湖北海亮教育仙桃市第一中学2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试卷

海亮教育仙桃市第一中学2026年春季学期 高一年级期中考试数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命卷人：范雷 审核人：杨青 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】B 【解答】解：因为AB=V反，AC=1,B=30°，由正弦定理得：mC=A4BnB_2x=三 AC 1 2 所以C=45°或C=135°，经检验，均满足题意.因此A=15°或A=105°. 4.【答案】D 5.【答案】A 【i详解】在△4BC中，sinC+b=2bcos2A+cosB,则sinC+b=2b×1+cos4+acosB,.即 asinC=bcosA+acosB,sin AsinC=sin Bcos4+sin AcosB=sin A+B),sin AsinC sinC, 由于Ce(Q).血C0,放sA=l,结合Ae(Q,,可得A=行即△4BC一定为直角三角形， 6.【答案】C 【解析】PB+PC=2PD(D为BC的中点)，则PA:(PB+PC=2PAPD,要使PA.PD最小，则PA,PD 的方向相反，即点P在线段AD上，则(2PAP)=-2PA,PD,即求PAP的最大值，因为 4p网95原西22四j-图-限p4-网北n 的中点时，取等号.故(2PAPD)=-2× 7.【答案】A 【详解】设AF=mAC,因为B,F,E共线， 所以AE=kAF+(1-)AB=amAC+(I-)AB, n=1 1 m= 又因为AD=(B+AC)=24E,所以4正=1AB+AC,所以 3 解得 3 1-k= 4 k= 4 丽-号c.西-西c得所花丽- AB, 4 4 4 B=AF-B=4C-AB,所以BE=3BF,所以EF=BF,所以EF=BF, 3 4 在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=8,所以coSA= 42+62-82 1 2×4×6 所以BF=VAB2+AF2-2 AB.AF cosA=16+4-2×4x2× -4 =26, 所以EF-BP=V6 4 2 8.【答案】C cosa cos2 a -sin cos a +sin 2 2 2 -sin 2八 2 2 【详解】由tanB= 3 1-sin a 1-2sin cos cos cos a sin a 2 2 2 2 2 2 1+tan tan亚+tang 2 4 2 则B=元+a 1-tan- 1-ta4 42 2 cosa cosa(1+sina)cosa(1+sina)1+sina 由1-sina(1-sina0+simo） 1-sin2a cosa 则tm6a-20=mg.即B=6a-2p+kkeZ.则月=2a.kez 综上所运，B=开受+k红ez,且=2z+誓，名=2. 结合选项，当=30°，B=60°时，满足上述两个式子： 当a=70°，B=80°时，满足上述两个式子； 当B=50时，由B晋号+人=Z可知a=10,此时不满足B=2如+经名么. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】ACD 10.【答案】AB 【详解】对于A,b=√(-1)2+2=√5，故A正确： 对于B,与共线的单位向量E=± 同向为 52W5 5’5 故B正确； 对于C6在上的投整向蛋为佩oa心同票a2 ) 故C错误： 对于D,因a+b=(3,2)+(-1,2)=(3-2,2元+2)，则a.(a+b)=33-)+2(2+2)=元+13， [+13>0 由a与a+仍的夹角为锐角，可得： 13(2+2)≠23-)' 解得1>-13且2≠0，故D错误. 11.【答案】ACD 【解析】对于A,取BC的中点为D,由重心可得A0=AD, 由中线向量可得：D=丽+AC),所以有40-号西+4C)号丽+号4c, M 又因为40=+AC,所以天=以-月则+-l,故A正商： 1 B 对于B,取AB的中点为M,取AC的中点为N,分别作中垂线，交于外心O, AO.BC=A0.AC-AB)=AO.AC-40.AB=(AN+NO)AC-(AM+MO).AB =AN.AC-AM.AB=2x4-3x6=-10,故B错误： 对于C,当O为△ABC的内心，延长AO交BC于T,根据角平分线定理有： AO AB AC OT BT CT ,利用等比性质有： 份行. 所以有0：5而，又由角平分线定理得： BT AB 63 5+11 TC AC42 则2丽-证2面-到3c到→亚-号西+c, O 所0-传西8 2B+5x3a -×2AC 55+15 V5+151 又因为A0=B+uAC,所以左5x2, V5+151 即2+=5x25355-5 故C正确； 5+15V5+155+14 对于D,由BC 2 AB +3AC 2 BCB3 BC AC 2 cos B cosC cosB cosC B BC·AB cos(π-B) =2 BC.ACcosc =-12BC+12BC=0, cosB coSC 所以BC⊥2 AB +3 4C 又由O为垂心得：BC1AO,所以AO1 2、® +34C 故D正确： cosB cosC cos B cosC 三、填空题：本题共3小题， 每小题5分，共15分. 12.【答案】2 13.【答案】3 【解析】在正方形ABCD中，因为F为AD中点，所以△AEF~△CEB, BE_BC=2,则 FE FA 丽-丽引++， 则B6-Bc-（居A+}BCBc-号m-Bc+}Bcc-BC-背2- 3 14.【答案】60 【详解】由题设∠PAO=45°，∠PBO=60°，☑PCO=45°， 设P0=h,则0M=0C=么08=5n. 3 在△ABO中，由余弦定理有OA2=AB2+OB2-2 4BxOB cos.∠ABO, 故=160+F-805hos∠AB0,同理=3600+_120W5 cos∠CBO, 3 3 而∠ABO+∠CBO=180°，故coS∠ABO+cOS∠CBO=0, 所以3+2=4800+？+7200+22，故3F+2f=4800+行+7200+2：，赦h=60(m. 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1坂【答案】1)画 2 5 【解答】解：(1)a=(-1,3),b=(4,3), ∴a.b=-1×4+3×3=5,la=√-1)2+32=⑩，b1=V+32=5, c0s0=- ab 5√10 1a1b110x5=10 (2)a=(-1,3),b=(4,3), 则a+kb=(-1,3)+(4k,3=(-1+4,3+3k),a-kb=(-1,3)-(4k,3%=(-1- 4k,3-3,,a-kb和a+kb互相垂直， ∴.(a-kb)·(a+kb)=0,即(-1-4k)(-1+4k)+(3-3k)(3+3k)=0, 解得k=或-o 5 5 16.【答案】(1)==4-2i (2)m-n=-28 【详解】(1)设三=a+bi(a,b∈R),则：+2i=a+(2+b)i为实数，所以b=-2. a-212+0_a+2+-4i为实数，所以a=4,所以：=4-2i.(6分) 2-i(2-i)2+i) (2)因为复数z是方程x2+x+n=0(,neR)的一个解，代入可得(4-2i)+(4-2i)m+n=0, 12+4m+n=0 整理可得 -16-2m=0,解得m=-8,n=20,所以m-=-28.(13分) 17.【答案】(2)B=元 3 3)V5 【详解】(1)因为(c-2a)cosB=b2cosA-V3sinC）, 由正弦定理可得sinCcosB-2 sin AcosB=2 cos AsinB-√3 sinBsinC, 所以sinC√3sinB+cosB)=2(sin4cosB+cos AsinB), 所以2 sinCsin B+=2sim(4+E)=2s1nC,又因为0<C<元，所以sinC≠0， 6 所以sn B+=1,又因为0<B<元，所以B+∈工，7 所以B+2=元，故B= 6 66’6 62 3 (2)因为D是边AC上靠近A的三等分点， 所aD-a+4c-a++Bc)号a+8c 3 所以BD 21-R+AaC+aC-4a+4BaBC+BC） 3 3 9 9 又因为a=2,D=25,B=元， 3 3 所以 即c2+c-2=0,解得c=1或c=-2(舍去)， nπ、V5 所以Sac=acsinB=}x2x1xsin 32 (3)已知BD平分LABC,且B=等故∠ABD=∠CBD=。 由SAARG=SSARD+SACBD得ac sin B-c:BD·sing+a·BD:sing: 将a=280=29代入得2c复=c9计29月 解得c=1b2=a2+c2-2 ac cos B=4+1-4.1=5-2=3∴b=V3 2 18.【答案】(1)表面积为10，体积为2 号 (3)[6元，+0） 【详解】(1)因为底面ABCD为正方形，所以x=y=1, 则长方体ABCD-ABCD的表面积为2×1×1+4×1×2=10， 体积为1×1×2=2. (2)由图和已知， VA-BCD=VABCD-CV-ABD-VG-BCD-V3-ABG-VG 11 当且仅当x=y=1时，等号成立，故三棱锥A-BCD体积的最大值为 6 (3)由题可知，长方体ABCD-AB,CD的外接球的半径为R,则2R=√x2+y2+4, 所以S1=4R2=元(x2+y2+4),S2=y, 则S元(x2+y2+4)元x2+y2+（x+y)」=元 y xy 令t=父，则t≥1， S, 因为+2，所是2+片小6， S, 当且仅当t=1,即x=y=1时，等号成立， 所以g的取值范围为6元，十o)。 sinc sin'B C 6,即4-ca2-c 19.【解析】(1)由41=im4nC及正弦定理可得4-1=c， c b2 因为A≠C,则a≠c,所以二 以。=，即b2=c2+ac, 由余弦定理可得c2+ac=b2=a2+c2-2 ac cos B,所以ac=a2-2acc0sB,(2分) 所以c=a-2 ccosB,由正弦定理可得sinC=sinA-2 cos Bsin C sin (B+C)-2cos B sin C=sin B cosC+cos B sinC-2cos B sinC sin B cosC-cos B sin C=sin(B-C), 因为A△A5C为能角三角形，故0<2<受0<e<子所以子B-C登 又商数)=血x在上*调连馆。且血C=-:故=-C,即8-2C.5分》 (2)1+a1+sin4=1 sin(B+C)1 sin BcosC+cosBsinc cosC b cosC sin B cosC sinB cosC sin B 1 sin 2C cosC+cos2Csin C 1 2sin C cos2C+cos2Csin C cosC sin 2C CosC 2sin CcosC =_1 +COSC+2c0C-1-2c0sC+1 cosC 2cosC 2cosC’(7分) > 0<c<号 因为△ABC为锐角三角形，故0<B=2C< 2 ,解得严<C< 6 4 0<A=π-3C<1/ 又因为A=元-3C≠C,可得C≠ 4,故角℃的取值范围是工， (6’4 (8分) 所以9ae9,放5<2c<5, 令1=2cosC∈(5，)，f)=1+},函数f回在(V5,V5)上为增函数. 故，1+只-2cosC 1 3243 cosC b 2cosC 2,3 放心C+骨的值范围是 3W24V5 2’3 (12分) b sin B sin C-sin A sin,所以b=2nB a 2 2sin C (3)由正弦定理可得 sinA,c= sinA' 所以S.ue 1bcsinA= 1 2sin B 2sinC xsiA=2m B sinC_2sin 2CsinC_2sin 2Csinc 2 sin A sin A sinA sin(π-3C) sin(3C) 4sin2C cosC 4sin2C cosC 4sin2C cosC 4sin2C cosC sin 2C cosC+cos 2C sinC 4sinC cos C-sinC 4sinC cos2 C-sinC(sin2 C+cos2 C) 3sinC cog C-sin 4sin C cosC 4tanC 3cos'C-sin'C 3-tan'C3 因为C∈ππ 所以tanC∈ -tan C (64 31 (15分) tan C 令x=tamC∈ 函数y在 3 上均为减函数， 3 故函数y=2 在 上为减酒数，所以 g-mcs 3 因此心ac3-tamC227 即△ABC面积的取值范围是 ,2 . (17分) 2 tan C海亮教育仙桃市第一中学2026年春季学期 高一年级期中考试数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 命卷人：范雷 审核人：杨青 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的： 1.已知i是虚数单位，若复数z满足(1-i)=2+i,则z在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知a,b为不共线的非零向量，AB=ā+5b,BC=-2a+85,CD=3a-3b,则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 3.在△ABC中，AB=V2,AC=1,B=30°，则A=() A.45 B.15°或105 C.45°或135° D.105 4.如图，△OAB'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为() A.122 B.24 C.6√2 D.12 人45 4 B 5.在△ABC中，内角AB,C的对边分别为ab,c,asinC+b=2bcos2 +acosB,则△ABC一定为() 2 A.直角三角形 B.等腰三角形 C,等腰直角三角形 D.钝角三角形 6.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)的最小值为() A.-2 ⑧ D.-1 7.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BC=8.取BC边中点D,连接AD,设E为AD中点， 连接BE并延长与△ABC交于点F,则EF的长为() A. 6 5 B. 2 2 c. D 2 8.已知锐角a,B满足，cosa=tanB, 1-sin a 1+sima=am(6a-2p),则下列结论不可能成立的是（） cosa A.a=30° B.=70° C.B=50° D.B=80° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长 均为10cm,正四棱柱的高为5√3cm,则下列选项中正确的是（) A.正四棱锥的高为5√2cm B.该几何体的表面积为100W3+100cm2 500W3+500V2 G C.该几何体的体积为 cm E D.一只小蚂蚁从点E沿几何体的表面爬行到点S,它所经过的最短路程为5V3C 10.己知向量a=(3,2),b=(-1,2),则下列结论正确的是() A.B5 V525 B.与6同向的单位向量为 55 (12 c6在a上的投影向量为55引 D.若a与a+乃的夹角为锐角，则实数的取值范围是(-l3,+o) 11.在△ABC中，AB=6,AC=4,O为△ABC边上及内部的一动点，设AO=1AB+LAC,则下列说法 ) 正确的是( A.若O为△ABC的重心，则元+2u=1 B.若O为△ABC的外心，则AO.BC=10 C.若0为△1BC的内心，BC=25,则2+L=5-5 4 cosB￥3C D.若O为△ABC的垂心，△ABC为锐角三角形，则AO与2 共线 cosC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若复数(1+ai)(2+i)是纯虚数，则实数a= 13.己知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，BF与AC交于点E,则BE.BC= 14.某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围 着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底O同一水平面内共线的三个点A,B,C, 且在点A,B,C处测得塔顶端P的仰角分别为45°，60°，45°，同时测得AB=401m,BC=60m(如 下图)，则塔的高度为m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知a=(-1,3),b=(4,3). (1)设向量a,b的夹角为0，求cos0的值： (2)若a-k石和a+kb互相垂直，求k的值. 16已知：为复数，=+2i和号均为实数，其中1是虚数单位 (1)求z; (2)若复数z是方程x2+x+n=0(m,neR)的一个解，求m-n的值. 3 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(c-2a)cosB=b2cosA-V3sinC (1)求B: (2)若D是边4C上靠近A的三等分点，a=2,8BD=25,求△ABC的面积： 3 (3)若BD是∠ABC的角平分线，a=2,BD=25,求b的长. 3 18.如图，长方体ABCD-AB,CD的长、宽、高分别为X,y,2,且x≥y,x+y=2. (1)当底面ABCD为正方形时，求长方体ABCD-ABC,D的表面积和体积： (2)求三棱锥A-BCD体积的最大值： (3)记长方体ABCD-AB,CA外接球的表面积为S,底面ABCD的面积为S,求号的取值范围. B D 19.已知锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足s4-1=sinA-sin'C,A云C sinc sin2B (1)求证：B=2C; （2)求心C+会的取值范国： (3)若a=2,求三角形ABC面积的取值范围.