第25讲 三角函数的应用 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第25讲 三角函数的应用 . 学 考 要 求 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. . 知 识 必 备 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中________的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画________规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验． . 典 例 探 究 题型一：几何中的三角函数模型 例题1：半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设． （1）用表示平行四边形的面积； （2）求平行四边形面积的最大值． 题型二：三角函数在物理学中的应用 例题2：（1）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． （2）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 题型三：三角函数在生活中的应用 例题3：（1）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（    ） A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 （2）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 . 过 关 检 测 1、 选择题 1．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（    ） A．甲 B．戊 C．丙 D．丁 3．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 4．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后即的振幅为（    ） A． B．8 C．4 D． 2、 填空题 5．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到1s）. 6．某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是______. 3、 解答题 7．已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，其中为血压(单位：)，t为时间(单位：)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是（    ） A． B． C． D． 2．如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是 A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为 C．该质点在和时的振动速度最大 D．该质点在和时的加速度为 3．近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 2、 填空题 4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，此函数的最小正周期为______，10月份的平均气温为______°. 5．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为 __________________ 3、 解答题 6．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. (1)根据条件具体写出关于的函数表达式； (2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25讲 三角函数的应用 . 学 考 要 求 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. . 知 识 必 备 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中________的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画________规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验． 【答案】 周期现象 周期变化 . 典 例 探 究 题型一：几何中的三角函数模型 例题1：半径为1，圆心角为的扇形，点是扇形弧上的动点，设． （1）用表示平行四边形的面积； （2）求平行四边形面积的最大值． 【解析】(1)由题意得: 在中,设,由正弦定理得 　　　　　 所以, (2)由(1)得： 当时达最大值 即,当平行四边形面积达到最大值． 题型二：三角函数在物理学中的应用 例题2：（1）电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【解析】函数，当时，. 故选：A （2）某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【解析】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期，当时，， 所以开始计时时该振子位移为，则该振子第一次到达位移最小点所用时间为． 故选：A. 题型三：三角函数在生活中的应用 例题3：（1）如图，为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有（    ） A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 【解析】由题目可知最大值为5，∴ 5＝A×1＋2⇒A＝3．，则．故选:A （2）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【解析】从图象可以看出，函数最小值为2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m. 故选：C . 过 关 检 测 1、 选择题 1．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 【解析】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（    ） A．甲 B．戊 C．丙 D．丁 3．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 【解析】频率为，故选：C 4．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后即的振幅为（    ） A． B．8 C．4 D． 【解析】 利用函数的性质可得函数的振幅为： 故选： 2、 填空题 5．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过_________可以达到最高点（精确到1s）. 【解析】振幅即为半径，即； 因为逆时针方向每分转1.5圈，所以； ； ， 所以，将代入， 可得， 得， 当时，. 故答案为： 6．某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是______. 【解析】 ，， 当，即时， . 故答案为：. 3、 解答题 7．已知电流（单位：A）关于时间（单位：s）的函数解析式为． (1)当时，求电流； (2)当时，电流取得最大值，写出的一个值． 【解析】（1）函数，当时，. （2）当时，电流取得最大值，则，解得， 所以的一个值为. . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．心脏每跳动一次，就完成一次收缩和舒张.心脏跳动时，血压在增大或缩小，并呈周期性变化，血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压.某人的血压满足函数，其中为血压(单位：)，t为时间(单位：)，则相邻的收缩压和舒张压的时间间隔是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题知，血压的最大值与最小值分别为收缩压和舒张压， 又血压函数为正弦三角函数，则相邻的收缩压和舒张压即血压函数的半个周期， 则，时间间隔为. 故选：A. 2．如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是 A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为 C．该质点在和时的振动速度最大 D．该质点在和时的加速度为 【解析】对于A、B选项，由图可得知振幅为，周期为，A、B选项错误； 对于C选项，质点在和时刻，质点的位移为最大值，可知速度为零，C选项错误； 对于D选项，质点在和时刻，质点的位移为，则质点受到的回复力为，所以加速度为，D选项正确.故选D. 3．近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （   ） A． B． C． D． 【解析】依题意，解得， 又，所以，所以， 所以，又， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：A 2、 填空题 4．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为，此函数的最小正周期为______，10月份的平均气温为______°. 【解析】由函数， 因为6月份的平均气温最高为，12月份的月平均气温最低为， 可得且，解得， 所以函数，所以函数的最小正周期为； 令，可得，即为. 故答案为：；. 5．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为 __________________ 【解析】由图象可得，， 即，则. 故答案为：400π. 3、 解答题 6．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. (1)根据条件具体写出关于的函数表达式； (2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 【解析】（1）中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m． 1 学科网（北京）股份有限公司 $