结合余弦定理化简，从而解得，结合正弦定理即可求解； （2）根据利用余弦定理化简可得，结合三角函数的图像与性质即可求解. 【小问1详解】 由，得，整理，得. 在中，由余弦定理，得. 把代入上式，得， 因为，所以. 在中，由正弦定理，得 【小问2详解】 略 16. 如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． （1）若时，求三棱柱的体积； （2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，可知，证明出平面，当时，求出的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分析可知，根据可求出点的坐标，再利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【小问1详解】 翻折前，在图1中，因为四边形为正方形，所以，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，且， 因为，所以， 翻折后，在图2中，，， 所以二面角的平面角为， 因为，、平面，所以平面， 当时，即，且，则， 所以三棱柱的体积为. 【小问2详解】 因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，由题意可知，则，故， ，， 因为，则，解得， 则点，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 17. 已知椭圆过点，右焦点为为上顶点，以点为圆心且过的圆恰好与直线相切． （1）求的方程； （2）过的直线与椭圆交于两点不与椭圆的左，右顶点重合，设直线的斜率分别为，求证：为定值； 【答案】（1） （2）证明：由题意得，直线的斜率不为， 设直线的方程为：，，， 联立得：， 则，，所以， 又， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求出即可得椭圆方程； （2）利用韦达定理代入化简即可得证. 【小问1详解】 由题知，圆的半径，结合题意可知， 又椭圆过点，所以，解得， 则的方程为：； 【小问2详解】 略 18. 已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. （1）现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； （2）现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【小问1详解】 抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； 【小问2详解】 分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 19. 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， （1）求，的方程； （2）若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 【答案】（1） ， （2） 或 （3）设，由 得 ， 所以切线的方程为：， 设，，由得：， 由，得：，代入得：， 所以，所以， 由得： ，所以点R在定直线 上． 【解析】 【分析】（1）先将四个点代入抛物线方程，判断哪些点在上，进而求出得到的方程，将剩余的点代入椭圆方程，结合，求出和得到的方程； （2）先求出椭圆的左焦点的坐标，设出直线的方程联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到坐标的关系，写出的坐标，令得到点 的坐标，根据三角形面积公式表示出面积，求出直线的斜率，进而得到直线的方程； （3）设出点的坐标，通过抛物线切线公式求出切线的方程，联立切线与椭圆的方程，利用韦达定理求出中点的坐标，求出直线的方程，再求出过且垂直于轴的直线方程，联立这两个方程得到点的坐标，通过化简判断其是否在定直线上. 【小问1详解】 抛物线满足与成正比，将四个点代入验证： 点和满足，得，故； 剩余两点、在椭圆上，代入椭圆方程： 将代入得，再代入得， 故； 【小问2详解】 设，，则，由题意可知直线的斜率存在，， 设直线l的方程为：， 由得： ，此时， 所以，， 由直线BC的方程：得：， 令，则， 所以，此时，所以，当最大时， 的面积最大，而，即：，所以当的面积最大时， 直线l的方程为： 或 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期4月考试 数学试题 全卷满分150分.考试用时120分钟. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 6. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是半径为2的的两条直径，且与成60°角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面内，圆上三点，，满足，动点，满足，，则的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 6 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据的80百分位数是5，则（ ） A. 该组数据的极差为5 B. 该组数据的中位数为3.5 C. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的平均数变小 D. 剔除该组数据中的4后，剩下样本数据的方差变小 10. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 11. 已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数是，则实数 _______. 13. 数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______. 14. 已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 16. 如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． （1）若时，求三棱柱的体积； （2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 17. 已知椭圆过点，右焦点为为上顶点，以点为圆心且过的圆恰好与直线相切． （1）求的方程； （2）过的直线与椭圆交于两点不与椭圆的左，右顶点重合，设直线的斜率分别为，求证：为定值； 18. 已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. （1）现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； （2）现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 19. 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， （1）求，的方程； （2）若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $